文档内容
2024~2025 学年第一学期期中调研试卷
高二数学
（满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 直线 的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2. 圆 与圆 的位置关系为（ ）
A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切
3. 已知点 与点 关于直线 对称，则直线 的方程为（ ）
A. B.
C. D.
4. 设 为实数，若直线 与 平行，则它们之间的距离为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知椭圆的两个焦点分别为 ， ，点 在该椭圆上，则该椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
6. 椭圆 以双曲线 的两个焦点为长轴的端点，以双曲线的顶点为焦点，则椭圆 的方程为（
）A. B. C. D.
7. 过抛物线 的焦点 的弦 ，其中点 在第一象限，若 ，则直线 的
斜率为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知椭圆 的上顶点为 ，过椭圆左焦点 且斜率为 的直线交椭圆于 ， 两点，则
的周长为（ ）
A. 10 B. 8 C. D.
二、选择题：本题共3小题．每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 设 为实数，直线 ： ，点 ， ，则下列说法正确的有（ ）
A. 直线 过定点
B. 若点 ， 到直线 的距离相等，则
C. 直线 与 轴一定相交
D. 若直线 不过第二象限，则
10. 设 为实数，方程 表示圆，则下列说法正确的有（ ）
.
A
.
B 若 ，则圆和两坐标轴均相切
C. 若圆关于直线 对称，则
D. 无论 取任何实数，总存在一条定直线与圆相交11. 在平面直角坐标系 中，过抛物线 的焦点 的直线与抛物线交于 两点，直
线 ， 分别交抛物线准线于 ， 两点，则下列说法正确的有（ ）
A. 轴 B.
C. 以 为直径的圆与抛物线准线恒相交 D. 面积的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
的
12. 设 为实数，直线 ： ， ： ，若 ，则 值为______．
13. 圆 上有且只有2个点到直线 的距离等于1，则半径 的取值范围为______．
14. 如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射关线的
反向延长线经过双曲线的左焦点．设 ，若双曲线 ： 的左，右焦点分别为 ， ，从
发出的光线经过图2中的 ， 两点反射后，分别经过点 ， ， ， ，则
的值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知 的顶点 ，直线 的方程为 ， 边上的中线 所在的直线方程
为 ．（1）求顶点 ， 的坐标；
（2）求 的面积．
的
16. 设 为实数，圆 方程为 ．
（1）若圆 和圆 的公共弦长为 ，求 的值；
（2）若过点 的圆 与圆 相切，切点为 ，求圆 的标准方程．
17. 已知动点 到点 的距离比到直线 的距离小 ，过 作圆 的
一条切线， 为切点，过 作直线 的垂线，垂足为 ．
（1）求点 的轨迹方程；
（2）当 、 、 三点共线时，求线段 的长；
（3）判断满足 的点 有几个，并说明理由．
18. 已知双曲线 ： 的右顶点为 ，实轴长为4，过双曲线 的左焦点 作直
线 ，当直线 与 轴垂直时，直线 与双曲线 的两个交点分别为 ， ，此时 为等腰直角三角
形．
（1）求双曲线 的方程；
（2）当直线 与双曲线 的渐近线平行时，求直线 与双曲线 的交点坐标；
的
（3）当直线 与双曲线 左支交于 ， 两点时，直线 ， 分别交直线 于 ， 两
点，在 轴上是否存在定点 ，使得点 始终在以线段 为直径的圆上？若存在，求出 点坐标，否则，
请说明理由．
19. 已知椭圆 过点 ，离心率为 ，左、右焦点分别为 、 ，右顶点为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 的直线 与椭圆 的另外一个交点为 ，当 的面积最大时，求直线 的方程；
（3）若点 、 是直线 上不同的两点，则向量 以及与它平行的非零向量都称为直线 的方向向量，
当直线 时，直线 的方向向量称为直线 的法向量．设 、 为实数，直线 的一个法向
量为 ， 为直线 上任一点，点 为坐标平面内的定点，我们把 称为点 在直线 上的投影数量．
当 与椭圆 相切时，点 、 在直线 上的投影数量的乘积是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，
说明理由．
