文档内容
2024～2025 学年第二学期期中调研试卷
高二数学
（满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知 ， ，若 ，则x的值为（ ）
A. 7 B. -8 C. 6 D. -5
【答案】A
【详解】已知 ， ，
因为 ，
则 ， .
故选：A.
2. 展开式中的第 项为常数项，则 的值为（ ）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
【答案】D
【详解】二项式 展开式的通项为 （
且 ），
因为展开式中的第 项为常数项，所以 ，解得 .
故选：D
3. 已知3张卡片的正、反两面分别写有数字1，2；3，4；5，6.将这3张卡片排成一排，则可构成不同的
三位数的个数为（ ）
A. 120 B. 60 C. 48 D. 36
【答案】C【详解】将3张卡片排成一排，每一张卡片数字有两种情况，则不同的数字组合有 种，
再将3个数字进行排列，则有 种，所以构成的不同三位数有 种.
故选：C
4. 在正三棱柱 中， ，P为 的中点，则直线 与平面 所成角的正弦
值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】如图，过点 作平面 的垂线为 轴，以 ， 为 轴和 轴，作空间直角坐标系.
则平面 的一个法向量为 ，
设正三棱柱 中， ，则 ， ，
所以 ，所以 ,
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
故选：A
5. 在四棱锥 中， ， ， ，则该四棱锥的高为（
）A. B. C. D.
【答案】D
【详解】设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ，可得 ， ；
所以 ，
则点 到平面 的距离为 .
故选：D
6. 6名同学排成一排照相，其中甲､乙两人相邻的排法共有（ ）
A. 120种 B. 240种 C. 360种 D. 480种
【答案】B
【详解】甲和乙两人相邻，有 种方法；将甲､乙两人看成一个元素，和其他四名同学，共5个元素
全排列，有 种方法，
所以甲､乙两人相邻的排法共有 种方法．
故选：B．
7. 若 ，则 （ ）
A. 30 B. 45 C. 60 D. 90
【答案】B
【详解】由 ，则其展开式的通项为 ，
令 ，则 .
故选：B.8. 将6封不同的信放入编号为1，2，3，4的4个邮筒，则恰有2个空邮筒的不同的放法共有（ ）
A. 372种 B. 380种 C. 492种 D. 496种
【答案】A
【详解】首先从 个邮筒中选出 个邮筒，有 种选法，
再将 封不同的信件分成 ， ， 两组，有 种分法；
最后将两组分配到两个邮筒，有 种分法。
按照分步乘法计数原理可知恰有2个空邮筒的不同的放法共有 种.
故选：A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 数学竞赛小组有高一学生2人，高二学生4人，高三学生6人，则（ ）
A. 若每个年级各选1名学生外出培训，则共有12种不同的选法
B. 若选派2名学生外出培训，这2人来自不同年级，则共有44种不同的选法
C. 若选派3名学生外出培训，恰好有1人来自高二年级，则有116种不同的选法
D. 若选派3名学生外出培训，高三年级的甲乙两位同学不能同时参加，则共有210种不同的选法
【答案】BD
【详解】选项A：每个年级各选1名学生外出培训，则共有 种不同的选法，A选项错误；
选项B：若选派2名学生外出培训，这2人来自不同年级，则共有
种不同的选法，故B正确；
选项C：若选派3名学生外出培训，恰好有1人来自高二年级，则有 种不同的选法，
故C错误；
选项D：若选派3名学生外出培训，高三年级的甲乙两位同学不能同时参加，则共有
种情况，故D正确，故选：BD
10. 若 展开式中的常数项为60，则（ ）
的
A. 展开式中第4项 二项式系数最大 B. 实数a的值为4
C. 展开式中奇数项的二项式系数和为64 D. 展开式中系数最大的项是第5项
【答案】ABD
【详解】A选项，因为 展开式共7项，第4项的二项式系数最大，故A正确；
B选项， ，其中 为整数，且 ，
令 ，解得 ，此时 ，所以 ，B正确；
C选项，展开式中奇数项的二项式系数和为 ，故C错误；
D选项，由 得， ，又 ，所以 ，
且 时， ，系数为正，
所以展开式中系数最大的项为是第5项，故D正确.
故选：ABD.
11. 正方体 中，点P满足 ，若正方体棱长为
1，则下列正确的有（ ）
A. 若 ， ，则 平面
B. 若 ，则三棱锥 的体积为定值
C. 若 ，则点 到直线 的距离的最小值为D. 若 ， ，则二面角 的正弦值的最小值为
【答案】ACD
【详解】对于A，由 可得 ，且 可知 三点共线；
可知点 在线段 上，连接 ，如下图所示：
由正方体性质可知 ，又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
同理可得 平面 ，
又 ，且 平面 ，
因此可得平面 平面 ，又因为 平面 ，
所以 平面 ，即A正确；
对于B，若 ，可知 四点共面，即点 在平面 内，
由A选项中的分析可知，平面 平面 ，如下图所示：此时点 到平面 的距离为正方体对角线的三分之一，即 ；
又三角形 是边长为 的正三角形，其面积为 ，
则三棱锥 的体积为定值 ，即B错误；
对于C，以 为坐标原点建立空间直角坐标系，如下图所示：
则 ，
所以 ， ， ， ；
又 ，因此 ，即 ；
所以 ，
则点 到直线 的距离为 ，
显然当 时，距离最小为 ，即C正确；
对于D，若 ， ，由选项C分析可知 ；则 ，又 ；
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，解得 ，令 ，则 ，
因此 ；
易知平面 的一个法向量为 ，
则二面角 的正弦值为 ，
又因为 ， ，可知 ，当 时信任不是最小值，
所以 时， ，
易知当 时， ，
即二面角 的正弦值的最小值为 ，可得D正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知 ， ，则向量 在向量 上的投影向量是_________【答案】
【详解】由 ， 可得 ，
易知向量 在向量 上的投影向量为 .
故答案为：
13. 的展开式中含 项的系数为_____.
【答案】10
【详解】由 的展开式的通项为 ，
令 ， ，令 ， ，
则 的展开式中含 项的系数为 .
故答案为： .
14. 在华为的三进制数据处理研究中，设计了一种独特的三进制编码规则.将一个长度为8位的三进制数按
位 权 展 开 并 转 化 为 十 进 制 数 ， 例 如 三 进 制 数 ， 转 化 为 十 进 制 数
， 其 中 ，
，则三进制数00001110对应的十进制数为_______，现有一个8位三进制数，包含3个 ，
3个0，2个1，若要求首位 不能为0，且相邻两位不能同时为 ，则这样的不同的三进制数个数共有
_______.
【答案】 ①. 39 ②. 140【详解】易知00001110对应的十进制数为 ；
先将3个0，2个1进行排列，共有 种，
再将3个 插入到6个空隙中去，共有 种，
所以能表示出的不同的三进制数个数共有 种，
其中有首位 为0时，共有 种，
则符合题意的不同的三进制数个数共有 种.
故答案为：39；140.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如 图 ， 在 平 行 六 面 体 中 ， ， ，
，点 为 的中点， .
（1）求 的值；
（2）求 与 所成的角的余弦值.
【答案】（1）
（2）
【小问1详解】因为点 为 的中点
所以
所以
所以 ， 所以
【小问2详解】
因为
；
所以 ；
因为 ；
又 。
所以 ；
所以直线 与 所成的角的余弦值为 .
16. 有6名同学报名参加数学、物理、化学三科兴趣小组，每人选择一个小组.（数字作答）
（1）求一共有多少种不同的报名方法；
（2）若三科均要有人报名，求一共有多少种不同的报名方法；
（3）若甲乙两人都不报化学学科，且每个学科都要有人报名，求一共有多少种不同的报名方法.【答案】（1）
（2）540 （3）230
【小问1详解】
因为每个人都有三种选择，所以一共有 种；
【小问2详解】
因为三科均要有人报名，可分为以下三种情况：
①其中一科有4人，另外2科各1人，共有： 种，
②其中一科1人，一科2人，一科3人，共有： 种，
③三科均2人，共有： 种，
所以一共有：90+360+90=540种.
【小问3详解】
因为甲乙两人都不报化学学科，
所以按照另外4个人报化学学科的人数可分为以下4种情况：
①有1人报化学： 种，
②有2人报化学： 种,
③有3人报化学： 种，
④有4人报化学： 种，
所以一共有：120+84+24+2=230种.
17. 如图，在四棱锥 中， 为 的中点， ， ， ， ，
， .（1）求平面 与平面 所成角的正弦值；
（2）在线段 上是否存在点 ，使得 平面 ?若存在，求出点 的位置；若不存在，说明
理由.
【答案】（1）
（2）存在，点 为线段 的中点
【小问1详解】
因为 ，
所以 ，又因为 为 的中点，
所以 与 均为等腰直角三角形，所以
又因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，又因为 平面 ，
所以 ，又 ， 平面 ，所以 平面 ，
在平面 内，过点 作 ，以 为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系
，则 ， ， ， ，
所以 ， ，设平面 的一个法向量为
则 ，即 ，令 ，则 ，
平面 的一个法向量为 .
又因为平面 的一个法向量为 ，所以 .
设平面 与平面 所成角为 ，则 .
【小问2详解】
假设线段 上存在点 ，使得 平面
设 ，
所以 .
因为 平面 ，所以 ，
所以 ，即点 是线段 的中点，
所以存在点 ，点 为线段 的中点.
18. 设 .
（1）求实数 的值；
（2）求 的值；（3）求 的值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【小问1详解】
由 的展开式的通项为 ，
因为 ，所以 .
【小问2详解】
令 ，则 ，令 ，则 ，
所以 .
【小问3详解】
由 两边求导得：
由 两边求导得：
.
令 ，则 .
所以 .
19. 在空间直角坐标系 中，定义：过点 ，且方向向量为 的直线方向式方程为 ；过点 ，且法向量为
的 平 面 法 向 式 方 程 为 ， 将 其 整 理 成 一 般 式 方 程 为
，其中 .已知直线 的方向式方程为 ，平面 的
一般式方程为 ，平面 的一般式方程为 ，平面 的一般式方程为
，平面 的一般式方程为 .
（1）求直线 与平面 所成角的余弦值；
（2）求 与 所成角的正弦值；
（3）若 ， 不在平面 内，证明： .
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【小问1详解】
设直线 与平面 所成角为 ，
因为直线 的方向式方程为 ，平面 的一般式方程为
所以直线 的一个方向向量为
平面 的一个法向量为 .所以 .
所以 .
【
小问2详解】
设平面 和 所成角为 ，
因为平面 的一般式方程为 ，
平面 的一般式方程为 ，
所以平面 的一个法向量为 ，平面 的一个法向量为 .
所以 ，
所以 ，
【小问3详解】
证明：设直线 的一个方向向量为 ，则 ，所以 ，
令 ，则 ，所以直线 的一个方向向量为 .
因为平面 的一般式方程为 ，
所以平面 的一个法向量为 .
所以 ，
所以 ，又因为 不在平面 内所以 .
