文档内容
2025-2026学年高二上学期11月期中质量调研
数学试题
一、单选题
1．抛物线 的准线方程是（ ）
A． B． C． D．
2．方程 表示的曲线的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
3．若两直线 平行，则实数 的取值集合是（ ）
A． B． C． D．
4．已知圆 关于直线 对称，则圆 的半径为（ ）
A． B．2 C． D．4
5．“ ”是“直线 与双曲线 只有一个公共点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．若圆 上总存在两个点到原点的距离均为2，则正实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．设 为双曲线 上两点，若线段AB的中点是 ，则直线 方程为（ ）
A． B．C． D．
8．过点 作直线 的垂线，垂足为M，已知点 ，则当 变
化时， 的取值范围是
A． B． C． D．
二、多选题
9．如图所示，下列四条直线 ， ， ， ，斜率分别是 ， ， ， ，倾斜角分别是 ， ， ，
，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知 是椭圆 和双曲线 的公共焦点， 是该椭圆和双曲线的一个公共点，
的外接圆半径为2，且 ，记椭圆的离心率为 ，双曲线的离心率为 ，
则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D． 的最小值为
11．已知曲线 ，点 为曲线 上任意一点，则（ ）
A．曲线 的图象由两个圆构成B． 的最大值为
C． 的取值范围为
D．直线 与曲线 有且仅有3个交点
三、填空题
12．已知圆 和圆 ，则圆 与 公切线段的长度为 .
13．若双曲线经过点 ，两条渐近线方程是 ，该双曲线的实轴长为 .
14．如图，已知半椭圆 与半椭圆 组成的曲线称为“果圆”，其中
.“果圆”与 轴的交点分别为 ，与 轴的交点分别为 ，点 为半椭圆
上一点（不与 重合），若存在 ，则半椭圆 的离心率的取值范围为 .
四、解答题
15．平面直角坐标系 中，过点 的直线 与两坐标轴分别交于 两点， 面积记为 .
(1)若直线 在 轴上的截距为5，求 的值；
(2)若 时，求直线 的斜截式方程.16．已知圆的方程为 ，直线 .
(1)求圆 关于直线 对称的圆 的方程；
(2)若 为直线 上的动点， 为圆 上的动点， 为坐标原点，求 的最小值.
17．已知椭圆 ，四点 中恰有三点在椭圆 上.
(1)求椭圆 的方程；
(2)过椭圆 的左顶点 作直线 与椭圆的另一个交点为 ，若点 是线段AB垂直平分线上一点，且满
足 ，求实数 的值.
18．双曲线 ，左、右顶点分别为 为 的右焦点.
(1) 是双曲线右支上一动点（不与顶点重合），直线 交 轴于点 ，若 的面积是 面积
的2倍，求直线 的方程.
(2)已知点 ，直线 与 交于A，B两点.当 时， 上存在点 使得 ，其
中 依次为直线PA，PB，PM的斜率，证明： 在定直线上.
19．已知椭圆 的离心率为 ，且过点 .(1)求椭圆 的方程；
(2)已知点 ，设 是椭圆 上的一点，过E，F两点的直线 交 轴于点 ，若 ，求
的取值范围；
(3)若斜率为 的直线 与椭圆交于A、B两点（直线PA斜率为正），直线PA、PB（若 、 重合，直线
PB即为椭圆 在 点处的切线）分别与 轴交于M、N两点， 为PN中点.求 的最大值.1．A
利用抛物线准线方程定义求解即可．
【详解】 抛物线的准线方程为 ，焦点在 轴上， ，即 ， ，
准线方程是 ．
故选：A.
2．C
由已知等式的几何意义结合椭圆的定义可求曲线的标准方程
【详解】 表示 到点 的距离之和为10，
又 ，故点 的轨迹满足椭圆的定义，
设其标准方程为： ，
显然 ，又 ，解得 ，
则标准方程为： .
故选：C.
3．B
根据两直线平行得到方程和不等式，求出 .
【详解】由题意得 且 ，
解得 .
故选：B
4．A
先由圆的一般式得到圆心坐标，再利用圆的对称性得到关于 的方程，进而再将圆的一般式化为标准方程，
从而得解.
【详解】由 ，可得圆 的圆心为 .
因为圆 关于直线 对称，所以由圆的对称性可知，圆心 在直线 上，
则 ，解得 ，
故圆 ，可化为 ，
所以圆 的半径为 .
故选：A.
5．A
根据题意，联立直线与双曲线方程，由直线与双曲线只有一个公共点代入计算，即可得到 的取值，再由
充分条件，必要条件的定义，即可得到结果.
【详解】联立方程 ，整理可得 ，
当 时，即 ，方程有一解，即只有一个公共点；
当 时， ，解得 ；
所以直线 与双曲线 只有一个公共点时， 或 ，
所以“ ”是“直线 与双曲线 只有一个公共点”的充分不必要条件，
故选：A
6．A
问题转化为圆 与圆 有两个交点，利用圆与圆的位置关系，即得所求 的取值范围.
【详解】到原点的距离为2的点的轨迹为圆 ，
因此问题转化为圆 与圆 有两个交点，
易知， ， ， ， ，所以 ，即 ，
解得 或 ，
又因为
所以实数 的取值范围为 .
故选：A.
7．D
设 ，通过点差法求解直线 的斜率，从而得直线方程．
【详解】设 ，线段 的中点是 ，
， ，
， 在双曲线上，则 ，
两式相减得 ，
即 ，
则 ，所以直线 方程为 ，即 ，
联立 ， ，故直线与双曲线有两个交点，
故经检验直线 方程为 .
故选：D．
8．B
化已知直线为 ，即有 且 ，解方程可得定点Q，可得M在以PQ为
直径的圆上运动，求得圆心和半径，由圆的性质可得最值．【详解】解：直线 ，即 ，
由 ，求得 ，直线经过定点 ．
由 为直角三角形，斜边为PQ，M在以PQ为直径的圆上运动，
可得圆心为PQ的中点 ，半径为 ，
则 与M的最大值为 ，
则 与M的最小值为 ，
故MN的范围为： ，
故选B．
9．BC
根据直线的图像特征，结合直线的斜率与倾斜角定义，得出结论.
【详解】直线 ， ， ， ，斜率分别是 ， ， ， ，倾斜角分别是 ， ， ， ，
由倾斜角定义知 ， ， ， ，故C正确；
由 ，知 ， ， ， ，故B正确；
故选：BC
10．BCD
由椭圆与双曲线中参数之间的关系得到 ，判断A选项；由三角形正弦定理求得角 ，
由椭圆和双曲线定义表示出线段 ， ，再用余弦定理求得关系 ，由三个参数的关系
式，判断B选项；由 两边同除 再化简，判断C选项；用离心率公式代入数值后利用基本
不等式求得最小值，判断D选项．【详解】对于A， ， 是椭圆 和双曲线 的公共焦点，
双曲线 ，则焦点在 轴，所以椭圆中 ，
， ，即 ，即 ，故A选
项错误；
对于B，由正弦定理可知在 中， ， ，
， ，
由椭圆和双曲线的定义可知： ，解得 ， ，
，
即 ， ，
，故B选项正确；
对于C， ， ，即 ， ，故C选项正确；
对于D，由 得 ，所以，
当且仅当 ，即 时取等号，所以最小值为 ，故D选项正确．
故选：BCD．
11．AC
根据题意，化简方程为 ，结合圆的标准方程，可判定A正确；由
表示点 到原点距离的平方，可判定B错误；设过点 且与圆 相切的直线方程为
，结合点到直线的距离公式，以及直线与圆的位置关系，可判定C正确；由直线
与圆 均相切，可判定D错误．
【详解】对于A中，由 ，得 ，
即 ，即 ，
所以 或 ，
即 或 ，
所以曲线 表示以 为圆心， 为半径的两个圆，所以A正确；
对于B中，由 表示点 到原点距离的平方，
最大值为 ，所以B错误；
对于C中，如图所示，设过点 且与圆 相切的直线方程为 ，
则点 到该直线的距离 ，解得 ，
即图中直线 的斜率为1，可得直线 的方程为 ，点 到直线 的距离 ，则直线 与圆 相切，
设过点 且与圆 相切的直线方程为 ，
则点 到该直线的距离 ，解得 ，
又由 表示的是点 到点 的斜率，
故 的取值范围为 ，所以C正确；
对于D中，由C项可知直线 与圆 均相切，
所以直线 与曲线 有且仅有2个交点，所以D错误．
故选：AC．
12．2
由圆 和圆 的圆心和半径确定两圆位置关系，从而得到 轴为 与 的一条公切线，确定与 轴相切
的点坐标，即可得公切线段的长度.
【详解】圆 的圆心为 ，半径 ，
则 轴为 的切线，切点为 ，
圆 的圆心 ，半径 ，
则 轴为 的切线，切点为 ，
如图所示：又 ，
则 ，故两圆相交，则 轴为圆 与 的一条公切线，
公切线段的长度为 .
故答案为：2.
13．6
根据题意可设双曲线的方程为 ，将点 的坐标代入双曲线的方程，求出 ，即可得
出双曲线的标准方程，从而得双曲线的实轴长．
【详解】由题意可设该双曲线的方程为 ，
将点 的坐标代入双曲线的方程可得 ，
即双曲线的方程为 ，化为标准方程为 ，
故双曲线的 ，所以双曲线的实轴长为 ．
故答案为： ．
14．
利用椭圆上点的坐标从而得到向量坐标，利用向量坐标表示数量积得到相应等量关系，再由点的变化范围
得到相应不等式，进而求得取值范围．
【详解】设 ， ，则 ，所以 ，
因为 ， ，所以 ，所以 ．
由 ，可得 ．
因为存在 ，所以 在 上有解，
因为 ，且 ，
所以 在 上有解，
即 在 上有解．
因为 ，所以 ，即 解得 ．
故答案为： .
15．(1)
(2) 或
（1）根据题意可知直线 过点 ，由此可得斜率，再由点斜式得解；
（2）设直线 在 轴上的截距为 ，由此建立关于 的方程，解出即可得直线 的斜截式方程.
【详解】（1）依题意，直线 过点 ，
则其斜率为 ，方程为 ，
令 ，可得 ，
则 ；
（2）设直线 在 轴上的截距为 ，
则直线 过点 ，故其斜率为 ，方程为 ，
令 ，可得 ，
则 ，解得 或 ，
则直线 的斜截式方程为 或 ．
16．(1)
(2)
（1）求得圆心 关于直线 的对称点，可得圆 的方程；
（2）由 ，可得所求最小值．
【详解】（1）由圆的方程为 知圆心 ，半径 ．
设圆心 关于直线 的对称点为 ，则 ，
解得 ，
所以圆 的方程为 ；
（2）因为 ，
所以当 ， ， 三点共线时， 取得最小值．因为 ，所以 的最小值为 ．
17．(1)
(2)
（1）根据椭圆的对称性，得到 三点在椭圆上，把 代入椭圆求出 ，即可得椭圆方程；
（2）设直线 的方程为 ，与椭圆联立并利用韦达定理求得 的坐标，继而得 的中点 的坐
标.再利用 及 列式求解即得解.
【详解】（1）∵椭圆 ，
根据椭圆的对称性， ， 两点必在椭圆 上，
又 的横坐标为1，所以椭圆必不过 ，
则 、 、 在椭圆上，
所以 ， ，解得 ，
∴椭圆 的方程为 ．
（2）由（1）得 ，设 ，令 是 的中点.
由题意知，直线 的斜率一定存在，设直线 的方程为 ，联立 ，得 ，
且 ，
∴ ， ，
，
由 ， 得， ，即 ，
所以 ， ，
由 ，得 ，化简得
解得 ，所以 .
18．(1) 或 ；
(2)证明见解析
（1）根据 为 的中点得 的面积是 面积的2倍，进而 的面积等于 的面积，
求得 轴，与双曲线方程联立求得 点坐标，然后求出直线斜率，代入点斜式直线方程求解即可；
（2）分别设 ，表示出 ，再由直线与双曲线联立，得出根与系数的关系代入 求出 即可得证.
【详解】（1）由题意 ，所以 为 的中点，所以 的面积是 面积的2倍，
所以 的面积等于 的面积，所以 ，所以 轴，
故直线 方程为 ，联立 得 ，即 或 ，
又 ，所以直线 的斜率为 或 ，
所以直线 的方程为 或 ，
即 或 ；
（2）不妨设 ，
则 ，
因为 均在 上，
所以 ，
所以 ，
欲使 ，只需 ，
故只需 ，即 ，
联立 整理得 ，
因为 ，所以 且 ，所以 ，所以只需 ，即 ，解得 ，
所以 ，
所以 ，即 上存在点 满足题设，
显然 在定直线 上，证毕.
19．(1) ；
(2) ；
(3) .
（1）由题意联立方程求解即可；
（2）设 ，由 可得 ，结合 计算可得 的取值范围；（3）设出直线 方程，与椭圆方程联立利用韦达定理，结合斜率坐标公式推证得 ，再利用余弦
定理建立函数关系求出正弦最大值.
【详解】（1）由题意可得 ，解得 ，
所以椭圆 的方程为 ；
（2）设 ，
则 ， ，
若 ，则 ，
即 ，解得 ，
因为 在椭圆上，则 ，
化简可得 ，
因为 ，所以 ，解得 或 ，
即 的取值范围 ；
（3）设直线 ，由 消去 得 ，
6x2 +2√3mx+m2 −6=0设 ，则 ，直线 的斜率分别为 ，
则
，则 ，即 ，
在 中，令 ，则 ，
在 中， ，
在 中， ,
因为 ，
所以 ，
即 ，解得 ，
，
当且仅当 时取等号，
因为 在 上单调递减， 在 上单调递增，
所以 取最小值时， 有最大值为 .
