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三校联考 2025 年秋季学期高二年级第一次月考
数学参考答案
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一
项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D C A C B C D
【解析】
1．由 ， ， ， ，则 ， ，所以
，故选B．
2．因为 ，则 ，所以
故其虚部为 ，故选D．
3．因为 ，则 ，又因为 ，即 ，所
以 ，即 ，故选C．
4．如图1所示，在三棱柱 中， ， ，
依题意
，故选A．
5．由题设 ，所以53%分位数在
区间 内，设为 ，则 ，所以 ，故选C．
6．当 时，不等式 ，解得 ，显然解集不是 ，不符合题意；当 ，由不
等式的解集为 ，则 ， ，解得 ，即 的取值范围为
，故选B．7．对于A：因为在 中， ，由空间向量共面定理，
可知 P，A，B，C 四点不共面，故 A 错误；对于 B：当 共线同向时，
，但 与 夹角不是锐角，故 B 错误；对于 C：因
，即 ，故 ，即 C 正确；对于 D： 在 方向上的投影向量为
，故D错误，故选C．
8．由题意画出几何体的图形，把三棱锥 扩展为三棱柱，如图2所
示，上下底面中心 连线的中点O为外接球球心，O与A的距离是为
球的半径， ， ， 是正三角形，由
图
正弦定理， ， ，即球的半径为
，则所求球的表面积为 ，故选D．
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项
是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
题号 9 10 11
答案 ACD AC BC
【解析】
9．对于A： ，故A正确；对于B： 的最
小正周期 ，B错误；对于C：由 得 ，所以
图 象 的 对 称 中 心 为 ， C 正 确 ； 对 于 D ： 由
得 ，所以 ，解得 ，故D正确，故选ACD．
10．对于 A：由题意得， ，故 A 正确；对于 B： ，所以
， ，故B不正确；对于C：由题意
得 ， ， ， ， 所 以 ，
， 设 是 平 面 的 法 向 量 ， 则
令 ，则 ， ，则 ，故C正确；
对 于 D ： ， 则 点 到 平 面 的 距 离 为
，故D不正确，故选AC．
11．作出函数 的图象， 如图3：对于A：由图象可得 无最大值，
无最小值，故A错误； 对于B：由图象可得，当 时， 的最大值为 ，故B
正确；对于C：由 ， 解得 ， 由图象可得，不等
式 的解集为 ， 故C正确；对于D： 由图象可得，
图3
的单调递增区间为 ，故D错误，故选BC．
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）题号 12 13 14
答案
【解析】
12．根据题意，因为 ，设 ，则有 ，可得 ，所
以 ．
13．因为 ， ， ，所以 ，
所 以 ， 所 以 点 到 的 距 离
．
14．当 时，由 可得 ，依题意， 时，
有1个零点，即方程 在 上有一个
实根，也即直线 与 在 上有一个交点，如图
4，作出函数的图象．因 在 上单调递增，由图可
知，此时 ．综上，实数 的取值范围是 ． 图4
四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分13分）
解：（1）因为
，
所以，函数 的最小正周期为 ，
由 可得 ，
所以，函数 的单调递减区间为 ． ……………（8分）（2）当 时， ，则 ，
因此，函数 在区间 上的值域为 ．
……………………………………………（13分）
16．（本小题满分15分）
解：（1）记“他得分不低于10分”为事件 ，
则
，即得分不低于10分的概率为 ．
……………………………………………………（7分）
（2）记“小红通过考试”为事件 ，
则 ，
即小红通过考试的概率为 ．……………………………………………………（15分）
17．（本小题满分15分）
解：（1）因为 ，
所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ． …………………………………………………（7分）
（2）由余弦定理 ，所以 ，所以
所 以 ， 即 ， 如 图 5 ， 在 中 ，
．
图5………………………………………（15分）
18．（本小题满分17分）
解：（1）因为函数 是定义域为 的奇函数，所以 ，得 ，
又 ，即 ，解得 ，
则 ，经检验符合题意． …………………………………………………（4
分）
（2）由已知得 ，则 ，
任取 ，且令 ，则
，
得到 ，故 ，则 是减函数．
………………………………………（10分）
（3）由题意得 在 时恒成立，
因为 是单调递减的奇函数，所以 ，即 在 时恒成
立，
得到 ，且令 ，即 恒成立，
又 ，当且仅当 时等号成立，得到 ，得到 ，
即 ． ……………………………………………………………（17分）
19．（本小题满分17分）
（1）证明：取 的中点 ，连接 则 ，又 ，所以 ，则四边形 为平行四边形，
所以 因为 平面 所以 平面 ． ………………（4分）
（2）证明：由（1）知 ，又 平面
平面 ，
由 ，即 及 为 的中点，可得 为等边三角形，
又 ， ，即
又 平面 ．………………………………………………（9分）
（3）解： 为直线 与 所成的角，
由（2）可得 ， ，
设 则 ，
取 的中点 ，连接 ，
易知 平面 ，过 作 的平行线，
可建立如图6所示的空间直角坐标系 ，
则 所以
设 为平面 的法向量，
则 即 ，取 ，
则 为平面 的一个法向量， 图6
又平面 的法向量 ，
则 ，
由图易知二面角 的平面角为钝角，
所以二面角 的余弦值为 ． ………………………………（17分）
