2004年天津市高考文科数学真题及答案_数学高考真题试卷_旧1990-2007·高考数学真题_1990-2007·高考数学真题·PDF_天津

2004 年天津市高考文科数学真题及答案 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．（5分）设集合P{1，2，3，4，5，6}，Q{xR|2„ x„ 6}，那么下列结论正确的是( ) A．P QP B．P QÝQ C．P QQ D．P QÜP     x1 2．（5分）不等式 …2的解集为( ) x A．[1，0) B．[1，) C．(，1] D．(，1] (0,)  3．（5分）对任意实数a、b、c，在下列命题中，真命题是( ) A．“acbc”是“ab”的必要条件 B．“acbc”是“ab”的必要条件 C．“acbc”是“ab”的充分条件 D．“acbc”是“ab”的充分条件 4．（5分）若平面向量b  与向量a(1,2)的夹角是180，且|b  |3 5 ，则b  ( ) A．(3,6) B．(3,6) C．(6,3) D．(6,3) x2 y2 5．（5分）设P是双曲线  1上一点，该双曲线的一条渐近线方程是3x4y0，F ，F 分别是双 a2 9 1 2 曲线的左、右焦点，若|PF |10，则|PF |等于( ) 1 2 A．2 B．18 C．2或18 D．16 6．（5分）若函数 f(x)log x(0a1)在区间[a，2a]上的最大值是最小值的3倍，则a等于( ) a 2 2 1 1 A． B． C． D． 4 2 4 2 7．（5分）若过定点M(1,0)且斜率为k的直线与圆x2  y2 4x50在第一象限内的部分有交点，则k的 取值范围是( ) A．0k  5 B． 5k 0 C．0k  13 D．0k 5 8．（5 分）如图，定点 A和B都在平面内，定点P，PB，C是内异于 A和B的动点，且 PC  AC．那么，动点C在平面内的轨迹是( ) 第1页 | 共15页A．一条线段，但要去掉两个点 B．一个圆，但要去掉两个点 C．一个椭圆，但要去掉两个点 D．半圆，但要去掉两个点 9．（5分）函数y3x1(1„ x0)的反函数是( ) A．y1log x(x0) B．y1log x(x0) 3 3 C．y1log x(1„ x3) D．y1log x(1„ x3) 3 3  10．（5分）函数y2sin( 2x)，x[0，])为增函数的区间是( ) 6   7  5 5 A．[0， ] B．[ ， ] C．[ ， ] D．[ ，] 3 12 12 3 6 6 11．（5分）如图，在长方体ABCDABCD 中，AB6，AD4，AA 3，分别过BC、AD 的两个平 1 1 1 1 1 1 1 行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为V V ，V V ．若V :V :V 1:4:1，则截 1 AEA1DFD1 3 B1E1BC1F1C 1 2 3 面AEFD 的面积为( ) 1 1 A．4 10 B．8 3 C．4 13 D．16  12．（5分）定义在R上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数．若 f(x)的最小正周期是，且当x[0， ] 2 5 时， f(x)sinx，则 f( )的值为( ) 3 1 1 3 3 A． B． C． D． 2 2 2 2 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分） 13．（4分）某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2:3:5，现用分层抽样方法 抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件．那么此样本的容量n ． 第2页 | 共15页14．（4分）已知向量a(1,1)，b  (2,3)，若ka2b  与a垂直，则实数k等于 ． 15．（4分）如果过两点A(a,0)和B(0,a)的直线与抛物线 yx2 2x3没有交点，那么实数a的取值范围 是 ． 16．（4分）从0，1，2，3，4，5中任取3个数字，组成没有重复数字的三位数，其中能被5整除的三位数 共有 个．（用数字作答） 三、解答题（共6小题，满分74分）  1 17．（12分）已知tan( ) ． 4 2 （Ⅰ）求tan的值； sin2cos2 （Ⅱ）求 的值． 1cos2 18．（12分）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛． （1）求所选3人都是男生的概率； （2）求所选3人中恰有1名女生的概率； （3）求所选3人中至少有1名女生的概率． 19．（12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PDDC ，E 是PC的中点． （1）证明PA//平面EDB； （2）求EB与底面ABCD所成的角的正切值． 20．（12分）设{a }是一个公差为d(d 0)的等差数列，它的前10项和S 110且a ，a ，a 成等比数 n 10 1 2 4 列． （1）证明a d； 1 （2）求公差d的值和数列{a }的通项公式． n 21．（12分）已知函数 f(x)ax3 cxd(a0)是R上的奇函数，当x1时 f(x)取得极值2． 第3页 | 共15页（1）求 f(x)的单调区间和极大值； （2）证明对任意x ，x (1,1)，不等式| f(x ) f(x )|4恒成立． 1 2 1 2 22．（14分）椭圆的中心是原点O，它的短轴长为2 2，相应于焦点F(c，0)(c0)的准线l与x轴相交于 点A，|OF|2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点． （1）求椭圆的方程及离心率；   （2）若OP OQ0，求直线PQ的方程；      （3）设APAQ(1)，过点P且平行于准线l的直线与椭圆相交于另一点M ，证明FM FQ． 第4页 | 共15页2004年天津市高考数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．（5分）设集合P{1，2，3，4，5，6}，Q{xR|2„ x„ 6}，那么下列结论正确的是( ) A．P QP B．P QÝQ C．P QQ D．P QÜP     【解答】解：P Q{2，3，4，5，6}，  P QÜPP  故A、B错误， 故D正确． 故选：D． x1 2．（5分）不等式 …2的解集为( ) x A．[1，0) B．[1，) C．(，1] D．(，1] (0,)  x1 x1 x1 x1 【解答】解： …2  2…0  …0  „ 01„ x0 x x x x 故选：A． 3．（5分）对任意实数a、b、c，在下列命题中，真命题是( ) A．“acbc”是“ab”的必要条件 B．“acbc”是“ab”的必要条件 C．“acbc”是“ab”的充分条件 D．“acbc”是“ab”的充分条件 【解答】解：A、C当c0时，“acbc”即不是“ab”的必要条件也不是充分条件，故A，C不成立； B、 当ab时  一定有acbc． 但acbc时，且c0时，a，b可以不相等． 即“acbc”是“ab”的必要条件． D、当c0时，“acbc”是“ab”的充分条件不成立； 故选：B． 第5页 | 共15页4．（5分）若平面向量b  与向量a(1,2)的夹角是180，且|b  |3 5 ，则b  ( ) A．(3,6) B．(3,6) C．(6,3) D．(6,3) 【解答】解 向量b  与向量a(1,2)的夹角是180，  向量b  与向量a反向， 令b  a(,2)（则0)，  又 |b|3 5 ，   2 (2)2 3 5 解得3  故b (3,6) 故选：A． x2 y2 5．（5分）设P是双曲线  1上一点，该双曲线的一条渐近线方程是3x4y0，F ，F 分别是双 a2 9 1 2 曲线的左、右焦点，若|PF |10，则|PF |等于( ) 1 2 A．2 B．18 C．2或18 D．16 3 【解答】解：整理准线方程得y x， 4 3 3   ，a4， a 4 |PF ||PF |2a8或|PF ||PF |2a8 1 2 2 1 |PF |2或18， 2 故选：C． 6．（5分）若函数 f(x)log x(0a1)在区间[a，2a]上的最大值是最小值的3倍，则a等于( ) a 2 2 1 1 A． B． C． D． 4 2 4 2 【解答】解： 0a1，  f(x)log x是减函数． a log a3log 2a． a  a 第6页 | 共15页1 log 2a ． a 3 1 1log 2 ． a 3 2 log 2 ． a 3 2 a ． 4 故选：A． 7．（5分）若过定点M(1,0)且斜率为k的直线与圆x2  y2 4x50在第一象限内的部分有交点，则k的 取值范围是( ) A．0k  5 B． 5k 0 C．0k  13 D．0k 5 【解答】解：圆的方程可变形为(x2)2  y2 32，圆心(2,0)，半径等于3，令x0，则y 5． 设A(0, 5)，k  5． MA 又 直线过第一象限且过(1,0)点，k 0．又直线与圆在第一象限内有相交点，  50 k   5，0k  5，故选A． 01 8．（5 分）如图，定点 A和B都在平面内，定点P，PB，C是内异于 A和B的动点，且 PC  AC．那么，动点C在平面内的轨迹是( ) A．一条线段，但要去掉两个点 B．一个圆，但要去掉两个点 C．一个椭圆，但要去掉两个点 D．半圆，但要去掉两个点 【解答】解： PB  PB AC 又 PC  AC  AC 面PBC BC  AC 动点C在平面内的轨迹是以AB为直径的一个圆，但要去掉A、B两个点 第7页 | 共15页故选：B． 9．（5分）函数y3x1(1„ x0)的反函数是( ) A．y1log x(x0) B．y1log x(x0) 3 3 C．y1log x(1„ x3) D．y1log x(1„ x3) 3 3 【解答】解：由y3x1解得：x1log x 3 1„ x0，1„ y3  函数y3x1(1„ x0)的反函数是y1log x(1„ x3) 3 故选：D．  10．（5分）函数y2sin( 2x)，x[0，])为增函数的区间是( ) 6   7  5 5 A．[0， ] B．[ ， ] C．[ ， ] D．[ ，] 3 12 12 3 6 6    【解答】解：由y2sin( 2x)2sin(2x )其增区间可由y2sin(2x )的减区间得到， 6 6 6   3 即2k „ 2x „ 2k ，kZ 2 6 2  5 k „ x„ k ，kZ ． 3 6  5 令k 0， „ x„ ， 3 6 故选：C． 11．（5分）如图，在长方体ABCDABCD 中，AB6，AD4，AA 3，分别过BC、AD 的两个平 1 1 1 1 1 1 1 行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为V V ，V V ．若V :V :V 1:4:1，则截 1 AEA1DFD1 3 B1E1BC1F1C 1 2 3 面AEFD 的面积为( ) 1 1 A．4 10 B．8 3 C．4 13 D．16 第8页 | 共15页【解答】解：由题意知，在长方体ABCDABCD 中，平面ADEF //平面BCEF， 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 截面是一个矩形，并且长方体的体积V 64372， 1 V :V :V 1:4:1，V V  7212，  1 2 3 1 AEA1DFD1 6 1 则12 AEAAAD，解得AE2， 2 1 在直角AEA 中，EA  32 22  13， 1 1 故截面的面积是EFEA 4 13， 1 故选：C．  12．（5分）定义在R上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数．若 f(x)的最小正周期是，且当x[0， ] 2 5 时， f(x)sinx，则 f( )的值为( ) 3 1 1 3 3 A． B． C． D． 2 2 2 2 【解答】解： f(x)的最小正周期是  5 5  f( ) f( 2) f( ) 3 3 3 函数 f(x)是偶函数  5   3 f( ) f( )sin  ． 3 3 3 2 故选：D． 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分） 13．（4分）某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2:3:5，现用分层抽样方法 抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件．那么此样本的容量n 80 ． 2 【解答】解：n 16 235 n80 故答案是80 14．（4分）已知向量a(1,1)，b  (2,3)，若ka2b  与a垂直，则实数k等于 1 ． 【解答】解： 向量a(1,1)，b  (2,3)，若ka2b  与a垂直，  (ka2b  ) a0，即：(k4，k6) (1，1)0，   第9页 | 共15页k4k60，k 1． 15．（4分）如果过两点A(a,0)和B(0,a)的直线与抛物线yx2 2x3没有交点，那么实数a的取值范围是 13 (, ) ． 4 【解答】解：过A、B两点的直线为：x ya与抛物线yx2 2x3联立得：x2 xa30． 因为直线与抛物线没有交点，则方程无解． 即△14(a3)0， 13 解之得a ． 4 13 故答案为：(, ) 4 16．（4分）从0，1，2，3，4，5中任取3个数字，组成没有重复数字的三位数，其中能被5整除的三位数 共有 36 个．（用数字作答） 【解答】解：其中能被5整除的三位数末位必为0或5． ①末位为0的三位数其首次两位从1~5的5个数中任取2个排列而成方法数为A2 20， 5 ②末位为5的三位数，首位从非0，5的4个数中选1个，有C1种挑法，再挑十位，还有C1种挑法， 4 4 合要求的数有C1 C1 16种． 4 4 共有201636个合要求的数． 三、解答题（共6小题，满分74分）  1 17．（12分）已知tan( ) ． 4 2 （Ⅰ）求tan的值； sin2cos2 （Ⅱ）求 的值． 1cos2  tan tan  4 1tan 【解答】解：（Ⅰ）解：tan( )  ， 4  1tan 1tan tan 4  1 1tan 1 1 由tan( ) ，有  ，解得tan ； 4 2 1tan 2 3 sin2cos2 2sincoscos2 （Ⅱ）解法一：  1cos2 12cos21 2sincos 1 1 1 5  tan    ． 2cos 2 3 2 6 第10页 | 共15页1 1 解法二：由（1），tan ，得sin cos 3 3 1 1 9 sin2 cos21cos2 cos2，cos2 9 9 10 4 于是cos22cos21 ， 5 2 3 sin22sincos cos2 3 5 3 9   sin2cos2 5 10 5 代入得   ． 1cos2 4 6 1 5 18．（12分）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛． （1）求所选3人都是男生的概率； （2）求所选3人中恰有1名女生的概率； （3）求所选3人中至少有1名女生的概率． 【解答】解：（1）由题意知本题是一个古典概型， 试验所包含的所有事件是从6人中选3人共有C3种结果，  6 而满足条件的事件是所选3人都是男生有C3种结果， 4 根据古典概型公式得到 C3 1 所选3人都是男生的概率为 4  C3 5 6 （2）由题意知本题是一个古典概型， 试验所包含的所有事件是从6人中选3人共有C3种结果，  6 而满足条件的事件是所选3人中恰有1名女生有C1C2种结果， 2 4 根据古典概型公式得到 C1C2 3 所选3人中恰有1名女生的概率为 2 4  C3 5 6 （3）由题意知本题是一个古典概型， 试验所包含的所有事件是从6人中选3人共有C3种结果，  6 而满足条件的事件是所选3人中至少1名女生有C1C2 C2C1种结果， 2 4 2 4 根据古典概型公式得到 第11页 | 共15页C1C2 C2C1 4 所选3人中至少有1名女生的概率为 2 4 2 4  C3 5 6 19．（12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PDDC ，E 是PC的中点． （1）证明PA//平面EDB； （2）求EB与底面ABCD所成的角的正切值． 【解答】（1）证明：连接AC、AC交BD于O．连接EO 底面ABCD是正方形点O是AC的中点．  在PAC 中，EO是中位线PA//EO 而EO平面EDB且PA 平面EDB，所以，PA//平面EDB． （2）解：作EF DC交CD于F ．连接BF ，设正方形ABCD的边长为a． PD底面ABCDPDDCEF //PD，F 为DC的中点  EF 底面ABCD，BF 为BE 在底面ABCD内的射影，故EBF 为直线EB与底面ABCD所成的角． a 5 在RtBCF中，BF  BC2 CF2  a2 ( )2  a 2 2 a 1 a EF 2 5 EF  PD 在RtEFB中tanEBF     2 2 BF 5 5 a 2 5 所以EB与底面ABCD所成的角的正切值为 5 20．（12分）设{a }是一个公差为d(d 0)的等差数列，它的前10项和S 110且a ，a ，a 成等比数 n 10 1 2 4 列． 第12页 | 共15页（1）证明a d； 1 （2）求公差d的值和数列{a }的通项公式． n 【解答】（1）证明：因a ，a ，a 成等比数列，故a2 aa 1 2 4 2 1 4 而{a }是等差数列，有a a d ，a a 3d n 2 1 4 1 于是(a d)2 a (a 3d) 1 1 1 即a2 2ad d2 a2 3ad 1 1 1 1 化简得a d 1 109 （2）解：由条件S 110和S 10a  d ，得到10a 45d 110 10 10 1 2 1 由（1），a d，代入上式得55d 110 1 故d 2，a a (n1)d 2n n 1 因此，数列{a }的通项公式为a 2n n n 21．（12分）已知函数 f(x)ax3 cxd(a0)是R上的奇函数，当x1时 f(x)取得极值2． （1）求 f(x)的单调区间和极大值； （2）证明对任意x ，x (1,1)，不等式| f(x ) f(x )|4恒成立． 1 2 1 2 【解答】解：（1）由奇函数的定义，应有 f(x)f(x)，xR 即ax3 cxd ax3 cxdd 0 因此， f(x)ax3 cxf(x)3ax2 c ac2 由条件 f （1）2为 f(x)的极值，必有 f（1）0，故 3ac0 解得a1，c3 因此， f(x)x3 3x， f(x)3x2 33(x1)(x1)f(1) f（1）0 当x(,1)时， f(x)0，故 f(x)在单调区间(,1)上是增函数 当x(1,1)时， f(x)0，故 f(x)在单调区间(1,1)上是减函数 第13页 | 共15页当x(1,)时， f(x)0，故 f(x)在单调区间(1,)上是增函数 所以， f(x)在x1处取得极大值，极大值为 f(1)2 （2）由（1）知， f(x)x3 3x(x[1,1])是减函数， 且 f(x)在[1，1]上的最大值M  f(1)2， f(x)在[1，1]上的最小值m f （1）2 所以，对任意的x ，x (1,1)，恒有| f(x ) f(x )|M m2(2)4 1 2 1 2 22．（14分）椭圆的中心是原点O，它的短轴长为2 2，相应于焦点F(c，0)(c0)的准线l与x轴相交于 点A，|OF|2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点． （1）求椭圆的方程及离心率；   （2）若OP OQ0，求直线PQ的方程；      （3）设APAQ(1)，过点P且平行于准线l的直线与椭圆相交于另一点M ，证明FM FQ． x2 y2 【解答】（1）解：由题意，可设椭圆的方程为  1(a 2)． a2 2 a2 c2 2  由已知得 a2 c2( c).  c 解得a 6, c2 x2 y2 6 所以椭圆的方程为  1，离心率e ． 6 2 3 （2）解：由（1）可得A(3,0)． x2 y2   1 设直线PQ的方程为yk(x3)．由方程组 6 2  yk(x3) 得(3k2 1)x2 18k2x27k2 60 6 6 依题意△12(23k2)0，得 k  ． 3 3 18k2 设P(x ，y )，Q(x ，y )，则x x  ，① 1 1 2 2 1 2 3k2 1 27k2 6 xx  ．② 1 2 3k2 1 第14页 | 共15页由直线PQ的方程得y k(x 3)，y k(x 3)．于是y y k2(x 3)(x 3)k2[xx 3(x x )9]．③ 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2   OP OQ0，xx  y y 0．④   1 2 1 2 5 6 6 由①②③④得5k2 1，从而k  ( , )． 5 3 3 所以直线PQ的方程为x 5y30或x 5y30   （3）证明：AP(x 3, y ), AQ(x 3, y )． 1 1 2 2 x 3(x 3) 1 2  y y  1 2 x2 y2 由已知得方程组 1  1 1  6 2  x2 y2  2  2 1.  6 2 51 注意1，解得x  2 2  1 1 因F(2,0)，M(x ，y )，故FM (x 2,  y )((x 3)1,  y )( ,  y )( , y )． 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2  1   而FQ(x 2, y )( , y )，所以FM FQ． 2 2 2 2 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2019/5/23 23:12:58；用户：15217760367；邮箱：15217760367；学号：10888156 第15页 | 共15页