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2023—2024 学年第一学期 10 月六校联合调研试题
高三数学
2023.10
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据指数函数值域和对数函数定义域求出集合A，B，然后由交集运算可得.
【详解】由指数函数性质可知， ，
由 得 ，所以 ，
所以 .
故选：D
2. 设 是等比数列，且 ， ，则 （ ）
A. 12 B. 24 C. 30 D. 32
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知条件求得 的值，再由 可求得结果.
【详解】设等比数列 的公比为 ，则 ，
，
因此， .
故选：D.
【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．3. 下列求导正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据基本函数的求导公式，及导数的运算法则和复合函数的求导法则，进行运算即可判断选项.
【详解】对于A， ，故A错误；
对于B，根据复合函数的求导法则，
，故B错误；
对于C， ，故C正确；
对于D， ，故D错误.
故选：C.
4. 已知角 终边上有一点 ，则 是（ ）
A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角
【答案】C
【解析】
【分析】根据 所在象限可判断点P所在象限，然后根据对称性可得.
【详解】因为 是第二象限角，所以 ，
所以点P在第四象限，即角 为第四象限角，
所以 为第一象限角，所以 为第三象限角.
故选：C5. 已知直线 和圆 交于 两点，则 的最小值为（ ）
A. 2 B. C. 4 D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出直线 过定点 ，再利用弦长公式即可得到最小值.
【详解】 ，令 ，则 ，所以直线 过定点 ，
当 得 ，则 在圆内，则直线 与圆必有两交点，
因为圆心 到直线 的距离 ，所以 ．
故选：D.
6. 已知样本数据 ， ， ， ， ， 的平均数为16，方差为9，则另一
组数据 ， ， ， ， ， ，12的方差为（ ）．
A. B. C. D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】由均值、方差性质求数据 ， ， ， ， ， 的平均数、方差，应用平均数、方差公式
求新数据方差.
【详解】设数据 ， ， ， ， ， 的平均数为 ，方差为 ，
由 ， ，得 ， ，
则 ， ， ， ， ， ，12的平均数为 ，方差为
．
故选：C
7. 已知定义在 上的偶函数 满足 ，则下列说法正确的是（ ）
.
A
B. 函数 的一个周期为2
C.
D. 函数 的图象关于直线 对称
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知等式判断函数的对称性，结合偶函数的性质判断函数的周期，最后逐一判断即可.
【详解】 函数 关于点 中心对称，因此选项D不正确；
又因为函数 为偶函数，所以 ，
由 ，
所以函数 的周期为 ，所以选项B不正确；
因为函数 是周期为 的偶函数，
所以 ，因此选项A不正确；
在 中，令 ，得 ，因为函数 的周期为 ，因此选项C正确，
故选：C
8. 已知点 是抛物线 上不同的两点， 为抛物线的焦点，且满足 ，弦 的中
点 到直线 的距离记为 ，若不等式 恒成立，则 的取值范围（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】令 ，利用余弦定理表示出弦 的长，再利用抛物线定义结合梯形中位线定
理表示出 ，然后利用均值不等式求解作答.
【详解】在 中，令 ，由余弦定理得
，
则有 ，
显然直线 是抛物线 的准线，过 作直线 的垂线，垂足分别为 ，如图，
而 为弦 的中点， 为梯形 的中位线，由抛物线定义知，，
因此 ，
当且仅当 时取等号，又不等式 恒成立，等价于 恒成立，则 ，
所以 的取值范围是 .
故选：D
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显
体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的
函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求全部选对的得 5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．请把正确选项
在答题卡中的相应位置涂黑．
9. 设复数 满足 ，则下列说法错误的是（ ）
A. 为纯虚数 B. 的虚部为2i
C. 在复平面内， 对应的点位于第二象限 D. ＝
【答案】ABC
【解析】
【分析】由复数的乘法和除法运算化简复数z，再对选项一一判断即可得出答案.
【详解】设复数 ，由 得 ，
则 ，故A错误；
z的虚部为 ，故B错误；
复平面内， 对应的点为 ， 对应的点位于第三象限，故C错误；，故D正确.
故选：ABC.
.
10 已知向量 ， ，且 ，则（ ）
A. B.
C. 向量 与向量 的夹角是 D. 向量 在向量 上的投影向量坐标是
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据向量垂直的坐标公式求出向量 判断A，利用向量模的坐标运算判断B，利用数量积的夹角
坐标公式求解判断C，利用数量积的几何意义求解判断D.
【详解】因为向量 ， ，所以 ，
由 得 ，解得 ，所以 ，故A正确；
又 ，所以 ，故B错误；
设向量 与向量 的夹角为 ，因为 ， ，
所以 ，又 ，所以 ，
即向量 与向量 的夹角是 ，故C正确；
向量 在向量 上的投影向量坐标是 ，故D正确.
故选：ACD.
11. 已知函数 ，下列说法正确的是（ ）
A. 函数 的值域为
B. 若存在 ，使得对 都有 ，则 的最小值为C. 若函数 在区间 上单调递增，则 的取值范围为
D. 若函数 在区间 上恰有3个极值点和2个零点，则 的取值范围为
【答案】ACD
【解析】
【分析】化简 的解析式，根据三角函数的值域、最值、周期、单调性、极值点等知识对选项进行分
析，从而确定正确答案.
【详解】已知函数 ，可知其值域为 ，故选项A正确；
若存在 ，使得对 都有 ，
所以 的最小值为 ，故选项B错误；
函数 的单调递增区间为 ，
，
所以 ，令 ，则 的取值范围为 ，故选项C正确；
若函数 在区间 上恰有3个极值点和2个零点， ，
由如图可得： ，的取值范围为 ，故选项D正确；
故选：ACD
12. 已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 当 时， 在 上单调递增
B. 若 的图象在 处的切线与直线 垂直，则实数
C. 当 时， 不存在极值
D. 当 时， 有且仅有两个零点 ，且
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，利用导数即可判断；对于B，根据导数的几何意义可判断；对于C，取 ，根据导
数判断此时函数的单调性，说明极值情况，即可判断；对于D，结合函数单调性，利用零点存在定理说明
有且仅有两个零点 ，继而由 可推出 ，即可证明结论，即可判断.
【详解】因为 ，定义域为 且 ，
所以 ，
对于A，当 时， ，所以 在 和 上单调递增，故A正确；对于B，因为直线 的斜率为 ，
又因为 的图象在 处的切线与直线 垂直，
故令 ，解得 ，故B正确；
对于C，当 时，不妨取 ，
则 ，
令 ，则有 ，解得 ，
当 时， ， 在 上单调递增；
当 时， ， 在 上分别单调递减；
所以此时函数有极值，故C错误；
对于D，由A可知，当 时， 在 和 上单调递增，
当 时， ，
，
所以 在 上有一个零点，
又因为当 时， ，，
所以 在 上有一个零点，
所以 有两个零点，分别位于 和 内；
设 ，
令 ，则有 ，
则
，
所以 的两根互为倒数，所以 ，故D正确．
故选：ABD
【点睛】难点点睛：本题综合考查了导数知识的应用，综合性较，解答的难点在于选项D的判断，要结合
函数的单调性，利用零点存在定理判断零点个数，难就难在计算量较大并且计算复杂，证明 时，
要注意推出 ，进而证明结论三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 在 的展开式中， 的系数为______．
【答案】240
【解析】
【分析】利用二项展开式的通项公式即可.
【详解】在 的展开式中， 的系数为 ；
在 的展开式中， 的系数为 ；
所以在 的展开式中， 的系数为 ；
故答案为：240
14. 2023年杭州亚运会招募志愿者，现从某高校的6名志愿者中任意选出3名，分别担任语言服务、人员
引导、应急救助工作，其中甲、乙2人不能担任语言服务工作，则不同的选法共有_______种.
【答案】80
【解析】
【
分析】应用排列组合知识及计数原理可得答案.
【详解】先从甲、乙之外的4人中选取1人担任语言服务工作，
再从剩下的5人中选取2人分别担任人员引导、应急救助工作，
则不同的选法共有 种.
故答案为：80.
15. 已知 ，若 ， ，则实数 的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】作出函数图象，设 ，数形结合可知 的范围， 转化为关于 的函数，利用导
数求最值即可.
【详解】作函数 图象，如图，设 ，则 ，
，
又 ，
，
，
设 ，
当 时， ，函数 为增函数，
，即实数 的取值范围是
故答案为：
16. 在正三棱锥 中，底面 的边长为4，E为AD的中点， ，则以D为球心，
AD为半径的球截该棱锥各面所得交线长为________．
【答案】
【解析】
【分析】首先证明 两两垂直，再求出所对应的圆心角，则计算出其弧长，即可得到交线长.
【详解】记CD中点为F，作 平面BCD，垂足为O，
由正三棱锥性质可知，O为正三角形BCD的中心，所以O在BF上，
因为 平面BCD，所以 ，
由正三角形性质可知， ，
又 ， 平面ABO，
所以 平面ABO，
因为 平面ABO，所以 ，
又 平面ACD，
所以 平面ACD，
因为 平面ACD，所以
由正三棱锥性质可知， 两两垂直，且 ，则 ，如图，易知以D为球心，AD为半径的球截该棱锥各面所得交线，是以D为圆心，AD为半径的三段圆弧，
则 ， ，
则其圆心角分别为 ，
所以其交线长为 ，
故答案为 ：.
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用线面垂直的判定与性质得到 两两垂直，再求出所对应
的三段弧长即可得到交线长.
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知等差数列 的前 项和为 ，且满足 ， ．（1）求数列 的通项公式；
（2）若数列 满足 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用等差数的性质，结合通项公式与前项和公式即可得解；
（2）利用分组求和差，结合等差数列与等比数列的前项和公式即可得解.
【小问1详解】
（1）设数列等差数列 的公差为d，
因为 ，所以 ，则 ，
因为 ，即 ，所以 ，
所以 ， ，
所以 ，即 .
【小问2详解】
因为 ，所以 ，
所以．
18. 已知函数 ,
（1）求函数 的最值；
（2）设 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ， ，且
，求 的面积．
【答案】（1）最大值为2，最小值为
（2） 或
【解析】
【分析】(1)把 化为“一角一函数”的形式：先用诱导公式把角化为 ，再用二倍角公式把二次项化为
一次项，同时把角化为 ，最后用辅助角公式把函数名化为正弦，即可求出函数的最值；
(2)先求出角 ，由余弦定理得到关于 的方程，再由正弦定理把已知的方程化简为含 的方程，联立
方程组即可解出 的值，再代入三角形的面积公式即可.
【小问1详解】
因为
，
所以 的最大值为2，最小值为 ．
【小问2详解】结合(1)可知 ，所以 ．
因为 ，所以 ，
则 ．
由余弦定理得 ，
化简得 ①．
又 ，由正弦定理可得 ，即 ②．
结合①②得 或 ．
时， ； 时， ．
综上， 的面积为 或 ．
19. 在三棱锥 中， ABC是边长为4的正三角形，平面 平面 ， ， 、
△
分别为 的中点．
（1）证明： ；
（2）求二面角 正弦值的大小.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
【分析】（1）取AC得中点O，得 ， ，可知 平面 ，进而得结论；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面CMN与平面 的法向量，根据向量的夹角公式求解.
【小问1详解】
取AC得中点O，连接SO，OB，
， ， ， ，
又SO，BO交于点O， 平面 ， 平面 ，
于是可知 平面 ，
又 平面 ， ；
【小问2详解】
∵平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， ，
∴ 平面 ，
以OA为x轴，OB为y轴，OS为z轴建立空间直角坐标系 ,
那么 ，
∴ ，
设 为平面CMN的一个法向量，
那么 ，取 ，那么 ，
∴ ，
的
又 为平面 一个法向量，， ，
即二面角 的正弦值为 .
20. 为了丰富在校学生的课余生活，某校举办了一次趣味运动会活动，学校设置项目A“毛毛虫旱地龙舟”和
项目B“袋鼠接力跳”．甲、乙两班每班分成两组，每组参加一个项目，进行班级对抗赛．每一个比赛项目
均采取五局三胜制（即有一方先胜3局即获胜，比赛结束），假设在项目A中甲班每一局获胜的概率为 ，
在项目B中甲班每一局获胜的概率为 ，且每一局之间没有影响．
（1）求甲班在项目A中获胜的概率；
（2）设甲班获胜的项目个数为X，求X的分布列及数学期望．
【答案】（1）
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）记“甲班在项目A中获胜”为事件A，利用独立事件的乘法公式求解即可；
（2）先算出“甲班在项目B中获胜”的概率，然后利用独立事件的乘法公式得到X的分布列，即可算出期望
【小问1详解】
记“甲班在项目A中获胜”为事件A，
则 ，所以甲班在项目A中获胜的概率为
【小问2详解】
记“甲班在项目B中获胜”为事件B，
则 ，
X的可能取值为0，1，2，
则 ，
，
．
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
．
所以甲班获胜的项目个数的数学期望为
21. 已知函数
（1）讨论函数 的单调性；
（2）设 .如果对任意 ， ，求 的取值范围．
【答案】（1）当a≥0时， ＞0，故f(x)在(0，+ )单调增加；当a≤－1时， ＜0， 故f(x)在(0，+ )单调减少；当－1＜a＜0时，f(x)在（0， ）单调增加，在（ ，+ ）
（2）a≤－2
【解析】
【详解】（1） f(x)的定义域为(0，+ )， .
当a≥0时， ＞0，故f(x)在(0，+ )单调增加；
当a≤－1时， ＜0， 故f(x)在(0，+ )单调减少；
当－1＜a＜0时，令 ＝0，解得x= .当x∈(0， )时， ＞0；
x∈( ，+ )时， ＜0， 故f(x)在（0， ）单调增加，在（ ，+ ）单调减
少.
（2）不妨假设x≥x.由于a≤－2，故f(x)在（0，+ ）单调减少.
1 2
所以 等价于
≥4x－4x，，即f(x)+ 4x≥f(x)+ 4x.
1 2 2 2 1 1
令g(x)=f(x)+4x，则 +4＝ .
于是 ≤ ＝ ≤0.
从而g(x)在（0，+ ）单调减少，故g(x) ≤g(x)，
1 2
.
即f(x)+ 4x≤f(x)+ 4x，故对任意x，x∈(0，+ ) ，
1 1 2 2 1 2
22. 已知双曲线 过点 ，离心率 .
（1）求双曲线 的方程；（2）过点 的直线 交双曲线 于点 ， ，直线 ， 分别交直线 于点 ， ，求
的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知列关于a,b,c的方程组求解即可；
（2）直线联立双曲线方程，写出直线 ， 的方程，然后可得点 ， 坐标，将比值问题转化为纵坐
标关系，利用韦达定理可得 ，然后可得.
【小问1详解】
由题知 ，解得 ， ， ，
；
【小问2详解】
设直线 ， ，
联立 ，则 ，
则 ， ， ，设直线 ， ，
令 ， ， ，
则 ，
因为
所以 ，B为PQ的中点，所以 .
【点睛】本题难点在于能将所求转化为证明 的问题，可以通过取特殊方程求解，然后进行合
理推测，或者尽量标准作图，通过图象进行猜测，从而确定求解方向.
