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2004 年天津市高考理科数学真题及答案
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分） 是虚数单位，
A． B． C． D．
2．（5分）若不等式 的解集为
A． ， B． ，
C． ， D． ，
3．（5分）若平面向量 与向量 的夹角是 ，且 ，则
A． B． C． D．
4．（5分）设 是双曲线 上一点，该双曲线的一条渐近线方程是 ， ， 分别是
双曲线的左、右焦点，若 ，则 等于
A．2 B．18 C．2或18 D．16
5．（5分）若函数 在区间 ， 上的最大值是最小值的3倍，则 等于
A． B． C． D．
6．（5分）如图，在棱长为2的正方体 中， 是底面 的中心， 、 分别是 、
的中点，那么异面直线 和 所成的角的余弦值等于
A． B． C． D．
第1页 | 共18页7．（5分）点 为圆 的弦 的中点，则直线 的方程为
A． B． C． D．
8．（5分）已知数列 ，那么“对任意的 ，点 都在直线 上”是“ 为等差数
列”的
A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．（5分）函数 ， ， 为增函数的区间是
A． ， B． ， C． ， D． ，
10．（5分）如图，在长方体 中， ， ， ，分别过 、 的两个
平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为 ， ．若 ，
则截面 的面积为
A． B． C． D．16
11．（5分）函数 的反函数是
A． B．
C． D．
12．（5分）定义在 上的函数 既是偶函数又是周期函数．若 的最小正周期是 ，且当 ，
时， ，则 的值为
第2页 | 共18页A． B． C． D．
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13．（4分）某工厂生产 、 、 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为 ，现用分层抽样方
法抽出一个容量为 的样本，样本中 种型号产品有16件．那么此样本的容量 ．
14．（4分）如果过两点 和 的直线与抛物线 没有交点，那么实数 的取值范围
是 ．
15 ． （ 4 分 ） 若 ， 则
．（用数字作答）
16．（4分）从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字组成没有重复数字的四位
数，其中能被5整除的四位数共有 个．（用数字作答）
三、解答题（共6小题，满分74分）
17．（12分）已知 ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求 的值．
18．（12分）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量 表示所选3人中女生的人数．
（1）求 的分布列和 的数学期望；
（2）求“所选3人中女生人数 ”的概率．
19．（12分）如图，在四棱锥 中，底面 是正方形，侧棱 底面 ， ，
是 的中点，作 交 于点 ．
（1）证明 平面 ；
（2）证明 平面 ；
（3）求二面角 的大小．
第3页 | 共18页20．（12分）已知函数 在 处取得极值．
（Ⅰ）讨论 （1）和 是函数 的极大值还是极小值；
（Ⅱ）过点 作曲线 的切线，求此切线方程．
21．（12分）掷一个骰子，观察向上一面的点数，求下列事件的概率：
（1）点数为偶数；
（2）点数大于2且小于5．
22．（14分）椭圆的中心是原点 ，它的短轴长为 ，相应于焦点 ， 的准线 与 轴相交
于点 ， ，过点 的直线与椭圆相交于 、 两点．
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）若 ，求直线 的方程；
（3）设 ，过点 且平行于准线 的直线与椭圆相交于另一点 ，证明 ．
第4页 | 共18页2004年天津市高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分） 是虚数单位，
A． B． C． D．
【解答】解： ，
故选： ．
2．（5分）若不等式 的解集为
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【解答】解：
故选： ．
3．（5分）若平面向量 与向量 的夹角是 ，且 ，则
A． B． C． D．
【解答】解 向量 与向量 的夹角是 ，
向量 与向量 反向，
令 （则 ，
又 ，
解得
故
故选： ．
4．（5分）设 是双曲线 上一点，该双曲线的一条渐近线方程是 ， ， 分别是
第5页 | 共18页双曲线的左、右焦点，若 ，则 等于
A．2 B．18 C．2或18 D．16
【解答】解：整理准线方程得 ，
， ，
或
或18，
故选： ．
5．（5分）若函数 在区间 ， 上的最大值是最小值的3倍，则 等于
A． B． C． D．
【解答】解： ，
是减函数．
．
．
．
．
．
故选： ．
6．（5分）如图，在棱长为2的正方体 中， 是底面 的中心， 、 分别是 、
的中点，那么异面直线 和 所成的角的余弦值等于
第6页 | 共18页A． B． C． D．
【解答】解：取 的中点 ．连接 ，再取 的中点 ，连接 、 ，则 为异面
直线所成的角．
在 中， ， ， ．
由余弦定理，可得 ．
故选： ．
7．（5分）点 为圆 的弦 的中点，则直线 的方程为
A． B． C． D．
【解答】解： 是圆 的弦，圆心为
设 的中点是 满足
因此， 的斜率
可得直线 的方程是 ，化简得
故选： ．
8．（5分）已知数列 ，那么“对任意的 ，点 都在直线 上”是“ 为等差数
列”的
A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解： 点 都在直线 上
，
第7页 | 共18页“ 为等差数列，
若“ 为等差数列，可设 ，则点 都不在直线 上，
对任意的 ，点 都在直线 上”是“ 为等差数列”的充分而不必要条件，
故选： ．
9．（5分）函数 ， ， 为增函数的区间是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【解答】解：由 其增区间可由 的减区间得到，
即 ，
， ．
令 ， ，
故选： ．
10．（5分）如图，在长方体 中， ， ， ，分别过 、 的两个
平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为 ， ．若 ，
则截面 的面积为
A． B． C． D．16
【解答】解：由题意知，在长方体 中，平面 平面 ，
第8页 | 共18页截面是一个矩形，并且长方体的体积 ，
， ，
则 ，解得 ，
在直角 中， ，
故截面的面积是 ，
故选： ．
11．（5分）函数 的反函数是
A． B．
C． D．
【解答】解：函数 ，可得
， ，
所以函数 的反函数是：
故选： ．
12．（5分）定义在 上的函数 既是偶函数又是周期函数．若 的最小正周期是 ，且当 ，
时， ，则 的值为
A． B． C． D．
【解答】解： 的最小正周期是
函数 是偶函数
．
故选： ．
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
第9页 | 共18页13．（4分）某工厂生产 、 、 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为 ，现用分层抽样方
法抽出一个容量为 的样本，样本中 种型号产品有16件．那么此样本的容量 8 0 ．
【解答】解：
故答案是80
14．（4分）如果过两点 和 的直线与抛物线 没有交点，那么实数 的取值范围
是 ．
【解答】解：过 、 两点的直线为： 与抛物线 联立得： ．
因为直线与抛物线没有交点，则方程无解．
即△ ，
解之得 ．
故答案为：
15 ． （ 4 分 ） 若 ， 则
200 4 ．（用数字作答）
【解答】解：令 ，得 ；
令 ，得 ，
故 ．
故答案为：2004
16．（4分）从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字组成没有重复数字的四位
数，其中能被5整除的四位数共有 30 0 个．（用数字作答）
【解答】解：①四位数中包含5和0的情况：
．
第10页 | 共18页②四位数中包含5，不含0的情况：
．
③四位数中包含0，不含5的情况：
．
四位数总数为 ．
故答案为：300．
三、解答题（共6小题，满分74分）
17．（12分）已知 ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求 的值．
【解答】解：（Ⅰ）解： ，
由 ，有 ，解得 ；
（Ⅱ）解法一：
．
解法二：由（1）， ，得
，
于是 ，
代入得 ．
18．（12分）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量 表示所选3人中女生的人数．
第11页 | 共18页（1）求 的分布列和 的数学期望；
（2）求“所选3人中女生人数 ”的概率．
【解答】解：（1）由题意知本题是一个超几何分步，
随机变量 表示所选3人中女生的人数， 可能取的值为0，1，2．
．
的分布列为
0 1 2
的数学期望为
（2）由（1）知“所选3人中女生人数 ”的概率为
19．（12分）如图，在四棱锥 中，底面 是正方形，侧棱 底面 ， ，
是 的中点，作 交 于点 ．
（1）证明 平面 ；
（2）证明 平面 ；
（3）求二面角 的大小．
【解答】解：方法一：
（1）证明：连接 ， 交 于 ，连接 ．
底面 是正方形， 点 是 的中点
在 中， 是中位线，
而 平面 且 平面 ，
所以， 平面
第12页 | 共18页（2）证明：
底面 且 底面 ，
，可知 是等腰直角三角形，而 是斜边 的中线，
．①
同样由 底面 ，得 ．
底面 是正方形，有 ， 平面 ．
而 平面 ， ．②
由①和②推得 平面 ．
而 平面 ，
又 且 ，所以 平面 ．
（3）解：由（2）知， ，故 是二面角 的平面角．
由（2）知， ， ．
设正方形 的边长为 ，
则 ， ．
在 中， ．
在 中， ， ．
所以，二面角 的大小为 ．
方法二：如图所示建立空间直角坐标系， 为坐标原点，设 ．
（1）证明：连接 ， 交 于 ，连接 ．
依题意得 ．
底 面 是 正 方 形 ， 是 此 正 方 形 的 中 心 ， 故 点 的 坐 标 为 且
．
第13页 | 共18页，这表明 ．
而 平面 且 平面 ， 平面 ．
（2）证明；依题意得 ， ， ， ．
又 ，故 ．
．
由已知 ，且 ，所以 平面 ．
（3）解：设点 的坐标为 ， ， ， ，则 ， ， ， ， ．
从而 ， ， ．所以 ．
由条件 知， ，即 ，解得
点 的坐标为 ，且 ，
即 ，故 是二面角 的平面角．
，且 ， ，
．
．
所以，二面角 的大小为 ．
第14页 | 共18页20．（12分）已知函数 在 处取得极值．
（Ⅰ）讨论 （1）和 是函数 的极大值还是极小值；
（Ⅱ）过点 作曲线 的切线，求此切线方程．
【解答】（Ⅰ）解： ，依
题意， （1） ，
即
解得 ， ．
， ．
令 ，得 ， ．
若 ， ， ，
则 ，
故 在 上是增函数， 在 上是增函数．
若 ，
则 ，故 在 上是减函数．
第15页 | 共18页所以， 是极大值； （1） 是极小值．
（Ⅱ）解：曲线方程为 ，点 不在曲线上．
设切点为 ， ，
则点 的坐标满足 ．
因 ，
故切线的方程为
注意到点 在切线上，有
化简得 ，
解得 ．
所以，切点为 ，切线方程为 ．
21．（12分）掷一个骰子，观察向上一面的点数，求下列事件的概率：
（1）点数为偶数；
（2）点数大于2且小于5．
【解答】解：掷一个骰子，向上一面的点数可能为1，2，3，4，5，6，共6种．这些点数出现的可能性相
等．
（1）点数为偶数有3种可能，即点数为2，4，6，
（点数为偶数） ；（3分）
（2）点数大于2且小于5有2种可能，即点数为3，4，
（点数大于2且小于 ．（6分）
22．（14分）椭圆的中心是原点 ，它的短轴长为 ，相应于焦点 ， 的准线 与 轴相交
于点 ， ，过点 的直线与椭圆相交于 、 两点．
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）若 ，求直线 的方程；
第16页 | 共18页（3）设 ，过点 且平行于准线 的直线与椭圆相交于另一点 ，证明 ．
【解答】（1）解：由题意，可设椭圆的方程为 ．
由已知得
解得
所以椭圆的方程为 ，离心率 ．
（2）解：由（1）可得 ．
设直线 的方程为 ．由方程组
得
依题意△ ，得 ．
设 ， ， ， ，则 ，①
．②
由直线 的方程得 ， ．于是 ．③
， ．④
由①②③④得 ，从而 ．
所以直线 的方程为 或
（3）证明： ．
第17页 | 共18页由已知得方程组
注意 ，解得
因 ， ， ，故 ．
而 ，所以 ．
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日期：2019/5/23 23:08:19；用户：15217760367；邮箱：15217760367；学号：10888156
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