2004年天津市高考理科数学真题及答案_数学高考真题试卷_旧1990-2007·高考数学真题_1990-2007·高考数学真题·PDF_天津

2004 年天津市高考理科数学真题及答案 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） (1i)(2i) 1．（5分）i是虚数单位， ( ) i3 A．1i B．1i C．13i D．13i 2x1 2．（5分）若不等式 …3的解集为( ) x A．[1，0) B．[1，) C．(，1] D．(，1] (0,)  3．（5分）若平面向量b  与向量a(1,2)的夹角是180，且|b  |3 5 ，则b  ( ) A．(3,6) B．(3,6) C．(6,3) D．(6,3) x2 y2 4．（5分）设P是双曲线  1上一点，该双曲线的一条渐近线方程是3x4y0，F ，F 分别是双 a2 9 1 2 曲线的左、右焦点，若|PF |10，则|PF |等于( ) 1 2 A．2 B．18 C．2或18 D．16 5．（5分）若函数 f(x)log x(0a1)在区间[a，2a]上的最大值是最小值的3倍，则a等于( ) a 2 2 1 1 A． B． C． D． 4 2 4 2 6．（5分）如图，在棱长为2的正方体ABCDABCD 中，O是底面ABCD的中心，E、F 分别是CC 、 1 1 1 1 1 AD的中点，那么异面直线OE和FD 所成的角的余弦值等于( ) 1 10 15 4 2 A． B． C． D． 5 5 5 3 7．（5分）点P(2,1)为圆(x1)2  y2 25的弦AB的中点，则直线AB的方程为( ) A．x y10 B．2x y30 C．x y30 D．2x y50 第1页 | 共17页8．（5分）已知数列{a }，那么“对任意的nN*，点P(n,a )都在直线y2x1上”是“{a }为等差数列” n n n n 的( ) A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件  9．（5分）函数y2sin( 2x)，x[0，])为增函数的区间是( ) 6   7  5 5 A．[0， ] B．[ ， ] C．[ ， ] D．[ ，] 3 12 12 3 6 6 10．（5分）如图，在长方体ABCDABCD 中，AB6，AD4，AA 3，分别过BC、AD 的两个平 1 1 1 1 1 1 1 行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为V V ，V V ．若V :V :V 1:4:1，则截 1 AEA1DFD1 3 B1E1BC1F1C 1 2 3 面AEFD 的面积为( ) 1 1 A．4 10 B．8 3 C．4 13 D．16 11．（5分）函数y3x21(1„ x0)的反函数是( ) 1 1 A．y 1log x(x… ) B．y 1log x(x… ) 3 3 3 3 1 1 C．y 1log x( x„1) D．y 1log x( x„1) 3 3 3 3  12．（5分）定义在R上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数．若 f(x)的最小正周期是，且当x[0， ] 2 5 时， f(x)sinx，则 f( )的值为( ) 3 1 1 3 3 A． B． C． D． 2 2 2 2 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分） 13．（4分）某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2:3:5，现用分层抽样方法 抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件．那么此样本的容量n ． 14．（4分）如果过两点A(a,0)和B(0,a)的直线与抛物线 yx2 2x3没有交点，那么实数a的取值范围 第2页 | 共17页是 ． 15 ． （ 4 分 ） 若 (12x)2004 a axa x2 a x2004(xR)， 则 0 1 2 2004 (a a )(a a )(a a )(a a ) ．（用数字作答） 0 1 0 2 0 3 0 2004 16．（4分）从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字组成没有重复数字的四位数， 其中能被5整除的四位数共有 个．（用数字作答） 三、解答题（共6小题，满分74分）  1 17．（12分）已知tan( ) ． 4 2 （Ⅰ）求tan的值； sin2cos2 （Ⅱ）求 的值． 1cos2 18．（12 分）从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛，设随机变量表示所选 3 人中女生的人 数． （1）求的分布列和的数学期望； （2）求“所选3人中女生人数„1”的概率． 19．（12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PDDC ，E 是PC的中点，作EF PB交PB于点F ． （1）证明PA//平面EDB； （2）证明PB平面EFD； （3）求二面角CPBD的大小． 20．（12分）已知函数 f(x)ax3 bx2 3x在x1处取得极值． （Ⅰ）讨论 f （1）和 f(1)是函数 f(x)的极大值还是极小值； 第3页 | 共17页（Ⅱ）过点A(0,16)作曲线y f(x)的切线，求此切线方程． 21．（12分）掷一个骰子，观察向上一面的点数，求下列事件的概率： （1）点数为偶数； （2）点数大于2且小于5． 22．（14分）椭圆的中心是原点O，它的短轴长为2 2，相应于焦点F(c，0)(c0)的准线l与x轴相交于 点A，|OF|2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点． （1）求椭圆的方程及离心率；   （2）若OP OQ0，求直线PQ的方程；      （3）设APAQ(1)，过点P且平行于准线l的直线与椭圆相交于另一点M ，证明FM FQ． 第4页 | 共17页2004年天津市高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） (1i)(2i) 1．（5分）i是虚数单位， ( ) i3 A．1i B．1i C．13i D．13i (1i)(2i) 3i 【解答】解：  i (3i)13i， i3 i 故选：D． 2x1 2．（5分）若不等式 …3的解集为( ) x A．[1，0) B．[1，) C．(，1] D．(，1] (0,)  2x1 2x1 x1 【解答】解： …3 3…0 „ 01„ x0 x x x 故选：A． 3．（5分）若平面向量b  与向量a(1,2)的夹角是180，且|b  |3 5 ，则b  ( ) A．(3,6) B．(3,6) C．(6,3) D．(6,3) 【解答】解 向量b  与向量a(1,2)的夹角是180，  向量b  与向量a反向， 令b  a(,2)（则0)，  又 |b|3 5 ，   2 (2)2 3 5 解得3  故b (3,6) 故选：A． x2 y2 4．（5分）设P是双曲线  1上一点，该双曲线的一条渐近线方程是3x4y0，F ，F 分别是双 a2 9 1 2 曲线的左、右焦点，若|PF |10，则|PF |等于( ) 1 2 第5页 | 共17页A．2 B．18 C．2或18 D．16 3 【解答】解：整理准线方程得y x， 4 3 3   ，a4， a 4 |PF ||PF |2a8或|PF ||PF |2a8 1 2 2 1 |PF |2或18， 2 故选：C． 5．（5分）若函数 f(x)log x(0a1)在区间[a，2a]上的最大值是最小值的3倍，则a等于( ) a 2 2 1 1 A． B． C． D． 4 2 4 2 【解答】解： 0a1，  f(x)log x是减函数． a log a3log 2a． a  a 1 log 2a ． a 3 1 1log 2 ． a 3 2 log 2 ． a 3 2 a ． 4 故选：A． 6．（5分）如图，在棱长为2的正方体ABCDABCD 中，O是底面ABCD的中心，E、F 分别是CC 、 1 1 1 1 1 AD的中点，那么异面直线OE和FD 所成的角的余弦值等于( ) 1 10 15 4 2 A． B． C． D． 5 5 5 3 【解答】解：取BC的中点G．连接GC //FD ，再取GC的中点H ，连接HE、OH ，则OEH 为异面直 1 1 第6页 | 共17页线所成的角． 5 5 在OEH 中，OE  3，HE  ，OH  ． 2 2 15 由余弦定理，可得cosOEH  ． 5 故选：B． 7．（5分）点P(2,1)为圆(x1)2  y2 25的弦AB的中点，则直线AB的方程为( ) A．x y10 B．2x y30 C．x y30 D．2x y50 【解答】解： AB是圆(x1)2  y2 25的弦，圆心为C(1,0)  设AB的中点是P(2,1)满足ABCP 1 1 因此，AB的斜率k   1 k 01 CP 12 可得直线AB的方程是y1x2，化简得x y30 故选：C． 8．（5分）已知数列{a }，那么“对任意的nN*，点P(n,a )都在直线y2x1上”是“{a }为等差数列” n n n n 的( ) A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解答】解： 点P(n,a )都在直线y2x1上  n n a 2n1， n  “{a }为等差数列， n 若“{a }为等差数列，可设a 2n2，则点P(n,a )都不在直线y2x1上， n n n n 对任意的nN*，点P(n,a )都在直线y2x1上”是“{a }为等差数列”的充分而不必要条件， n n n 故选：B．  9．（5分）函数y2sin( 2x)，x[0，])为增函数的区间是( ) 6   7  5 5 A．[0， ] B．[ ， ] C．[ ， ] D．[ ，] 3 12 12 3 6 6 第7页 | 共17页   【解答】解：由y2sin( 2x)2sin(2x )其增区间可由y2sin(2x )的减区间得到， 6 6 6   3 即2k „ 2x „ 2k ，kZ 2 6 2  5 k „ x„ k ，kZ ． 3 6  5 令k 0， „ x„ ， 3 6 故选：C． 10．（5分）如图，在长方体ABCDABCD 中，AB6，AD4，AA 3，分别过BC、AD 的两个平 1 1 1 1 1 1 1 行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为V V ，V V ．若V :V :V 1:4:1，则截 1 AEA1DFD1 3 B1E1BC1F1C 1 2 3 面AEFD 的面积为( ) 1 1 A．4 10 B．8 3 C．4 13 D．16 【解答】解：由题意知，在长方体ABCDABCD 中，平面ADEF //平面BCEF， 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 截面是一个矩形，并且长方体的体积V 64372， 1 V :V :V 1:4:1，V V  7212，  1 2 3 1 AEA1DFD1 6 1 则12 AEAAAD，解得AE2， 2 1 在直角AEA 中，EA  32 22  13， 1 1 故截面的面积是EFEA 4 13， 1 故选：C． 11．（5分）函数y3x21(1„ x0)的反函数是( ) 1 1 A．y 1log x(x… ) B．y 1log x(x… ) 3 3 3 3 1 1 C．y 1log x( x„1) D．y 1log x( x„1) 3 3 3 3 第8页 | 共17页【解答】解：函数y3x21，可得x2 1log y 3 x2 1log y， 1„ x0， x 1log y 3  3 1 所以函数y3x21(1„ x0)的反函数是：y 1log x( x„1) 3 3 故选：D．  12．（5分）定义在R上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数．若 f(x)的最小正周期是，且当x[0， ] 2 5 时， f(x)sinx，则 f( )的值为( ) 3 1 1 3 3 A． B． C． D． 2 2 2 2 【解答】解： f(x)的最小正周期是  5 5  f( ) f( 2) f( ) 3 3 3 函数 f(x)是偶函数  5   3 f( ) f( )sin  ． 3 3 3 2 故选：D． 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分） 13．（4分）某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2:3:5，现用分层抽样方法 抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件．那么此样本的容量n 80 ． 2 【解答】解：n 16 235 n80 故答案是80 14．（4分）如果过两点A(a,0)和B(0,a)的直线与抛物线yx2 2x3没有交点，那么实数a的取值范围是 13 (, ) ． 4 【解答】解：过A、B两点的直线为：x ya与抛物线yx2 2x3联立得：x2 xa30． 因为直线与抛物线没有交点，则方程无解． 即△14(a3)0， 13 解之得a ． 4 第9页 | 共17页13 故答案为：(, ) 4 15 ． （ 4 分 ） 若 (12x)2004 a axa x2 a x2004(xR)， 则 0 1 2 2004 (a a )(a a )(a a )(a a ) 2004 ．（用数字作答） 0 1 0 2 0 3 0 2004 【解答】解：令x0，得a 1； 0 令x1，得1a a a a ， 0 1 2 2004 故(a a )(a a )(a a )(a a )2003a a a a a 2004． 0 1 0 2 0 3 0 2004 0 0 1 2 2004 故答案为：2004 16．（4分）从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字组成没有重复数字的四位数， 其中能被5整除的四位数共有 300 个．（用数字作答） 【解答】解：①四位数中包含5和0的情况： C1 C1 (A3  A1 A2)120． 3 4 3 2 2 ②四位数中包含5，不含0的情况： C1 C2 A3 108． 3 4 3 ③四位数中包含0，不含5的情况： C2C1A3 72． 3 4 3 四位数总数为12010872300． 故答案为：300． 三、解答题（共6小题，满分74分）  1 17．（12分）已知tan( ) ． 4 2 （Ⅰ）求tan的值； sin2cos2 （Ⅱ）求 的值． 1cos2  tan tan  4 1tan 【解答】解：（Ⅰ）解：tan( )  ， 4  1tan 1tan tan 4  1 1tan 1 1 由tan( ) ，有  ，解得tan ； 4 2 1tan 2 3 第10页 | 共17页sin2cos2 2sincoscos2 （Ⅱ）解法一：  1cos2 12cos21 2sincos 1 1 1 5  tan    ． 2cos 2 3 2 6 1 1 解法二：由（1），tan ，得sin cos 3 3 1 1 9 sin2 cos21cos2 cos2，cos2 9 9 10 4 于是cos22cos21 ， 5 2 3 sin22sincos cos2 3 5 3 9   sin2cos2 5 10 5 代入得   ． 1cos2 4 6 1 5 18．（12 分）从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛，设随机变量表示所选 3 人中女生的人 数． （1）求的分布列和的数学期望； （2）求“所选3人中女生人数„1”的概率． 【解答】解：（1）由题意知本题是一个超几何分步， 随机变量表示所选3人中女生的人数，可能取的值为0，1，2． Ck C3k P(k) 2 4 ,k 0, 1, 2． C3 6 的分布列为  0 1 2 1 3 1 P 5 5 5 1 3 1 的数学期望为E0 1 2 1 5 5 5 4 （2）由（1）知“所选3人中女生人数„1”的概率为P(„1)P(0)P(1) 5 19．（12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PDDC ，E 是PC的中点，作EF PB交PB于点F ． （1）证明PA//平面EDB； 第11页 | 共17页（2）证明PB平面EFD； （3）求二面角CPBD的大小． 【解答】解：方法一： （1）证明：连接AC，AC交BD于O，连接EO． 底面ABCD是正方形，点O是AC的中点  在PAC 中，EO是中位线，PA//EO 而EO平面EDB且PA 平面EDB， 所以，PA//平面EDB （2）证明： PD底面ABCD且DC底面ABCD，PDDC  PDDC，可知PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，  DE PC．① 同样由PD底面ABCD，得PDBC ． 底面ABCD是正方形，有DC BC ，BC 平面PDC．  而DE平面PDC，BC DE．② 由①和②推得DE平面PBC ． 而PB平面PBC ，DEPB 又EF PB且DE EF E，所以PB平面EFD．  （3）解：由（2）知，PBDF，故EFD是二面角CPBD的平面角． 由（2）知，DEEF ，PDDB． 设正方形ABCD的边长为a， 第12页 | 共17页1 2 则PDDC a, BD 2aPB PD2 BD2  3a，PC  PD2 DC2  2aDE PC  a． 2 2 PD BD a 2a 6 在RtPDB中，DF      a． PB 3a 3 2 a DE 2 3  在RtEFD中，sinEFD   ，EFD ． DF 6 2 3 a 3  所以，二面角CPBD的大小为 ． 3 方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设DC a． （1）证明：连接AC，AC交BD于G，连接EG． a a 依题意得A(a, 0, 0), P(0, 0, a), E(0, , )． 2 2 a a 底 面 ABCD是 正 方 形 ， G是 此 正 方 形 的 中 心 ， 故 点 G的 坐 标 为 ( , , 0)且  2 2   a a PA(a, 0, a), EG( , 0,  )． 2 2   PA2EG，这表明PA//EG． 而EG平面EDB且PA 平面EDB，PA//平面EDB．  （2）证明；依题意得B(a，a，0)，PB(a, a, a)．  a a   a2 a2 又DE(0, , )，故PB DE0  0．  2 2 2 2 PBDE． 由已知EF PB，且EF DE E，所以PB平面EFD．    （3）解：设点F 的坐标为(x ，y ，z )，PF PB，则(x ，y ，z a)(a，a，a)． 0 0 0 0 0 0  a a 1 1 从而x a，y a，z (1)a．所以FE(x ,  y , z )(a,( )a, ( )a)． 0 0 0 0 2 0 2 0 2 2   1 1 1 由条件EF PB知，FE PB0，即a2 ( )a2 ( )a2 0，解得  2 2 3 a a 2a  a a a  a a 2a 点F 的坐标为( , , )，且FE( , ,  )，FD( ,  ,  ) 3 3 3 3 6 6 3 3 3   a2 a2 2a2 PB FD   0  3 3 3 第13页 | 共17页即PBFD，故EFD是二面角CPBD的平面角．   a2 a2 a2 a2  a2 a2 a2 6  a2 a2 4a2 6 FE FD    ，且|FE|    a，|FD|    a，   9 18 9 6 9 36 36 6 9 9 9 3 a2   cosEFD FE  FD  6  1 ．   |FE||FD| 6 6 2 a a  6 3  EFD ． 3  所以，二面角CPBD的大小为 ． 3 20．（12分）已知函数 f(x)ax3 bx2 3x在x1处取得极值． （Ⅰ）讨论 f （1）和 f(1)是函数 f(x)的极大值还是极小值； （Ⅱ）过点A(0,16)作曲线y f(x)的切线，求此切线方程． 【解答】（Ⅰ）解： f(x)3ax2 2bx3，依 题意， f（1） f(1)0， 3a2b30 即 3a2b30. 第14页 | 共17页解得a1，b0． f(x)x3 3x， f(x)3x2 33(x1)(x1)． 令 f(x)0，得x1，x1．  若x(，1) (1，)， 则 f(x)0， 故 f(x)在(,1)上是增函数， f(x)在(1,)上是增函数． 若x(1,1)， 则 f(x)0，故 f(x)在(1,1)上是减函数． 所以， f(1)2是极大值； f （1）2是极小值． （Ⅱ）解：曲线方程为yx3 3x，点A(0,16)不在曲线上． 设切点为M(x ，y )， 0 0 则点M 的坐标满足y x3 3x ． 0 0 0 因 f(x )3(x2 1)， 0 0 故切线的方程为y y 3(x2 1)(xx ) 0 0 0 注意到点A(0,16)在切线上，有16(x3 3x )3(x2 1)(0x ) 0 0 0 0 化简得x3 8， 0 解得x 2． 0 所以，切点为M(2,2)，切线方程为9x y160． 21．（12分）掷一个骰子，观察向上一面的点数，求下列事件的概率： （1）点数为偶数； （2）点数大于2且小于5． 【解答】解：掷一个骰子，向上一面的点数可能为1，2，3，4，5，6，共6种．这些点数出现的可能性相 等． （1）点数为偶数有3种可能，即点数为2，4，6， 第15页 | 共17页3 1 P（点数为偶数）  ；（3分） 6 2 （2）点数大于2且小于5有2种可能，即点数为3，4， 2 1 P（点数大于2且小于5)  ．（6分） 6 3 22．（14分）椭圆的中心是原点O，它的短轴长为2 2，相应于焦点F(c，0)(c0)的准线l与x轴相交于 点A，|OF|2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点． （1）求椭圆的方程及离心率；   （2）若OP OQ0，求直线PQ的方程；      （3）设APAQ(1)，过点P且平行于准线l的直线与椭圆相交于另一点M ，证明FM FQ． x2 y2 【解答】（1）解：由题意，可设椭圆的方程为  1(a 2)． a2 2 a2 c2 2  由已知得 a2 c2( c).  c 解得a 6, c2 x2 y2 6 所以椭圆的方程为  1，离心率e ． 6 2 3 （2）解：由（1）可得A(3,0)． x2 y2   1 设直线PQ的方程为yk(x3)．由方程组 6 2  yk(x3) 得(3k2 1)x2 18k2x27k2 60 6 6 依题意△12(23k2)0，得 k  ． 3 3 18k2 设P(x ，y )，Q(x ，y )，则x x  ，① 1 1 2 2 1 2 3k2 1 27k2 6 xx  ．② 1 2 3k2 1 由直线PQ的方程得y k(x 3)，y k(x 3)．于是y y k2(x 3)(x 3)k2[xx 3(x x )9]．③ 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2   OP OQ0，xx  y y 0．④   1 2 1 2 第16页 | 共17页5 6 6 由①②③④得5k2 1，从而k  ( , )． 5 3 3 所以直线PQ的方程为x 5y30或x 5y30   （3）证明：AP(x 3, y ), AQ(x 3, y )． 1 1 2 2 x 3(x 3) 1 2  y y  1 2 x2 y2 由已知得方程组 1  1 1  6 2  x2 y2  2  2 1.  6 2 51 注意1，解得x  2 2  1 1 因F(2,0)，M(x ，y )，故FM (x 2,  y )((x 3)1,  y )( ,  y )( , y )． 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2  1   而FQ(x 2, y )( , y )，所以FM FQ． 2 2 2 2 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2019/5/23 23:08:19；用户：15217760367；邮箱：15217760367；学号：10888156 第17页 | 共17页