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南阳一中高二年级2025年秋期第一次月考
数学学科答案
一、单选题(每小题5分，共40分）
1．B 2.D 3．C
4．B
【详解】因为 两点横坐标不同，故倾斜角不为 ，
由题意得 ，
因为 ，所以 .
故选：B
5．B
6.C
依题意，由椭圆定义得 ，即 ，
令椭圆 ： 的半焦距为c，则F2(c，0)，直线AB：x=c，
由 得 ，于是得 ，则 ，
所以椭圆 的方程为 .
故选：C
7．D，应为
8．A【详解】若 的欧拉线方程为 ，设点 ，则 的重心为 ，
显然点 在直线 上，于是得 ，
直线 的斜率为2，线段 的中点 ，则线段 的中垂线方程为 ，即 ，
由 得 的外心 ，即有 ，因此 ，
解得 或 ，于是得点C的坐标为 或 ；
当C的坐标为 时， 的重心为 ，外心为 ，因此 的欧拉线方程
为 ，
所以“ 的欧拉线方程为 ”是“点C的坐标为 ”的必要不充分条件.
故选：A
9．ACD
10．AD
【详解】对于A项，由题意可得 ，所以 ，从而点 在圆 的外
部，故A项正确；
对于B项，直线 恒过定点 ， ，
点 在圆的内部，所以直线与圆相交，则最长的弦为直径4，故B项错；
对于C项，圆心到直线的距离为 ，如图，直线 与圆相交，
， 与 平行，且与直线 的距离为1，故可以看出，圆的半径应该满足 ，故C项
错误；
对于D项，过点 作圆 ： 的切线只有一条，则点 在圆 上，又 ，故切线的斜率为 ，
所以切线方程为 ，即 ，故D项正确.
故选：AD.
11．ACD
【 详 解 】 圆 的 圆 心 为 半 径
故 正确；
由 题 知
当 时, 取得最小值为 故 错误；
根据向量投影的几何意义,知 在 方向上的投影的取值范围为
故 正确；
若 ,且 ,则 三点共线.
直线 的方程为 圆心 到直线 的距离为
所以直线 与圆相交,故存在两个不同的点 ,使 ,故 正确.
故选： .
三、填空题（每小题5分，共15分）
12．
13． 或14．6
【详解】 变形为 ，
令 ，解得 ，
故 恒过点 ，
设点 ，则 ⊥ ，
即 ，
整理得 ，
所以 点轨迹为以 为圆心， 为半径的圆，
又 ，即 在圆外，
则 的最大值为 .
故答案为：6
四、解答题（共77分）
15．（13分）
(1)
(2) 或 .
（1）解：设圆心为 ，
依题意有 ，解得 或 （舍去），
，则 ，故圆 的标准方程为
（2）若 斜率不存在，则 ，代入圆 方程得 ，
解得 或 ， ，符合题意；
若 斜率存在，设斜率为 ，则直线 ，即 ，
由圆心 到直线 的距离为 ，
即 ，所以 ， ，即
综上，所求直线 的方程为 或 .
16．（15分）
(1)解：因为 ，而直线 ： 的斜率为 ，
所以直线 的斜率为 ，即直线 的方程为： ，即 ，
所以点 在直线 与 边上的中线的交点， ，解得 ， ，
所以顶点 的坐标 ，而 为线段 的中点，所以
，即 的坐标 ；
(2)解：当直线 经过原点时，设直线 的方程为 ，将
的坐标 代入可得 ，解得 ，这时直线的方程为
；当直线 不过原点时，设直线 的方程为 ，
将 代入可得 ，解得 ，这时直线 的方程为
，综上所述：直线 的方程为 或 .
17．（15分）(1)
(2)
【详解】（1）直线 的斜率 ，
因为 ，所以直线 的斜率存在，设为 ，且 .
即 ，所以 ，解得 .
将 代入直线 得 ，即 ，
所以 与 之间的距离为 .
（2）若 ，则 ，
由 可知，点 是线段 的中点，
设 ，所以点 关于 的对称点 ，
因为点 在直线 上，
把点 代入 方程 ，即 ，
解得 ，
所以 ，
可得直线斜率 ，所以直线 的方程为 ，即 ，
所以直线 的方程为 .
18．（17分）(1) ；(2) ；
(3) ， ， .
【详解】（1）圆 的圆心 ，半径为 ，
圆 的圆心 ，半径为4，
由圆 与圆 有两个不同的交点，得 ，而 ，
因此 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .
（2）当 时，圆 ，此时圆 与圆 相交，两圆方程相减得直线 方程
，
点 到直线 的距离 ，
所以 .
（3）当 时， ，即圆 与圆 外切，圆 与圆 有1条内公切线 ，2条外公切
线 ，显然切线 的斜率存在，设方程为 ，则 ，
整理得 或 ，解 ，得
解 ，得 或 ，
因此内公切线 的方程为 ，即 ；
外公切线 的方程为 ， 的方程为 ，即 ，
所以圆 与圆 的公切线方程为 ， ， .
19.（17分）
【答案】(1)
(2)
(3)
（1）原方程可整理为 .
则 ，解得 .
（2）设圆心坐标为 ，则 ，由 得 .
消去t可得 ，此即为圆心的轨迹方程，
（3）求圆面积最大即求圆半径最大，即半径的平方最大，则 ， .
所以当 时， 的最大值为 ，此时圆的方程为 .
