文档内容
郑州外国语学校 2023-2024 学年高三年级适应性测试
数 学
本试卷共19题，满分150分，考试时间120分钟
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第 I卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1．某校高一年级18个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，获得了10个班的比赛
得分如下：91，89，90，92，94，87，93，96，91，85，则这组数据的
高三年级数学试卷第1页 共4页
8 0 % 分位数为
（ ）
A．93 B．93.5 C．94 D．94.5
2．若函数 f (x)=ln ( x2−ax ) 在区间(2,5)上单调递增，则实数 a 的取值范围是（ ）
A． ( − , 5 B． ( − , 2 ) C．(−,2 D． 5 , + )
3．已知等差数列 a
n
满足 a
2
+ a
5
+ a
8
= 4 ，前 n 项和为 S
n
，则 S
9
= （ ）
A．8 B．12 C．16 D．24
4．甲、 乙、丙等5名同学参加政史地三科知识竞赛，每人随机选择一科参加竞赛，则甲
和乙不参加同一科，甲和丙参加同一科竞赛，且这三科竞赛都有人参加的概率为（ ）
A．
4
8 1
B．
2
2 7
C．
18 01
D．
4
2 7
5．已知椭圆
x
4
2
+ y 2 = 1 ，点 P 是椭圆上的任一点，则点 P 到直线 x + 2 y − 2 = 0 的最大距离
是（ ）
A． 3 1 0 B．
6 1
5
0 3 10
C． 10 D．
5
6．如图所示的四棱锥 P A B C D − 中，底面 A B C D 为正方形，且各棱长均相等，E是 P B 的中
点，则异面直线 A E 与BD所成角的余弦值为（ ）
A．1 B．
2
2
C．
3
3
D．
6
6
7．已知函数 f ( x ) =
c o s
x
x
，若A，B是锐角 A B C 的两个内角，则下列结论一定正确的是
（ ）
A． f(sinA) f(sinB) B． f(cosA) f(cosB)
C． f(sinA) f(cosB) D． f(cosA) f(sinB)
8．实数 a , b , c , d 满足 ( 2 a − 3 b + 6 ) 2 + ( 1 2 − 3 c 2 − 2 d ) 2 = 0 ，则 ( a − c ) 2 + ( b − d ) 2 的最小值为
（ ）
1 7 2 7 4
A． B． C． D．
7 7 7 7
{#{QQABSQAUggioAABAAAgCEwV6CEGQkAGCCAoGhFAIMAAAyBNABAA=}#}二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选得0分.
9．近年来，中国电影行业发展迅猛，消费者追求电影剧情的高质量，重视电影内容正面传
达的积极情绪，并且愿意为其买单．某机构调查到观众在观看电影时除了关注电影的剧
情、情节外，还会关注电影的幕后团队、精神内涵价值观、参演人员等方面．如图所示为
该机构调查的2023年中国网民观看电影时关注方面占比的统计表，则下列结论正确的是
（ ）
A．2023年中国网民观看电影时超过40%的网民会关注参演人员
B．这8个方面占比的极差是31.77%
C．这8个方面占比的中位数为37.69%
D．2023年中国网民观看电影时至少有10.73%的网民既关注剧情、情节，又关注精神
内涵价值观
10．已知函数
高三年级数学试卷第2页 共4页
f ( x ) 及其导函数 f ( x ) 的定义域均为 R ，若 f ( x ) 是奇函数，
f ( 2 ) = − f ( 1 ) 0 ，且对任意x， y R ， f ( x + y ) = f ( x ) f ( y ) + f ( x ) f ( y ) ，则（ ）
A． f ( 1 ) =
1
2
B． f ( 9 ) = 0
C．
2 0
k
= 1
f ( k ) = 1 D．
2 0
k
= 1
f ( k ) = − 1
11．如图，在正方体 A B C D − A
1
B C1
1
D
1
中，点P为线段 A C1 上的动点，则下列结论正确的是
（ ）
A．当 A
1
P =
1
3
A C1 时，DPAP的值最小
1
2
B．当AP= AC时，DP⊥AP
1 3 1 1
π
C．若平面ABCD上的动点M 满足MDC = ，则点M 的轨迹是椭圆
1 6
D．直线 D D
1
与平面ADP所成角的正弦值是
1 1
1
2
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
{#{QQABSQAUggioAABAAAgCEwV6CEGQkAGCCAoGhFAIMAAAyBNABAA=}#}12．已知集合
高三年级数学试卷第3页 共4页
A = a − 2 , a 2 + 4 a ,1 0 ，且 − 3 A ，则 a = .
13．设等比数列 a
n
的前 n 项和为 S
n
，若S =2n+1+，则实数
n
= ．
14．为求方程 x 5 − 1 = 0 的虚根，可把原式变形为 ( x − 1 ) ( x 2 + a x + 1 ) ( x 2 + b x + 1 ) = 0 ，由此可得
原方程的一个虚根的实部为 .
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15．已知函数 f ( x ) = x 3 + a x 2 + b x + c 在 x = 1 − 和 x = 3 处取得极值.
(1)求a,b的值及 f(x)的单调区间；
(2)若对任意 x [1 , 5 ] ，不等式 f ( x ) c 2 恒成立，求 c 的取值范围.
16．某面包店的面包师声称自己店里所出售的每个面包的质量均服从期望为 1 0 0 0 g ，标准
差为 5 0 g 的正态分布．
(1)已知如下结论：若 X ~ N ( , 2 ) ，从X的取值中随机抽取K（KN*， K 2 ）个数
据，记这K个数据的平均值为Y，则随机变量 Y ~ N ,
K
2
,
请利用该结论解决问题；假设
面包师的说法是真实的，那么从面包店里随机购买25个面包，记这25个面包质量的平均
值为Y，求 P ( Y 9 8 0 ) ；
(2)假设有两箱面包（面包除颜色外，其它都一样），已知第一箱中共装有6个面包，其中
黄色面包有2个；第二箱中共装有8个面包，其中黄色面包有3个，现随机挑选一箱，然
后从该箱中随机取出2个面包，求取出黄色面包个数的分布列及数学期望．
附：随机变量服从正态分布 N ( , 2 ) ，则 P ( ) 0 .6 8 2 7 − + = ，
P(−2+2)=0.9545， P ( 3 3 ) 0 .9 9 7 3 − + = ．
{#{QQABSQAUggioAABAAAgCEwV6CEGQkAGCCAoGhFAIMAAAyBNABAA=}#}17．如图，AB是半球O的直径，
高三年级数学试卷第4页 共4页
A B = 4 ， M , N 依次是底面 A B 上的两个三等分点，P是
半球面上一点，且 P O N = 6 0 ．
(1)证明： P B ⊥ P M ；
(2)若点 P 在底面圆上的射影为 O N 中点，求直线 P M 与平面 P A B 所成的角的正弦值．
18．已知双曲线C的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，点 P ( 2 , 2 ) 在C上，点P与C的
上、下焦点连线所在直线的斜率之积为 −
1
2
．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)经过点 A ( 0 ,1 ) 的直线 l1 与双曲线C交于E，F两点(异于点P)，过点F作平行于x轴的直
线l ，直线PE与
2
l2 交于点D，且 D F = 2 B F 求直线AB的斜率．
19.记U＝{1，2，…，100}.对数列{a }（n∈N*）和U的子集T，若T＝，定义S ＝0；
n T
若T＝{t ，t ，…，t }，定义S ＝a ＋a ＋…＋a .例如：T＝{1，3，66}时，S ＝a ＋a
1 2 k T t1 t2 tk T 1 3
＋a .现设{a }（n∈N*）是公比为3的等比数列，且当T＝{2，4}时，S ＝30.
66 n T
（1）求数列{a }的通项公式；
n
（2）对任意正整数k（1≤k≤100），若T {1，2，…，k}，求证：S ＜a ＋1；
T k
（3）设C U，D U，SC≥SD，求证：S ＋S ≥2S .
C C∩D D
{#{QQABSQAUggioAABAAAgCEwV6CEGQkAGCCAoGhFAIMAAAyBNABAA=}#}
