文档内容
高二数学试卷
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动.
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3.考试结束后.将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：北师大版选择性必修第一册.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 某书架的第一层放有 7 本不同的历史书，第二层放有 6 本不同的地理书.从这些书中任取 1 本历史书和 1
本地理书，不同的取法有（ ）
A. 13 种 B. 42 种 C. 种 D. 种
【答案】B
【解析】
【分析】根据分步乘法计数原理求解即可．
【详解】7 本不同的历史书任取 1 本历史书有 7 种取法；
6 本不同的地理书任取 1 本地理书有 6 种取法，
从这些书中任取 1 本历史书和 1 本地理书，
根据分步乘法原理得到不同的取法有 7×6=42 种.
故选：B.
2. 已知直线 与直线 平行，则 （ ）
A. 1 B. 3 C. 1 或 D. 或 3
【答案】C
【解析】
【分析】根据一般式方程两直线平行的条件得到方程，求出参数的值，再检验即可.
【详解】因为直线 与直线 平行，
所以 ，解得 或 ，
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学科网（北京）股份有限公司经检验，当 或 时，均满足两条直线平行.
故选：C
3. 若直线 与圆 只有一个公共点，则 （ ）
A. B. 1 C. 0 D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，可得直线 与圆 相切，再借助点到直线距离公式计算即得.
【详解】依题意，直线 与圆 相切，而圆 的圆心 ，半径为 1，
因此 ，解得 ，
所以 .
故选：C
4. 某农业科学院培育脐橙新品种，新培育的脐橙单果质量 （单位：g）近似服从正态分布 ，
现有该新品种脐橙 10000 个，估计单果质量不低于 150g 的脐橙个数为（ ）
附：若 ，则 ， ，
.
A. 8413 B. 9772 C. 9974 D. 9987
【答案】D
【解析】
【分析】由条件求出 和 值，依据正态分布的对称性可得质量不低于 150g 的概率，即可得解.
【详解】由 可知， ， ，
则 ，
故单果质量不低于 150g 的脐橙个数约为 10000×0.9987=9987.
故选：D
5. 小花准备将一颗黄色圣女果、一颗红色圣女果、一颗山楂、一颗草莓、一颗葡萄串起来制作一串冰糖葫
芦，若要求两颗圣女果不相邻，则不同的串法有（ ）
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
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学科网（北京）股份有限公司【答案】C
【解析】
【分析】利用插空法可求得结果.
【详解】先将一颗山楂、一颗草莓、一颗葡萄进行排序，
然后将两颗圣女果插入一颗山楂、一颗草莓、一颗葡萄所形成的空位中，
从 个空位中抽取 个空位进行排序，
由插空法可知，不同的串法有 种.
故选：C.
6. 已知 为坐标原点，双曲线 的右焦点为 F，点 在 C 的渐近线上，过点
F 作 ，垂足为 ， ，则 C 的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由两点距离公式及向量运算得 ，根据点线距离求出 ，由点 在 C 的渐
近线上得 ，.
【详解】由 知 ，又 ，所以 .
由 ，则 为焦点 F 到渐近线 即 的距离，
所以 ，在 中， ，
由点 在 C 的渐近线上，所以 ，即 ，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 C 的方程为 .
故选：A
7. 小明参加户外植树活动，种植了 A，B 两种树苗各 5 棵，A 种树苗的成活率为 0.8，B 种树苗的成活率为
0.6，记 A，B 两种树苗最终成活的棵数分别为 ， ，则 （ ）
注：设 X，Y 两个随机变量，则有 .
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据二项分布的期望性质直接计算即可.
【详解】 服从二项分布 ， .
同理， ，
.
故选：C.
8. 在 四 棱 锥 中 ， 底 面 是 菱 形 ， ， ， E 是 上 一 点 ，
且
， ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据空间向量的线性运算可得 ，再结合数量积运算求解即可.
【详解】因为 ，则 ，
又因为 ， ， ，则 ，
且 ， ，则 ，
可得 ，
则
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学科网（北京）股份有限公司，
所以 ，即 .
故选：B.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得分分，有选错的得 0 分.
9. 由一组样本数据 ，利用最小二乘法得到两个变量的回归直线方程为
，记 ， ，则下面说法正确的是（ ）
A. 直线 至少经过点 中的一个点
B. 直线 必经过点
C. 样本相关系数 与回归系数 同号
D. 对样本相关系数 ， 越大，两个变量之间的线性相关性越强
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据回归直线性质、相关系数、回归系数的概念逐项分析可得答案.
【详解】回归直线是由点拟合而成的，可能不过任何一个样本点，但必过数据的中心点，A 错误，B 正确.
样本相关系数 为正时，两个变量为正相关，回归系数 为正；样本相关系数 为负时，
两个变量为负相关，回归系数 为负.故样本相关系数 与回归系数 同号，C 正确.
样本相关系数 ， 越大，两个变量之间的线性相关性越强，D 正确.
故选：BCD.
10. 如图，在八面体 中， ， ， ， 均是边长为 4 的正三角形，且
平面 ， ， 均垂直于底面 ，下列结论正确的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. 为正三角形
C. 点 到平面 的距离为 2 D. 直线 与直线 所成角的余弦值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用面面垂直的性质、线面垂直的性质推理判断 A；证明 、 ，
判断 B；利用线面平行的性质求出点 到平面 的距离判断 C；建立空间直角坐标系，利
用空间向量求出线面角的余弦判断 D.
【详解】取 的中点 ，连接 ，
在正 ，正 中， ，
由平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，则 平面 ，
同理 平面 ，于是 ，四边形 为平行四边形， ， ，
而 ， ，因此 ， ，A 正确；
同理 ， ，则 ，即 为正三角形，B 正确；
由 ， 平面 ， 平面 ，得 平面 ，
则点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离，
连接 ， 是 的中点，则点 到平面 的距离是点 到平面 的距离的一半，
而点 到平面 的距离为 ，因此点 到平面 的距离为 ，C 错误；
记 的中点为 ，以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
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学科网（北京）股份有限公司则点 ， ， ， ，
， ， ，
所以直线 与直线 所成角的余弦值为 ，D 正确.
故选：ABD
11. 已知 A，B 分别为椭圆 ： 的左、右顶点，D 为 C 的上顶点， 为坐标原点，E
为 C 上一点，且位于第二象限，过点 E 作 轴，垂足为 M，直线 ， 分别与 y 轴交于点 H，G，
则下列结论正确的是（ ）
A. 若 D 是 的中点，则
B. 若 M 是 C 的左焦点，则 G 是 的中点
C.
D. 若 M 是 的中点，则
【答案】AC
【解析】
【分析】对 A：求出直线 的方程，与椭圆联立，求出点 及 的坐标，即可求解；对 B：求出直线
的方程，可得点 的坐标，即可判断；对 C：设 ，求出直线 ， 的方程，求出点 及
的坐标，即可判断；对于 D：利用三角形相似得 ，结合 C 选项，可得
，即可求解 .
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学科网（北京）股份有限公司【详解】由 是 的中点，则 ，又 ，则直线 的方程为 ，
与 联立可得 ，解得 或 ，
将 代入 ，可得， ，
即 ，则 ，故 ，A 正确.
若 是 的左焦点，则 ，直线 的方程为 .
令 ，得 ，所以 .令 ，得 ，
即当 时， 是 的中点，B 错误.
设 ，直线 ， 的斜率分别为 ， ，
则 ， ， .
直线 ， 的方程分别为 ， ，
分别令 ，可得 ， ，所以 ， .
，C 正确.
由 ∽ 得 ，由 ∽ 得 ，
可得 .
因为 是 的中点，所以 .
结合 ，可得 ，
所以 ，D 错误.
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学科网（北京）股份有限公司故选：AC
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.把答案填在答题卡中的横线上.
12. 展开式中 的系数为________.
【答案】
【解析】
【分析】根据二项式定理通项公式法计算即可。
【详解】根据二项式定理通项公式，知道 展开式中 的系数为 .
故答案为： .
13. 已知抛物线 C： 的焦点为 F，P 在 C 上，若以 为直径的圆与 x 轴相切于点 ，则
________.
【答案】2
【解析】
【分析】根据题意可得点 ，再利用抛物线的定义即可得结果.
【详解】由题意得 ，设 ， 的中点为 ，则 .
因为以 为直径的圆与 轴相切于点 ，
则 ，即 ，解得 ，则 ，
所以
故答案为：2
14. 甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字 1，1，3，3，乙的卡
片上分别标有数字 2，2，4，4，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选
一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得 1 分，数字小的人得 0 分，然后各自弃置此轮所选的
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学科网（北京）股份有限公司卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用），则甲在第一轮比赛中得 1 分的概率为_________，甲的总得
分为 1 的概率为_________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】①设“甲在第一轮比赛中得 1 分”为事件 ，求得 ， ，利用古典概型的概率公式运算
即可.②甲的总得分可能为 0，1，2，分别求甲的总得分为 0，2 的概率，即得“甲的总得分为 1 的概率”.
【详解】设样本空间为 ，甲在第一轮比赛中得 1 分为事件 A，
在第一轮比赛中，甲、乙两人所选卡片上的数字可能为（1，2），（1，4），（3，2），（3，4），即
只有一种情况（3，2）满足甲在第一轮比赛中得 1 分，即 ，
所以甲在第一轮比赛中得 1 分的概率为 .
甲的总得分可能为 0，1，2.由于对称性，不妨固定乙四轮所选卡片上的数字依次为（2，2，4，4），甲四轮
所选卡片上的数字有 种排序方法.
若甲的总得分为 0，则甲四轮所选卡片上的数字依次为（1，1，3，3）；
若甲的总得分为 2，则甲四轮所选卡片上的数字依次为（3，3，1，1）.
故甲的总得分为 0，2 的概率均为 ，甲的总得分为 1 的概率为 .
故答案为： ； .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 袋中装有 12 个大小相同的球，其中红球 2 个，黄球 3 个，白球 7 个，从中随机取出 3 个球.
（1）求取出的 3 个球中有 2 个白球的概率；
（2）设 X 表示取到的红球个数，求 X 的分布列与数学期望.
【答案】（1）
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）应用超几何分布的概率公式求概率即可.
（2）先分别应用超几何分布的概率公式求出对应概率，再写出分布列，再求数学期望即可.
【小问 1 详解】
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学科网（北京）股份有限公司所求概率为
【小问 2 详解】
X 可能的取值为 0，1，2.
，
.
故 X 的分布列为
0 1 2
故 .
16. 为了研究某中药预防方对预防某种疾病的效果，科学家进行了实验，得到如下结果（单位：人）：
患病情况 患 不 患
服用情况 病 病
服用中药预防方 10 90
不 服 用 中 药 预 防
50 50
方
（1）该中药预防方对预防该种疾病是否有效?
（2）从参与该实验的人中任选一人，A 表示事件“选到的人服用中药预防方”，B 表示事件“选到的人患病”.
利用该调查数据，求 ， 的值.
附： ，其中 .
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学科网（北京）股份有限公司0.10 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
【答案】（1）有 99%的把握认为该中药预防方对预防该种疾病有效
（2） ， .
【解析】
【分析】（1）利用 的性质进行比较.
（2）利用条件概率，分析情况得到答案.
小问 1 详解】
由已知得 ，
所以有 99%的把握认为该中药预防方对预防该种疾病有效.
【小问 2 详解】
由题意可得 ， ，
， .
，
17. 如图，在三棱锥 中， 是边长为 2 的正三角形， 平面 ， ，点 为
上的动点.
（1）求三棱锥 的体积；
（2）当 最小时，求平面 与平面 所成角的余弦值.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出底面积和高，根据棱锥体积公式计算即可；
（2）建立空间直角坐标系，求出关键点坐标，借助二次函数性质，求得所以当 时， 有最小值.再
求出面的法向量，借助向量夹角余弦值公式计算即可.
【小问 1 详解】
容易求得 .
因为 平面 ，所以 是三棱锥 的高.
中， ，
所以三棱锥 的体积 .
【小问 2 详解】
取 的中点 O，连接 ，以 ， 所在直线分别为 x 轴、y 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，所以 .
设 ，则 ， ，
则 ，
所以当 时， 有最小值.
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学科网（北京）股份有限公司此时， ， .
设平面 的法向量为 ，
则 所以
令 ，则 ， ，所以 .
平面 的一个法向量为 ，
设平面 与平面 所成的角为 ，
则 ，
所以当 最小时，平面 与平面 所成角的余弦值为 .
18. 甲、乙 2 名同学最近 100 次的投篮情况如下：
甲 乙
投中 50 60
未投中 50 40
用频率估计概率，解答下列问题．
（1）若从甲、乙 2 人中随机选择 1 人投篮 1 次，求投中的概率．
（2）设甲、乙进行投篮比赛，约定甲、乙轮流投篮，第一次由甲先投．规定：若其中一人比另一个人多投
中 2 次，则停止比赛（例如：甲第一次投中，乙第一次未投中，甲第二次投中，则停止比赛，乙不再投第
二次），投中次数多的赢得比赛；若甲、乙都投完了 5 次，则也停止比赛，投中次数多的获胜，次数相同则
平局．甲、乙每次投中与否相互独立．
①求甲投了第 3 次后停止比赛的概率；
②求乙投了第 4 次后停止比赛的概率．
【答案】（1）
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学科网（北京）股份有限公司（2）① ；②
【解析】
【分析】（1）利用频率求出两人投中的概率，然后根据两人的投中概率可求答案；
（2）①先明确甲投了第 3 次后停止比赛的所有情况，结合互斥事件的概率求解；②乙投了第 4 次后停止比
赛，说明乙比甲多投中 2 次，按照轮次情况，分类求解概率即可.
【小问 1 详解】
甲同学 投篮命中率为 ，
乙同学的投篮命中率为 ．
从甲、乙中随机选择 1 人投篮 1 次，投中的概率为 ．
【小问 2 详解】
①甲投了 3 次，则乙投了 2 次．
由题意可得甲比乙多投中 2 次，有 2 种情况．
第一种情况：甲投中了 3 次，乙投中了 1 次，即甲每次投篮都投中，乙第一次投篮投中，第二次投篮没投
中，其概率为 ．
第二种情况：甲投中了 2 次，乙投中了 0 次，即甲第一、三次投篮投中，第二次投篮没投中，乙每次投篮
都 没 投 中 ， 或 甲 第 二 、 三 次 投 篮 投 中 ， 第 一 次 投 篮 没 投 中 ， 乙 每 次 投 篮 都 没 投
中 ， 其 概 率 为
，
故所求概率为 ．
②乙投了 4 次，则甲投了 4 次．
记甲、乙各投 1 次为一轮，则甲、乙共投了四轮．
在每轮比赛中，记事件 为乙投中的次数比甲多 1 次，即乙投中，甲没投中，其概率 ，
记事件 为甲、乙投中的次数相等，即甲、乙都没投中或都投中，其概率 ，
记事件 为乙投中 次数比甲少 1 次，即乙没投中，甲投中，其概率 ．
投了第四次后停止比赛，即投了四轮后乙投中的次数比甲多 2 次，有 2 种情况．
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学科网（北京）股份有限公司第一种情况：四轮比赛中，事件 各发生 2 次，即第一至四轮依次为 或 ， 或
，其概率为 ．
第二种情况：四轮比赛中，事件 发生 3 次，事件 发生 1 次，即第一至四轮依次为 ， 或
，其概率为 ．
所求概率为 ．
19. 已知 为坐标原点，椭圆 ： 的左顶点为 A，右焦点为 F，点 B 在 C 上，且
， ，直线 与直线 的斜率之比为 3.
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）过点 F 的直线 ， 分别与 C 交于点 D，E 和点 M，N，若 P，Q 分别为线段 和 的中点，当
直线 ， 的斜率之积为 时，求 的面积的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先根据对称性，设两直线的斜率，求出 ，再求出 ， ， .再求
出 .
（2）设直线 的方程为 ， ， ，联立得
，求出 ，再求出 的中点为 .再求
出 的面积.
【小问 1 详解】
根据对称性，不妨设点 在第一象限.
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学科网（北京）股份有限公司记直线 与直线 的斜率分别为 ， ，
， .
由题意可得 ，
所以
，解得 ， ， .
故椭圆 C 的标准方程为 .
【小问 2 详解】
显然直线 ， 的斜率存在且不为 0.
设直线 的方程为 ， ， ，
联立 得 ，
所以 ， ，
则 ， ， .
同理 ， ， ，
所以 的中点为 .
的面积 ，
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学科网（北京）股份有限公司当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 的面积的最大值为 .
【点睛】思路点睛：
圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为
变量，建立函数关系求解作答.
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