文档内容
吉安市高二上学期期末教学质量检测 2025.1
数学试题
（测试时间：120分钟 卷面总分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试
卷上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 直线 的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据直线的方程可得出其倾斜角.
【详解】因为 为常数，故直线 的倾斜角为 .
故选：A.
2. 椭圆 的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据椭圆方程确定焦点位置，进而写出其坐标.【详解】由题设 ，故椭圆的焦点在 轴上，且 ，
所以焦点坐标为 .
故选：B
3. 直线 与 之间的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据两平行直线的距离公式计算即可求解.
【详解】因为直线 和 平行，
由两条平行直线间的距离公式可得 ．
故选：D．
4. 已知双曲线 与双曲线 的离心率相同，则 （ ）
A. B. 2 C. D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】先分别求得双曲线 和双曲线 的离心率，再根据其离心率相同求解.
【详解】解：因为双曲线 ，
所以 ，则 ， ，又双曲线 ，
所以 ，则 ，
因为双曲线 与双曲线 的离心率相同，
所以 ，解得 ，则 ，
故选：A
5. 圆 与圆 的公切线条数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据两圆的位置关系可判断两圆公切线的条数.
【详解】圆 ，则圆心 ，半径 ，
圆 ，则圆心 ，半径 ，
则 ，由于 ，即 ，
故圆 与圆 相交，其公切线条数为 ．
故选 ：C．
6. 如 图 ， 正 四 面 体 中 ， 分 别 为 中 点 ， 为 线 段 上 一 动 点 ， 设
，则 （ ）A. 1 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设 ，再利用向量的加法法则与减法法则即可求得结果.
【
详解】设 ,
则
故 ,
故选：B
7. 春节档将有多部影片上映，小明一行五个人准备在大年初一各自从 四部影片中选一部去观看．
已知每部影片都有人选，且小明没有选影片 ，则所有不同的选法种数为（ ）
A. 72 B. 96 C. 180 D. 288
【答案】C
【解析】
【分析】先将五人进行分组，再根据题意进行影片选择，由分步乘法计数原理可得结果.
【详解】根据题意先将五人分成四组，共有 种，
再将四组人员分别分配去观看四部电影，且有小明的一组人员没有选影片 ，共有 种，
因此所有不同的选法种数为 种.
故选：C
8. 如图，四边形 ， ，现将 沿 折起，当二面角
的值属于区间 时，直线 和 所成角为 ，则 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】取 的中点为 ，连接 ，易知 是 的平面角，根据已知构
建合适的空间直角坐标系，再应用向量法求得直线 和 所成角的余弦值关于 的表达式，
即可求最大值.
【详解】取 的中点为 ，连接 ，又 ，
所以 ，且 ， 是 的平面角，
由 都在面 内，故 面 ，面 内过 作 ，
可构建如下图示的空间直角坐标系，则 ，由 ，则 ，且 ，
所以 ，
则 ，
当 时，最大 .
故选：D.
【点睛】关键点点睛：构建合适空间直角坐标系，并确定含参的点 坐标为关键.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知点 在抛物线 上，且 ，其中 为抛物线 的焦点，则（
）
A. 抛物线 的准线为 B. 点 的坐标为
C. D. 过点 作 轴于点 ，则 的面积为
【答案】AD
【解析】
【分析】根据抛物线的定义得 ，进而得到准线、焦点判断A、B；将 代入抛物线判断C；求出三角形面积判断D.
【详解】根据抛物线的定义知， ，则 ，
所以抛物线的准线为 ，焦点 ，A对，B错；
将 代入抛物线，得 ，C错；
由 轴于点 ，则 ，故 ，所以 的面积为 ，D对.
故选：AD
10. 已知 展开式中二项式系数之和为64，则（ ）
A. B. 展开式的各项系数之和是1
C. 展开式中第4项的二项式系数最大 D. 展开式中常数项为240
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据二项式系数之和得到 ，再根据二项式及展开式通项、组合数、赋值法判断各项的正误.
【详解】A，由题设，二项式系数之和 ，A错；
B，所以 时各项系数之和为 ，B对；
C，由组合数的性质知， ，即 时二项式系数 最大，C对；
D，对于 ，则 ， ，
令 ，则常数项为 ，D对.
故选：BCD
11. 已知点 ，且点 在直线 上，下列说法正确的是（ ）A. 的最大值为3
B. 若线段 与直线 有交点，则
C. 当 时，存在点 ，使得
D. 当 时， 周长的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】易知 的最大值为 的长度，可得A正确，求得两直线交点坐标得出不等式可得B
正确，求出以 为直径的圆方程可得C错误，利用点关于直线对称即可求得D正确.
【详解】对于A，由点 可知 两点的纵坐标相同，
即 平行于 轴，且 的长度为3，
因此 的最大值为 的长度3，即A正确；
对于B，易知 的方程为 ,可知直线 与 的交点坐标为(−3,2)；
若线段 与直线 有交点，可得 ，解得 ，即B正确；
对于C，当 时可得 ，
以 为直径的圆方程为 ，
显然圆心 到直线 的距离为 ，
即直线与圆相离，没有交点，所以不存在点 ，使得 ，即C错误；
对于D，当 时 ，
设 关于直线 的对称点坐标为 ，可得 ，解得 ，即 ，如下图所示：
显然 的周长为 ，即D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：求解周长最值以及线段长度最值问题时，经常求出对称点坐标结合三角形性质可得
结论.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知空间向量 满足 ，则 ______．
【答案】4
【解析】
【分析】根据空间向量的坐标表示和垂直向量的坐标表示计算即可求解.
【详解】因为 ，
故 ，
解得 ．
故答案为：4
13. 已知圆 过 三点，则圆 的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】设圆的一般方程，将三点的坐标代入方程，利用待定系数法求解圆的方程，结合圆的面积公式计
算即可求解.
【详解】设圆 的方程为 ，代入 三点坐标可得 ，解得 ，
所以圆 的方程为 ，
其标准方程为 ，半径 ，
故其面积 ．
故答案为：
14. 已知双曲线 的左，右焦点分别为 ，过点 作 轴的垂线与双曲线
在第一象限交于点 为坐标原点，若 ，且 ，则双曲线 的离心率为
_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，确定直角三角形的直角顶点位置，建立方程并结合双曲线定义求出 ，
再借助相似三角形性质列式求解作答.
【详解】根据题意 轴，所以 为直角三角形，由 有 ，
设 ，把 代入 有 ，所以 ，即
，
由 有 ，由 ，即 .
故答案为： .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 现有0，1，2，3，4这五个数字，回答下列两个问题．
（1）用这5个数字能够组成多少个无重复数字的五位数？
（2）用这5个数字能够组成多少个无重复数字的五位偶数？
【答案】（1）96； （2）60.
【解析】
【分析】（1）先排数字0，再排其它4个数字即可计算得解；
（2）选偶数先排个位数，分个位数字为0和个位数字为2或4两种情况，再排其它数位；
【小问1详解】
先排数字0，0只能占除最高位外的其余四个数位，有 种排法，
再排四个非0数字有 种，由分步乘法计数原理得 ，
所以能组成96个无重复数字的五位数；
【
小问2详解】
当个位数字为0时，则可以组成 个无重复数字的五位偶数，
当个位数字为2或4时，则可以组成 个无重复数字的五位偶数，
所以用这5个数字能够组成组成 个无重复数字的五位偶数；
16. 已知椭圆 的右焦点为 ，点 在椭圆 上．（1）求椭圆 的标准方程；
（2）已知直线 交椭圆 于 两点，且线段 的中点为 ，求直线 的斜率．
【答案】（1） ；
（2）1.
【解析】
【分析】（1）由点在椭圆上及 、椭圆的参数关系求椭圆方程；
（2）由题意，设 ，联立椭圆及韦达定理和中点坐标求参数k，即可得直线方程.
【小问1详解】
由题设 ，可得 ，则椭圆 ；
【小问2详解】
由题设，令 ，联立椭圆 ，
所以 ，整理得 ，
则 ，整理易得 ，
所以 ，可得 ，直线 的斜率为1.
17. 已知 的圆心在 轴上，且经过点 和 ．（1）求 的标准方程；
（2）过点 的直线 与 交于 两点．
①若 ，求直线 的方程；
②求弦 最短时直线 的方程．
【答案】（1）
（2）① 或 ；② ；
【解析】
【分析】（1）设出圆心坐标，根据圆上点的坐标解方程即可；
（2）①根据弦长求得圆心到直线的距离，分别讨论直线的斜率是否存在解方程可得结果；
②易知当 时，弦 最短，由直线的点斜式方程计算可得结果.
【小问1详解】
设圆心坐标为 ，
依题意可得： ，解得 ；
则该圆的圆心为 ，半径为 ；
故 的标准方程为： ；
【小问2详解】
①由过点 的直线 与 交于 两点，设圆心到直线的距离为 ,
由 ，可得 ， ；
当直线 的斜率不存在时，直线方程为 ，满足题意；
的
当直线 斜率存在时，设直线方程为 ，即
，解得 ，故直线 的方程为 ，即 .
综上可知，直线 的方程为 或 ；
②依题意可知点 在圆 内，如下图所示：
设圆心到直线 的距离为 ，由弦长公式可得 ，
显然当 取得最大值时，即 时，此时 ，
即当 时，弦 最短，
易知 ，因此直线 的斜率为 ，
可得直线 的方程为 ，即 .
18. 在长方体 中，侧面 为正方形， ， 为线段 （不包含端
点）上一动点，请利用空间向量法解决下列两个问题．
（1）若 ，求 的长度；
（2）求点 到平面 距离的取值范围．【答案】（1）1； （2） .
【解析】
【分析】（1）构建合适空间直角坐标系，设 且 ，应用向量垂直的坐标表示列方程求参
数m，即可得 长度；
（2）求出面 的一个法向量，应用点面距离的向量求法求范围.
【小问1详解】
构建如下图示的空间直角坐标系，则 ，设 且 ，
则 ， ，又 ，
则 ，可得 ，
所以 的长度为1.
【小问2详解】
若 是面 的一个法向量，则 ，
令 ，则 ，而 ，故 ，
所以点 到平面 距离 ， ，
所以 ，且 ，故 .
19. 已知双曲线 的渐近线方程为 ， 与 轴的正、负半轴分别交于 ，两点，过点 的直线 与 的右支交于 ， 两点.
（1）若 的斜率存在，求出 斜率的取值范围；
（2）探究： 是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由（其中 ， 分别表示直线
， 的斜率）；
（3）若直线 ， 交于点 ，且 ，求 的取值范围.
【答案】（1）
（2）是，
（3）
【解析】
【分析】（1）设 ， ，直线 的方程为 ，与双曲线方程联立利用韦达定理可
得答案；
（2）由韦达定理代入 可得答案；
（3）设直线 与直线 的方程分别为 ， ，联立两直线方程可得交点
的横坐标为1，可得 ，再利用 的单调性可得答案.
【小问1详解】
由 的渐近线方程为 可得 ，易知直线 的斜率不为0，设 ， ，直线 的方程为 ，
联立双曲线 与直线 得， ，
则
解得 ，
再由斜率 存在以及 可得， 的取值范围为 ；
【小问2详解】
依题意， ， ，由韦达定理可知，
， ，
于是 ，
因此
；
【
小问3详解】
由（2）可知， ，
设直线 与直线 的方程分别为 ， ，
联立两直线方程可得交点 的横坐标为1，故
.
当且仅当 时等号成立，
故 的取值范围为 .
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的定值问题的方法：（1）求代数式为定值．依题设条件，得出与代数式
参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值．（2）求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距
离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得．（3）求某线段长度为定值．利用长度公式
求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．
