文档内容
2024 年高三年级期初调研检测
数学试题
2024.09
本试卷共 4页，19题．全卷满分 150分．考试用时 120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证
号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在
本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
A= { x y =ln ( 4−x )} B={ 1,2,3,4,5 } AB =
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. {5} B. {1,2,3} C. {1,2,3,4} D. {1,2,3,4,5}
2. 已知复数z满足 ( 1+2i ) z =4+3i，则z的虚部为（ ）
A. 1 B. −1 C. i D. −i
π π
3. 已知命题p：∀α∈R，sin −α =cos +α ，则¬p为（ ）
4 4
π π π π
A. ∀α∈R，sin −α ≠cos +α B. ∃α∈R，sin −α ≠cos +α
4 4 4 4
π π π π
C. ∀α∉R，sin −α =cos +α D. ∃α∉R，sin −α =cos +α
4 4 4 4
4. 等差数列 的首项为−1，公差不为0，若a ,a ,a 成等比数列，则 的前6项和为（ ）
2 3 6
{𝑎𝑎𝑛𝑛} {𝑎𝑎𝑛𝑛}
A. −1 B. 3 C. −24 D. 24
5. 在平面直角坐标系 xOy 中，角 α 与角 β 均以 x 轴的非负半轴为始边，它们的终边关于 x 轴对称．若
1
cosα=− ，则cos (α−β)=（ ）
3
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A. B. − C. 1 D.
9 9 9
6. 两个粒子A，B从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为S =(1,2)，S =(4,3)．粒子
A B
B相对粒子A的位移为S，则S在S 上的投影向量为（ ）
A
5 2 5 ( )
A. , B. 5,2 5 C. (1,2) D. (2,1)
5 5
( x+a )2 ,x≤0
7. 设 f
(
x
)=
1 ，若 f
(
0
)
是 f
(
x
)
的最小值，则a的取值范围为（ ）
x+ +a,x>0
x
A. [−1,0 ] B. [−1,2 ] C. [−2,−1 ] D. [−2,0 ]
x2 y2
8. 已知双曲线C: − =1(a >0,b>0)的左、右焦点分别为F ，F ．以F F 为直径的圆和C的渐近线
1 2 1 2
a2 b2
在第一象限交于A点，直线AF 交C的另一条渐近线于点B，FB= BA，则C的离心率为（ ）
1 1
A. 2 B. 3 C. 2 D. 3
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9. 一组数据：x ，x ，…，x 是公差为－2的等差数列，去掉首末两项x ，x 后得到一组新数据，则（ ）
1 2 10 1 10
A. 两组数据的极差相同 B. 两组数据的中位数相同
C. 两组数据的平均数相同 D. 两组数据的标准差相同
10. 平面α过正方体ABCD− ABC D 的顶点A，平面α//平面CBD ，平面α平面ABCD=m，平
1 1 1 1 1 1
面α平面ABB A =n，则（ ）
1 1
π
A. BD //m B. AB//平面α C. n⊥平面ADC B D. m,n所成的角为
1 1 1 1 1
3
m 1+a
11. 设数列 和 的项数均为m，称∑ a −b 为数列 和 的距离．记满足a = n 的所有数
i i n+1 1−a
i=1 n
{𝑎𝑎𝑛𝑛} {𝑏𝑏𝑛𝑛} {𝑎𝑎𝑛𝑛} {𝑏𝑏𝑛𝑛}
列 构成的集合为C．已知数列 { A } 和 { B } 为C中的两个元素，项数均为m，下列正确的有（ ）
n n
{𝑎𝑎𝑛𝑛}
A. 数列1,3,5,7和数列2,4,6,8的距离为4
( )
B. 若m=4p p∈N* ，则AA A = BB B
1 2 m 1 2 m
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学科网（北京）股份有限公司m
C. 若m=4p ( p∈N* ) ，则∑ A ≤m
i
i=1
D. 若A =2，B =3，数列 { A } 和 { B } 的距离小于2017，则m的最大值为3456
1 1 n n
三、填空题：本题共 3个小题，每小题 5分，共 15分．
12. 若曲线y =axcosx在点 ( 0,0 ) 处的切线斜率为−1，则a= ______．
π
13. 若x = ，x =π是函数 f ( x )=sinωx (ω>0 ) 的两个相邻极值点，则ω= ______．
1 3 2
14. 正方体ABCD－ABC D 的棱长为3，P是侧面ADD A（包括边界）上一动点，E是棱CD上一点，
1 1 1 1 1 1
若∠APB=∠DPE，且△APB的面积是DPE面积的9倍，则三棱锥P－ABE体积的最大值是______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次
2 1
平局．已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为 和 ，且每次活动甲、乙猜对与否互不影响，各次活
3 2
动也互不影响．
（1）求在一次猜谜活动中，有一方获胜的概率；
（2）若有一方获胜则猜谜活动结束，否则猜谜继续，猜谜最多进行3次，求猜谜次数X的分布列和期
望．
a
16. 已知ABC的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c， 2 ( ccosB+bcosC )= ．
cosA
（1）求A；
1
（2）若AB边上的高等于 c，求sinC．
3
17. 如图，在四棱锥P−ABCD中，底面四边形ABCD是正方形，PD= DC，PD⊥底面ABCD，E是
线段PC的中点，F 在线段PB上，EF ⊥ PB．
（1）证明：PB⊥平面DEF ；
（2）G在线段PB上，EG与PA所成的角为45，求平面DEF 与平面DEG夹角的余弦值．
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学科网（北京）股份有限公司18. 已知双曲线C:4x2 − y2 =m，点P(1,1)在C上．按如下方式构造点P（n≥2）；过点P 作斜率为1
1 n n−1
的直线与C的左支交于点Q ，点Q 关于 y轴的对称点为P ，记点P 的坐标为 ( x ,y ) ．
n−1 n−1 n n n n
（1）求点P,P 的坐标；
2 3
（2）记a =2x − y ，证明：数列 { a } 为等比数列；
n n n n
（3）O为坐标原点，G,H 分别为线段PP ，P P 的中点，记△OP P ，OGH 的面积分别为
n n+2 n+1 n+3 n+1 n+2
S
S ,S ，求 1 的值．
1 2 S
2
19. 已知函数 f ( x ) 定义域为I ，D⊆ I ，若∀x∈D，∃t∈D，当x
