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河北省保定市十校2025-2026学年高二上学期11月期中考试
数学试题
一、单选题
1．下列直线中，倾斜角为 的是（ ）
A． B． C． D．
2．若点 在双曲线 上，则 到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为（ ）
A． B． C． D．10
3．设空间向量 ，则 （ ）
A．6 B．9 C．-6 D．-9
4．圆 与圆 的位置关系是（ ）
A．内切 B．相交 C．外离 D．外切
5．设 是圆 上的动点，点 在 轴上， 的横坐标与 的横坐标相等，且 ，则
动点 的轨迹为（ ）
A．长轴长为 ，短轴长为4，焦点在 轴上的椭圆
B．长轴长为 ，短轴长为4，焦点在 轴上的椭圆
C．长轴长为 ，短轴长为 ，焦点在 轴上的椭圆
D．长轴长为 ，短轴长为 ，焦点在 轴上的椭圆
6．若双曲线 的焦距为4，直线 与 交于A，B两点，且线段AB的中点为 ，则直线
的斜率为（ ）A．2 B． C．1 D．
7．在直三棱柱 中， 为 的重心，则点
到平面ACD的距离为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，若平行光线与平面 所成的角 ，其照射在球 上，在平面 上形成的投影呈椭圆形，
则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．在四面体PABC中， 分别为棱PB，AC的中点，且
，则（ ）
A． B．
C． D．
10．若圆 上到直线 的距离为1的点有且仅有2个，则 的取值可以是
（ ）
A． B． C． D．11．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，左、右顶点分别为 为 上的动
点，则下列说法正确的是（ ）
A． 的最大值为0
B． 的最大值为
C．若存在点 ，使得 的斜率分别为 ，则 的离心率可能为
D．若存在点 ，使得 的斜率分别为 ，则 的离心率可能为
三、填空题
12．两条平行直线 之间的距离为 .
13．若双曲线 与椭圆 有公共点，则 的实轴长的取值范围是 ，
的离心率的取值范围是 .
14．在正方体 中， 为线段 的中点， 为侧面 上的动点.若 ，且
，则点 的轨迹长度为 .
四、解答题
15．（1）分别求直线 在 轴、 轴上的截距；
（2）求过点 ，且与直线 垂直的直线方程；
（3）若直线 的倾斜角为 ，求直线 的倾斜角.
16．在四棱锥 中， 底面 .(1)证明： 平面CDE.
(2)设 .
（i）求直线AD与平面BCE所成角的正弦值；
（ii）证明：平面CDE与平面BCE的夹角的余弦值小于 .
17．已知点 为坐标原点，动点 满足 ，记点 的轨迹为曲线 .
(1)求 的标准方程.
(2)若直线 与 交于 两点，求 的最大值.
18．已知椭圆 的右顶点为 ， 的两个焦点为 ，且
.
(1)求 的方程.
(2)设直线 与 相交于A，B两点， 关于 轴的对称点为 .
（i）若 ， 的横坐标大于 的横坐标，求直线AD的斜率.
（ii）试问直线AD是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.
19．已知P，Q是双曲线 上两个不同的点， 为坐标原点，点 .
(1)若点 在 上，求 的渐近线方程.(2)当O，P，Q，A四点共线时， ，点 .
（i）求 的方程；
（ii）若B，P，Q三点共线，P，Q两点均不在 轴上，M，N分别为 的左、右顶点，直线PM与QN交
于点 ，证明：动点 在一条定直线上.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B B D C A A B AB BCD
题号 11
答案 ABD
1．C
由倾斜角为 ，则该直线的斜率为 ，逐项判断即可.
【详解】若直线的倾斜角为 ，则该直线的斜率为 ，
所以这四条直线中，倾斜角为 的是 .
故选：C
2．B
根据双曲线的定义进行求解即可.
【详解】设双曲线 的实半轴长为 ，则 ，
所以 到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为 .
故选：B.
3．B
根据向量平行，列等式求解即可.
【详解】因为 ，所以 ，解得
故选：B.
4．D
写出两圆圆心和半径，由圆心距与半径和（差）的关系即可得到两圆的位置关系.
【详解】圆 ，圆 的圆心分别为 ，则 .
圆 ，圆 的半径分别为 ，则 ，则这两个圆的位置关系是外切.
故选：D.
5．C
设 点的坐标，然后根据 列出等式，代入圆的方程中即可得到 的轨迹为椭圆.【详解】设 ，则 ，
所以 .
因为 ，所以
代入 ，得 ，即 ，
则动点 的轨迹是长轴长为 ，短轴长为 ，焦点在 轴上的椭圆.
故选：C.
6．A
先根据双曲线的焦距求出 ，然后设 ，将其代入双曲线方程得到等式，根据中点坐标进
而可求出直线的斜率.
【详解】由双曲线 的焦距为4，得 ，解得 .
设 ，则 ，则 ，
因为点 是线段 的中点，
，所以 ，
所以 .
故选：A.
7．A
先建立空间直角坐标系，然后列出每个点的坐标，求出平面 的法向量的坐标，进而根据向量的数量
积进行求解即可.
【详解】取 的中点 的中点 ，连接 .
因为 ，所以 ，且 .以 为坐标原点，以 所在直线建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ，
所以 ， .
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，得 ，所以点 到平面 的距离为 .
故选：A.
8．B
设球的半径为 ，则知道椭圆的短轴长，过椭圆的长轴作 的垂面得到截面图，由平面几何求得椭圆的长
轴长，从而解得椭圆的离心率.
【详解】设球的半径为 ，则椭圆的短轴长 ，即 .
过椭圆的长轴作 的垂面，得到如图所示的截面图，
其中DE是椭圆的长轴， ，AD，BE是光线，
A，B是光线与球面的切点，则 ，
椭圆的长轴长 ，即 .
故椭圆的离心率 .故选：B.
9．AB
根据空间向量基本定理判断A、C，由空间向量数量积的运算判断B、D．
【详解】因为D，E分别为棱PB，AC的中点，
所以 ，A正确，C错误.
因为 ，且 ， ，
所以 ，B正确.
，D错误.
故选：AB．
10．BCD
先求得圆心到直线的距离 ，再由 ，求解即可.
【详解】圆 的圆心为 ，半径 ，
圆心到直线 的距离 ，
依题意得 ，即 ，
解得 ， .
故选：BCD
11．ABD
根据椭圆的性质，结合向量的数量积公式、直线的斜率公式以及椭圆的离心率范围逐一分析选项
【详解】由题意知 ，设 ，则 ，
对于A， ，
则 ，
当 时， 取最大值，所以 的最大值为 正确.对于B， ，
所以 ，当 时， 取最大值，
所以 的最大值为 ，B正确；
对于C、D，设 ，因为 ，所以 ，得 ，又 ，所以
，C错误，D正确.
故选：ABD
12．
利用两平行线间的距离公式求解.
【详解】
之间的距离，
即直线 之间的距离为 .
故答案为： .
13．
由双曲线方程写出 ，即可表示出离心率 ，由双曲线与椭圆有公共点得不等式，然后解得双曲线中
的范围，即得实轴长的取值范围，由不等式可以解得 的取值范围，可得 的离心率的取值范围.
【详解】由 ，得 ，则 ，所以 .因为 的上顶点的坐标为 的上顶点的坐标为 ，则 ，
即 ， ，所以 的实轴长的取值范围为 .
且 ，所以 .
故答案为： ； .
14．6
建立空间直角坐标系，设出点 的坐标，利用 得到 的关系式，再判断轨迹形状即可求解.
【详解】
以 为原点， 的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则
， ， ，
设 ，
则 ， ，
， ，
即 ， ，
当 时， ，此时 为棱 的中点；当 时， ，此时 为棱 的中点，
设棱 的中点为 ，棱 的中点为 ，连接MN，则点 的轨迹是线段MN，
， 点 的轨迹长度为6.
故答案为： .
15．（1）在 轴、 轴上的截距分别为 ；（2） ；（3）
（1）法一：方程转化成截距式，即可求解；法二：分别令 和 求解即可；
（2）法一：由垂直设直线方程 ，代入点即可求解，法二：通过垂直先求得斜率，再由点斜式
即可求解；
（3）法一：由倾斜角得到 ，进而可求解；法二：由两直线斜率互为相反数，得到这两条直线
的倾斜角互补， 即可求解
【详解】解：（1）（方法一）由 ，得 ，
所以直线 在 轴、 轴上的截距分别为 .
（方法二）令 ，得 ，
令 ，得 ，
所以直线 在 轴、 轴上的截距分别为 .
（2）（方法一）依题意设所求直线方程为 ，
将点 的坐标代入得 ，
解得 ，
所以所求直线的方程为 .
（方法二）因为直线 的斜率为 ，
所以所求直线的斜率为2，
所以所求直线的方程为 ，即 （或 ）.
（3）（方法一）因为直线 的倾斜角为 ，
所以 ，
又直线 的斜率为 ，
所以 ，
所以直线 的倾斜角为 .
（方法二）因为直线 的斜率与直线 的斜率互为相反数，
所以这两条直线的倾斜角互补，
所以直线 的倾斜角为 .
16．(1)证明见解析
(2)（i） ；（ii）证明见解析
（1）直接运用线面平行的判定定理证明即可.
（2）（i）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，进而找到向量坐标，再利用直线与平面所成角的向量
公式求解；
（ii）求出两个平面的法向量，再利用两平面夹角的向量公式求出夹角的余弦值，再比较大小.
【详解】（1）证明：因为 平面 平面CDE，
所以 平面CDE.
（2）以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，
,则 .
设平面BCE的法向量为 ，则 ，
令 ，得 .
（i）设直线AD与平面BCE所成角为 ，
因为 ，所以 ，
所以直线AD与平面BCE所成角的正弦值为 .
（ii）证明：设平面CDE的法向量为 ，
则 ,令 ，得 .
设平面CDE与平面BCE的夹角为 ，
由 ，
所以平面CDE与平面BCE的夹角的余弦值小于 .
17．(1)(2)
（1）设 ，根据题意，结合两点间距离公式，化简计算，即可得答案.
（2）根据（1）可得圆心为 ，半径为2，可得圆心C到直线 距离d的表达式，代入弦长公式，
根据k的范围，即可求得答案.
【详解】（1）设 ，因为 ，所以 ，
则 ，即 .
所以 的标准方程为 .
（2）由（1）知，曲线 为一个圆，且圆心为 ，半径为2，
因为圆心 到直线 的距离 ，
所以 ，
又 ，所以 ，
所以当 时， 取得最大值，且最大值为 .
18．(1)
(2)（i） ；（ii）直线AD过定点，且定点的坐标为
【详解】（1）因为 ，
所以由正弦定理得 ，则 ， \
则 ，又因为椭圆C的右顶点为 ，故 ，
所以 ，所以 的方程为 .
（2）设 ，将 代入 ，
得 ，
则 恒成立，
.
（i）若 ，则有 ，解得 或 .
依题意得 ，则 ，
因为点 关于 轴的对称点为 ，所以 ，
则 .
（ii）当 时， 重合，与条件矛盾，
直线AD的方程为 ，
假设直线AD过定点，根据对称性可知，定点必在 轴上，
令 ，得，
所以直线AD过定点，且定点的坐标为 .
19．(1)
(2)（i） ；（ii）证明见解析
【详解】（1）解：因为点 在 上，所以 .
又 ，所以 .
故 的渐近线方程为 .
（2）（i）
解：直线OA的方程为 .
由 得 .因为 ，所以 ，
所以 ，
解得 ，故 的方程为 .
（ii）
证明：因为P，Q两点均不在 轴上，所以直线PQ的斜率不为0，则可设直线PQ的方程为 .
由 得 ，
则 ， ，
设 ，则 .
直线 ，直线 ，
由
得 ，
