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2004 年湖南高考文科数学真题及答案
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）函数 的定义域为
A． B． C． D． 或
2．（5分）设直线 的倾斜角为 ，且 ，则 ， 满足
A． B． C． D．
3．（5分）设 是函数 的反函数，则下列不等式中恒成立的是
A． B． C． D．
4．（5分）如果双曲线 上一点 到右焦点的距离等于 ，那么点 到右准线的距离是
A． B．13 C．5 D．
5．（5分）把正方形 沿对角线 折起，当以 ， ， ， 为顶点的三棱锥体积最大时，直线
和平面 所成角的大小为
A． B． C． D．
6．（5分）某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点．公司为了调
查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中
有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为②．则完成①、
②这两项调查宜采用的抽样方法依次是
A．分层抽样法，系统抽样法
B．分层抽样法，简单随机抽样法
C．系统抽样法，分层抽样法
D．简单随机抽样法，分层抽样法
7．（5分）若 与 在区间 ， 上都是减函数，则 的取值范围是
A． B． ， ， C． ， D．
8．（5分）已知向量 ，向量 ， 则 的最大值，最小值分别是
第1页 | 共17页A． ，0 B．4， C．16，0 D．4，0
9．（5分）若函数 的图象的顶点在第四象限，则函数 的图象是
A． B．
C． D．
10．（5分）从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为
A．56 B．52 C．48 D．40
11．（5分）农民收入由工资性收入和其它收入两部分构成．2003年某地区农民人均收入为3150元（其中
工资性收入为1800元，其它收入为1350元），预计该地区自2004年起的5年内，农民的工资性收入将
以每年 的年增长率增长，其它收入每年增加160元．根据以上数据，2008年该地区农民人均收入介
于
A．4200元 元 B．4400元 元
C．4600元 元 D．4800元 元
12．（5分）设集合 ， ， ， ，那么
点 ， 的充要条件是
A． ， B． ， C． ， D． ，
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13．（4分）过点 且与曲线 在点 处的切线平行的直线方程是 ．
14．（4分） 的展开式中的常数项为 （用数字作答）
15．（4分） ， 是椭圆 的焦点，在 上满足 的点 的个数为 ．
16．（4分）若直线 与函数 且 的图象有两个公共点，则 的取值范围是 ．
第2页 | 共17页三、解答题（共6小题，满分74分）
17．（12分）已知 ，求 的值．
18．（12分）如图，在底面是菱形的四棱锥 中， ， ， ，
点 是 的中点．
证明 平面 ， 平面 ；
求以 为棱， 与 为面的二面角 的正切值．
19．（12分）甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床
加工的零件不是一等品的概率为 ，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率
为 ，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为 ．
（Ⅰ）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工零件是一等品的概率；
（Ⅱ）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率．
20．（12分）已知数列 是首项为 且公比 不等于1的等比数列， 是其前 项的和， ， ，
成等差数列．
证明 ， ， 成等比数列；
求和 ．
21．（12 分）如图，已知曲线 与曲线 交于 ， ，直线
与曲线 ， 分别交于 ， ．
（Ⅰ）写出四边形 的面积 与 的函数关系式 ；
第3页 | 共17页（Ⅱ）讨论 的单调性，并求 的最大值．
22．（14分）如图，过抛物线 的对称轴上任一点 ， 作直线与抛物线交于 ， 两点，
点 是点 关于原点的对称点．
设点 分有向线段 所成的比为 ，证明：
（Ⅱ）设直线 的方程是 ，过 ， 两点的圆 与抛物线在点 处有共同的切线，求圆
的方程．
第4页 | 共17页2004年湖南省高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）函数 的定义域为
A． B． C． D． 或
【解答】解： ，
或 ，
函数 的定义域： 或 ．
故选： ．
2．（5分）设直线 的倾斜角为 ，且 ，则 ， 满足
A． B． C． D．
【解答】解：
， ， ， ，
故选： ．
3．（5分）设 是函数 的反函数，则下列不等式中恒成立的是
A． B． C． D．
【解答】解：由 解得： ，
则函数 的反函数为 ，
恒成立
不等式中恒成立的是
故选： ．
4．（5分）如果双曲线 上一点 到右焦点的距离等于 ，那么点 到右准线的距离是
第5页 | 共17页A． B．13 C．5 D．
【解答】解：由题意可知， ，
点 到左焦点的距离 ，
设点 到右准线的距离是 ，
由双曲线的第二定义可知 ，
解得 ；
故选： ．
5．（5分）把正方形 沿对角线 折起，当以 ， ， ， 为顶点的三棱锥体积最大时，直线
和平面 所成角的大小为
A． B． C． D．
【解答】解：如图，当平面 平面 时，三棱锥体积最大
取 的中点 ，则 平面 ，
故直线 和平面 所成的角为
，
．
故选： ．
6．（5分）某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点．公司为了调
查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中
有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为②．则完成①、
②这两项调查宜采用的抽样方法依次是
A．分层抽样法，系统抽样法
B．分层抽样法，简单随机抽样法
C．系统抽样法，分层抽样法
第6页 | 共17页D．简单随机抽样法，分层抽样法
【解答】解：依据题意，第①项调查中，总体中的个体差异较大，应采用分层抽样法；
第②项调查总体中个体较少，应采用简单随机抽样法．
故选： ．
7．（5分）若 与 在区间 ， 上都是减函数，则 的取值范围是
A． B． ， ， C． ， D．
【解答】解： 在区间 ， 上是减函数，故对称轴 ；
在区间 ， 上是减函数，只需 ，即 ，综上可得 ．
故选： ．
8．（5分）已知向量 ，向量 ， 则 的最大值，最小值分别是
A． ，0 B．4， C．16，0 D．4，0
【解答】解： ， ，
，最大值为 4，最小值为 0．
故选： ．
9．（5分）若函数 的图象的顶点在第四象限，则函数 的图象是
A． B．
C． D．
第7页 | 共17页【解答】解：函数 是开口向上的二次函数，顶点在第四象限说明对称轴大于0
根据函数 在对称轴左侧单调递减，导函数小于0；在对称轴右侧单调递增，导函数大于0知， 满足
条件
故选： ．
10．（5分）从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为
A．56 B．52 C．48 D．40
【解答】解：如图，分两种情况，
①若取出的3个点在同一个表面上，
则取出的3个点组成的三角形，必然是直角三角形，
即有 种情况，
②若取出的3个点在不在同一个表面上，
过每一条棱，有2个直角三角形，
如过 的有 与 ；
即其情况数目为 ；
综合可得，有 个；
故选： ．
11．（5分）农民收入由工资性收入和其它收入两部分构成．2003年某地区农民人均收入为3150元（其中
工资性收入为1800元，其它收入为1350元），预计该地区自2004年起的5年内，农民的工资性收入将
以每年 的年增长率增长，其它收入每年增加160元．根据以上数据，2008年该地区农民人均收入介
于
A．4200元 元 B．4400元 元
C．4600元 元 D．4800元 元
【解答】解：由题知：2004年农民收入 ；
第8页 | 共17页2005年农民收入 ；
所以2008年农民收入
故选： ．
12．（5分）设集合 ， ， ， ，那么
点 ， 的充要条件是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【解答】解：
，
，
，
故选： ．
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13．（4分）过点 且与曲线 在点 处的切线平行的直线方程是
．
【解答】解： ， 切线斜率为 ． 所求直线方程为 ，即 ．
故答案为： ．
14．（4分） 的展开式中的常数项为 8 4 （用数字作答）
【解答】解：
令 ， ，故 的展开式中的常数项为
故答案为：84
15．（4分） ， 是椭圆 的焦点，在 上满足 的点 的个数为 2 ．
【解答】解：设 ，
则 ，
第9页 | 共17页所以 ， 是一元二次方程 的两根
判别式△ 故此方程有一个实根，
根据椭圆的对称性可知椭圆上存在2个点 满足
故答案为2．
法二：（几何法）由椭圆的图形知 ，故这样的 点只能有两个．
故答案为2．
16．（4分）若直线 与函数 且 的图象有两个公共点，则 的取值范围是
．
【解答】解：①当 时，作出函数 图象：
若直线 与函数 且 的图象有两个公共点
由图象可知 ，
．
②：当 时，作出函数 图象：
若直线 与函数 且 的图象有两个公共点
由图象可知 ，
此时无解．
综上： 的取值范围是 ．
故答案为：
第10页 | 共17页三、解答题（共6小题，满分74分）
17．（12分）已知 ，求 的值．
【解答】解：由 ，得 ．
于是 ．
18．（12分）如图，在底面是菱形的四棱锥 中， ， ， ，
点 是 的中点．
证明 平面 ， 平面 ；
求以 为棱， 与 为面的二面角 的正切值．
【解答】（Ⅰ）证明：因为底面 是菱形， ，
所以 ，
在 中，由 知 ．
第11页 | 共17页同理， ，所以 平面 ．
因为 ．
所以 、 、 共面．
又 平面 ，所以 平面 ．
（Ⅱ）解：作 交 于 ，由 平面 ．
知 平面 ．
作 于 ，连接 ，则 ， 即为二面角 的平面角．
又 是 的中点，从而 是 的中点， ．
所以 ．
19．（12分）甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床
加工的零件不是一等品的概率为 ，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率
为 ，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为 ．
（Ⅰ）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工零件是一等品的概率；
（Ⅱ）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率．
【解答】解：（Ⅰ）设 、 、 分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件．
第12页 | 共17页由题设条件有
即
由①、③得
代入②得 （C） （C） ．
解得 （C） 或 （舍去）．
将 分别代入③、②可得
．
即甲、乙、丙三台机床各加工的零件是一等品的概率分别是 ．
（Ⅱ）记 为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的事件，
则 ．
故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为 ．
20．（12分）已知数列 是首项为 且公比 不等于1的等比数列， 是其前 项的和， ， ，
成等差数列．
证明 ， ， 成等比数列；
求和 ．
【解答】（Ⅰ）证明：由 ， ， 成等差数列，得 ，
第13页 | 共17页即 ．
变形得 ，
又 公比 不等于1，所以
由 ． ．
得 ．
所以 ， ， 成等比数列．
（Ⅱ）解： ．
即 ．①
① 得： ②．
① ②得 ．
所以 ．
21．（12 分）如图，已知曲线 与曲线 交于 ， ，直线
与曲线 ， 分别交于 ， ．
（Ⅰ）写出四边形 的面积 与 的函数关系式 ；
（Ⅱ）讨论 的单调性，并求 的最大值．
第14页 | 共17页【 解 答 】 解 ： （ Ⅰ ） 由 得 交 点 、 的 坐 标 分 别 是 ， ，
，
即 ．
（Ⅱ） ．令 解得 ．
当 ，从而 在区间 上是增函数；
当 ，从而 在区间 上是减函数．
所以当 时， 有最大值为 ．
22．（14分）如图，过抛物线 的对称轴上任一点 ， 作直线与抛物线交于 ， 两点，
点 是点 关于原点的对称点．
设点 分有向线段 所成的比为 ，证明：
（Ⅱ）设直线 的方程是 ，过 ， 两点的圆 与抛物线在点 处有共同的切线，求圆
的方程．
第15页 | 共17页【解答】解：（Ⅰ）依题意，可设直线 的方程为 ，代入抛物线方程 得
．①
设 、 两点的坐标分别是 ， 、 ， ，则 、 是方程①的两根．
所以 ．
由点 分有向线段 所成的比为 ，
得 ．
又点 是点 关于原点的对称点，
故 点 的 坐 标 是 ， 从 而
．
．
所以 ．
（Ⅱ）由 得点 、 的坐标分别是 、 ．
由 得 ，
所以抛物线 在点 处切线的斜率为
设圆 的方程是 ，
第16页 | 共17页则
解之得 ．
所以圆 的方程是 ，
即 ．
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