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2023—2024 学年高三（上）期中考试数学试卷
数 学
一、单选题
1. 已知集合 ，则 的真子集共有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 8个
【答案】B
【解析】
【分析】根据交集运算得集合P，再根据集合P中的元素个数，确定其真子集个数即可.
【详解】解：
， 的真子集是 共3个.
故选：B.
2. 若函数 在 上是减函数，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合二次函数的对称轴和单调性求得 的取值范围.
【详解】函数 的对称轴为 ，
由于 在 上是减函数，所以 .
故选：B
3. 若“ ”是“ ”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】B
【解析】
【分析】根据分式的性质、解一元二次不等式的方法、解绝对值不等式的公式法，结合充分不必要条件的
性质进行求解即可.
【详解】因为 ，则 ，
因为 ，则 ，
即 是 的充分而不必要条件，
所以 ，
故选：B
4. 已知焦距为4的双曲线 的一条渐近线与直线 垂直，则该双曲线的
方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知焦距为4，得出 ，又由双曲线方程求出渐近线方程，而直线与渐近线垂直，
得出它们斜率之积为 ，从而得出 、 之间的关系，代入 ，解出 、 ，写出方程即
可.
【详解】由已知焦距为4，所以 ， ，又双曲线方程的渐近线方程为： ，而
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学科网（北京）股份有限公司直线的斜率 ，且直线与一条渐近线垂直，所以 ，即 ，由
解得 ，所以双曲线方程为：
故选：C.
5. 已知函数 在 上的图象如图所示，则与之大致匹配的函数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据特殊值可排除AB，由定义域排除D，即可求解.
【详解】由图可得， ，而 、 选项 时，函数值均为 ， 、 错误；
.
由图可得 ，而 选项中函数定义域取不到 ，故 错误
故选: C
6. 已知 ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】A
【解析】
【分析】
利用诱导公式化简整理，可求得 的值，将所求改写成 ，上
下同除 ，即可得结果.
【详解】由题意得 ，所以 ，解得 ，
所以 .
故选：A
7. 设 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】构造 ，并利用导数、对数的性质研究大小关系即可.
【详解】设函数 ，则 ，
所以 为减函数，则 ，即 ，又 ，
所以 ．
故选：D
8. 已知定义在 上的函数 满足，① ，② 为奇函数，③当 时，
恒成立.则 、 、 的大小关系正确的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性、周期性和单调性即可比较 的大小.
【详解】由 可得 的周期为 ，
因为 为奇函数，则 ，
又因为 的周期为 ，所以 ，即 为奇函数，
因为 时， ，所以 在 上单调递增，
因为 为奇函数，所以 在 上单调递增，所以 在 上单调递增，
因为 的周期为 ， ， ，
，所以 ，
即 .
故选：A.
二、多选题
9. 下列函数中，满足“ ， ，都有 ”的有（ ）
A. B.
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学科网（北京）股份有限公司C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据题意可知满足题意的函数为在 上减函数，由此一一判断选项中函数的单调性，可得
答案.
【详解】由 ， ，都有 ，可知函数 在 时减函数.
函数 在 时为减函数，符合题意，故A正确；
函数 在 时为增函数，所以 在 时为增函数，故B
错误；
函数 图象的对称轴为 ，故在 时 为增函数，故C
错误；
函数 在 时单调递减，符合题意，故D正确.
故选：AD.
10. 已知复数 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 复数 在复平面内对应的点在第四象限 B. 复数 的虚部为
C. 复数 的共轭复数 D. 复数 的模
【答案】BCD
【解析】
【分析】化简得 ，再得到其在复平面内对应的点的象限，虚部，共轭复数，模即可得到答案.
【详解】 ，
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学科网（北京）股份有限公司，所以复数 在复平面内对应的点在第三象限，故A错误；
虚部为 ，故B正确；
复数 的共轭复数 ，故C正确；
复数 的模 ，故D正确；
故选：BCD.
11. 设函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 的一个周期为 B. 的图象关于直线 对称
C. 的一个零点为 D. 在 上单调递减
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据周期、对称轴、零点、单调性，结合整体思想即可求解.
【详解】对于A项，函数的周期为 ， ，当 时，周期 ，故A项正确；
对于B项，当 时， 为最小值，此时 的
图象关于直线 对称，故B项正确；
对于C项， ， ，所以 的一个零点为 ，
故C项正确；
对于D项，当 时， ，此时函数 有增有减，不是单调函数，故D项错误.
.
故选：ABC
12. 已知等差数列 的前n项和为 ，且满足 ， ，则（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 数列 是递增数列 B. 数列 是递增数列
C. 的最小值是 D. 使得 取得最小正数的
【答案】AC
【解析】
【分析】根据题意，结合等差数列的性质以及前 项和的公式与性质，一一判断即可.
【详解】因为 ， ，所以 ，可得公差 ， 的最小值是 ，故AC
正确；
因为 ， 单调递减， ， 单调递增，所以B项错误；
因为 ，所以 ，
同理 ，所以 取得最小正数的 ，D项错误.
故选AC项．
三、填空题
13. 若 ， ，则 ________________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，利用三角函数的定义，准确运算，即可求解.
【详解】因为 ，且 ，
可令 ，则 ，设 终边上一点的坐标 ，
则 ，可得 ．
故答案为： ．
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学科网（北京）股份有限公司14. 若直线 与曲线 相切，则 的值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】设切点为 ，利用导数的几何意义结合条件即得.
【详解】设切点为 ，则 ， ，
， ，
，
所以 ， .
故答案为： .
15. 记函数 的最小正周期为T，若 ， 为 的零
点，则 的最小值为____________．
【答案】
【解析】
【分析】首先表示出 ，根据 求出 ，再根据 为函数的零点，即可求出 的取值，从
而得解；
【详解】解： 因为 ，（ ， ）
所以最小正周期 ，因为 ，
又 ，所以 ，即 ，
又 为 的零点，所以 ，解得 ，
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学科网（北京）股份有限公司因为 ，所以当 时 ；
故答案为：
16. 已知函数 存在极值，则实数 的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】分析可知函数 在 上存在极值点，求得 ，可得出
，即可求得实数 的取值范围.
【详解】函数 的定义域为 ，且 ，
由题意可知，函数 在 上存在极值点，
对于方程 ， ，解得 或 ，
解方程 可得 ， ，且 ，
故有 ，整理可得 .
若 ，则 ，矛盾；
若 ，则 .
综上所述，实数 的取值范围是 .
故答案为： .
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学科网（北京）股份有限公司四、解答题
17. 在 中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，且 ．
（1）求C；
（2）若 ，求A．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由余弦定理即可求解，
（2）利用正弦定理边角互化，结合两角和的正弦公式即可得 ，进而可求解.
【小问1详解】
∵ ，∴ ，∴ ，
由于C是三角形内角，∴ ．
【小问2详解】
由正弦定理可得 ，
∴
∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ．
∵ ，∴ ，
由于B是三角形内角 ，∴ ，则 ．
18. 设各项非负的数列 的前 项和为 ，已知 ，且 成等比数列.
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学科网（北京）股份有限公司（1）求 的通项公式；
（2）若 ，数列 的前 项和 .
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用 得出 的递推关系，从而得数列从第2项起为等差数列，结合
等比数列的性质可求得 ，这样可得通项公式 ，然后由已知式中令 求得 ，比较后可得结
论；
（2）用错位相减法求和．
【小问1详解】
当 时， ，
当 时， ①， ②.
①-②得 ，即 ，
∵ ，∴ ，
∴数列 从第2项起是公差为1的等差数列.
∴ ，
又 ， ， 成等比数列，∴ ，即 ，
解得 ，∴ ，
∵ ，∴ ，适合上式，
∴数列 的通项公式为 .
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学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】
，
∴数列 的前 项的和为
③
④
③-④得
，
∴ .
19. 在四棱锥 中，底面 为直角梯形， ，侧面 底面
，且 分别为 的中点．
（1）证明： 平面 ；
（2）若直线 与平面 所成的角为 ，求平面 与平面 的夹角的余弦值．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取 中点 ，连接 ，通过证明四边形 为平行四边形，即可证明结论；
（2）由直线 与平面 所成的角为 ，可得 ，建立以G为原点的空间直角
坐标系，利用向量方法可得答案.
【小问1详解】
证明：取 中点 ，连接 ，
为 的中点，
，又 ，
，
四边形 为平行四边形：
，
平面 平面 ，
平面 ；
【小问2详解】
平面 平面 ，平面 平面 平面 ， 平面
，
取 中点 ，连接 ，则 平面 ，
，
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学科网（北京）股份有限公司，又 ，
如图以 为坐标原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系，
，
，设平面 的一个法向量， ，
则 ，取 ，则 ，
平面 的一个法向量可取 ，
设平面 与平面 所成的夹角为 ，
,平面 与平面 所成的夹角的余弦为
20. 已知 为椭圆 上任一点， ， 为椭圆的焦点， ，离心率为
．
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学科网（北京）股份有限公司（1）求椭圆的方程；
（2）若直线 ： 与椭圆的两交点为A， ，线段 的中点 在直线 上， 为
坐标原点，当 的面积等于 时，求直线 的方程．
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】 由椭圆定义可得 的值，进而由离心率可得 ，再求得 ，即可得到椭圆的方程；
设出点A， 的坐标，联立直线 与椭圆的方程，利用设而不求的方法，并依据题给条件列方程，即可
求出 ，进而求得 的值，从而求得直线 的方程．
【小问1详解】
由椭圆定义得 ， ，所以 ，故 ，
所以椭圆的方程为 ．
【小问2详解】
设 代入方程 ，
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学科网（北京）股份有限公司得
所以 ， ，
所以 ，解得 ，
则 式变为 则 ，
底边 上的高 ，所以 的面积 ．
令 ，解得 ，
把 ， 代入 式，经检验，均满足 ，
此时直线 的方程为 或 ．
21. 学校团委和工会联合组织教职员工进行益智健身活动比赛.经多轮比赛后，由教师甲、乙作为代表进行
决赛.决赛共设三个项目，每个项目胜者得10分，负者得 分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高
的获得冠军.已知教师甲在三个项目中获胜的概率分别为0.4，0.5，0.75，各项目的比赛结果相互独立.甲、
乙获得冠军的概率分别记为 ， .
（1）判断甲、乙获得冠军的实力是否有明显差别（如果 ，那么认为甲、乙
获得冠军的实力有明显差别，否则认为没有明显差别）；
（2）用X表示教师乙的总得分，求X的分布列与期望.
【答案】（1）甲、乙获得冠军的实力没有明显差别
（2）分布列见解析，
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）设教师甲在三个项目中获胜的事件依次为 ，利用互斥事件和独立事件的概率共求得
和 ，结合 ，即可得到结论；
（2）根据题意，得到 的可能取值为 ，利用独立事件的概率乘法公式，求得相应的概率，得
出分布列，结合期望的公式，即可求解.
【小问1详解】
解：设教师甲在三个项目中获胜的事件依次为 ，
则教师甲获得冠军的概率
，
由对立事件的概率公式，可得得 ，
所以 ，解得 ，
因为 ，所以甲、乙获得冠军 实力没有明显差别.
的
【小问2详解】
解：根据题意知， 的可能取值为 ，
可得 ，
，
，
.
所以随机变量 的分布列为
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学科网（北京）股份有限公司0 15 30
0.15 0.425 0.35 0.075
所以期望为 .
22. 已知函数 .
（1）若不等式 在区间 内恒成立，求实数 的取值范围；
（2）求证： （ 为自然对数的底数）
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）分离参数，转化为求定函数的最值问题；
（2）根据第一问，合理构造，利用不等式的性质合理变形达到证明的目的.
【小问1详解】
因为 ， ，所以 ，
令 ，又 ，令 解得 ，
时， ， 递增， 时， ， 递减，
所以当 时函数 有最大值，且最大值为 ，所以 .
【小问2详解】
由（1）知 ，所以 ，
所以
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学科网（北京）股份有限公司，
又
，
所以 ，
即 .
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学科网（北京）股份有限公司
