文档内容
丹东市 2024 届高三总复习阶段测试
数学
命题：杨晓东 赫希武 郭欣 葛冰 颜红 审核：杨晓东
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试
卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 已知集合 ，若 ，则 （ ）
A. 或3 B. 0 C. 3 D.
【答案】C
【解析】
【分析】由集合相等的含义得 ，求解并验证互异性即可.
【详解】 ，
，解得 或 ，
当 时， ，
不满足集合中元素的互异性，舍去.
当 时， ，
此时 ，满足题意.
综上， .
.
故选：C
2. 若复数 满足 ，则 的虚部是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. 1 D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数除法运算求得 ，进而求得 的虚部.
【详解】 ，故 的虚部是 .
故选：A
3. 命题“ ”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出命题为真时的充要条件，进一步判断即可.
【详解】若命题“ ”为真命题，
即 恒成立，
又 ，则 ，故 ，
结合选项可知， 是 的一个充分不必有条件，
故选：
4. 血氧饱和度是血液中被氧结合的氧合血红蛋白的容量占全部可结合的血红蛋白容量的百分比，即血液中
血氧的浓度，它是呼吸循环的重要生理参数．正常人体的血氧饱和度一般不低于 ，在 以下为供
氧不足．在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型： 描述血氧饱和度 （单位：
%）随给氧时间 （单位：时）的变化规律，其中 为初始血氧饱和度， 为参数．已知 ，给氧
1 小时后，血氧饱和度为 80．若使得血氧饱和度达到正常值，则给氧时间至少还需要（取
）（ ）
A. 约0.54小时 B. 约0.64小时 C. 约0.74小时 D. 约0.84小时
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学科网（北京）股份有限公司【答案】B
【解析】
【分析】根据题意分别列出相应不等式，从而求解.
【详解】由题意知， ， ，
当 小时， ，得：
要使血氧饱和度达到正常，即需： ，即： ，
化简得： ，
所以得： =1.64
因为已经给氧1小时，所以还需要继续给氧时间至少为：0.64小时.
故选：B.
5. 的展开式中 的系数为（ ）
A. 55 B. C. 65 D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据 展开式的通项公式进行计算即可.
【详解】含 的项为 ，
所以展开式中 的系数为 ．
故选：
6. 将一颗骰子先后郑两次，甲表示事件“第一次向上点数为1”，乙表示事件“第二次向上点数为2”，丙表示
事件“两次向上点数之和为8”，丁表示事件“两次向上点数之和为7”，则（ ）
A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立
C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立
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学科网（北京）股份有限公司【答案】B
【解析】
【分析】根据相互独立事件概率公式，即可判断选项.
【详解】由题意知， ， ，
，
由于 ，所以甲与丁相互独立．
故选：B
7. 2022年第二十四届北京冬奥会开幕式上由96片小雪花组成的大雪花惊艳了全世界，数学中也有一朵美
丽的雪花——“科赫雪花”．它的绘制规则是：任意画一个正三角形 （图1），并把每一条边三等分，再
以中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉，形成雪花曲线 （图2），如此继续下去形成
雪花曲线 （图3），直到无穷，形成雪花曲线 ．设雪花曲线 的边长为 ，边数为 ，
周长为 ，面积为 ，若 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意分别写出 ， ， 的通项公式，且当 时 用累加法可求出
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学科网（北京）股份有限公司通项，然后对选项进行逐一判断求解.
【详解】由题意知，边长 ，边数 ，周长 ，面积 ，
所以得： ， ，
所以得： ， ，
因为： ，
当 时， ，
所以得：
，
当 时， ，也适用，
所以： ，
所以得： ，故A项错误；所以得： ，故B项正确；
所以得： ，故C项错误；所以得： ，故D项错误；
故选：B.
8. 已知函数 的定义域为 为偶函数， 为奇函数，当 时， ，
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学科网（北京）股份有限公司若 ，则（ ）
A. 在区间 上是增函数，且有最小值为
B. 在区间 上是减函数，且有最大值为
C. 在区间 上是增函数，且有最大值为
D. 在区间 上是减函数，且有最小值为
【答案】A
【解析】
【分析】利用抽象函数的奇偶性推出函数的周期性与对称性，再根据赋值法结合单调性一一判定选项即可.
【详解】因为 为偶函数，所以 ①，且函数 关于 轴对称，
又 为奇函数，所以 ②，且函数 关于 中心对称，
所以有 ，
即 的一个周期为 ，
令 代入②得 ，即 ，
令 代入①得 ，所以 ，
解之得 ，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司如图所示，根据函数 的对称性与周期性可知：
关于 轴对称，关于 中心对称，可得 在区间 的图象，
易知 在区间 上是增函数，
且有最小值为 ，故A正确，B错误；
在区间 上是减函数，
且有最大值为 ，最小值为 ，故C，D都不正确．
故选：A
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 某科技学校组织全体学生参加了主题为“创意致匠心，技能动天下”的文创大赛，随机抽取了400名学生
进行成绩统计，将数据按照 分成5组，制成如图所示的频率
分布直方图，下列说法正确的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 被抽取的400名学生成绩的极差为50
B. 在被抽取的学生中，成绩在 内的学生有280人
C. 以每组区间的中点值估计全校学生的平均成绩为85分
D. 估计全校学生成绩的 分位数为95
【答案】BD
【解析】
【分析】结合频率分布直方图计算数据的极差、平方数、百分位数及估计总体即可.
【详解】由题意可知抽取学生的成绩在区间 内，
为
但不一定最低分 50，最高分为100，故A错误；
根据频率分布直方图可知 ，
所以分数在 的有 人，故B正确；
平均成绩为 ，
故C错误；
易知全校学生成绩的 分位数在区间 内，
可得 ，故D正确.
故选：BD
10. 已知函数 的图像关于直线 对称，则（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 在 上单调递增
B. 在 上有两个零点
C.
D. 把函数 的图像向左平移 个单位，得到的函数图像关于 轴对称
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用三角函数的图象与性质一一判定即可.
【详解】由题意可知 ，
因为 ，所以 ，
对于A， ，由正弦函数的单调性可知 时，函数单调递增，
即A错误；
对于B， ，由正弦函数的性质可知 或 时函数
值为零，即B正确；
因为 ， ，
易知 ，即C正确；
把函数 的图像向左平移 个单位得 ，该函数显
然是偶函数，其图像关于 轴对称，即D正确.
故选：BCD
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学科网（北京）股份有限公司11. 设向量 满足 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据向量数量积公式，将 平方后，即可判断A；由已知变形得 ，平方后即
可求 ，即可判断B；利用向量模的数量积公式即可判断C；根据向量数量积的夹角公式，即可判断D.
【详解】将 平方得 ，
由 ， ，得 ，故A正确；
由 平方得 ，得 ，所以 ，故B不正确；
因为 ，所以 ，所以 ，所以
即 ，故C正确；
由选项C可得， ，与C同理可得， ， ，
所以 ，故D正确．
故选：ACD
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学科网（北京）股份有限公司12. 已知实数 ，满足 ，则（ ）
A. B.
C. 有最小值为 D. 有最小值为
【答案】ABC
【解析】
【分析】对 平方作差计算可判定A；
结合A项结论，利用消元转化结合一元二次不等式计算可判定B；
结合B项结论，得 ，利用二次函数求最小值即可判定C；
结合B项结论，得 ，利用导数研究三次函数的最小值即可判定D.
【详解】由 ，平方得 ，所以 正确；
由 得 ，且 ，联立得 ，
所以 ，
整理得 ，即 ，故B正确；
因为 ，
当 时， 有最小值为 ，故C正确；
，令 ，
所以 时， 或 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以函数在 上递增， 上递减， 上递增，
在 处取得极小值， ，且 ，
所以 有最小值为 ，故D不正确．
故选：ABC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知 ，且 ，则 的最小值为_________．
【答案】4
【解析】
【分析】根据已知条件，将所求的式子化为 ，利用基本不等式即可求解.
【详解】 ， ,
，当且仅当 =4时取等号，
结合 ,解得 ，或 时，等号成立.
故答案为：
【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题.
14. 将 五个字母排成一排，若A不在左端且A在 的左侧，则不同的排法有______种．（用
数字作答）
【答案】36
【解析】
【分析】根据特殊元素优先分类讨论即可.
【详解】先排B，由题意可知B能排在第3或第4或第5位的位置，
若B在第3位，则A在第2位；若B在第4位，则A在第2或第3位；
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学科网（北京）股份有限公司若B在第5位，则A在第2、3、4位，合计6种情况.
再排C、D、E，排完A、B后剩余3个位置，即有 种，
所以共有 种排法.
故答案为：36
15. 若 ，函数 满足 ，则 ______．
【答案】 ##-0.5
【解析】
【分析】根据题意可取不同的值进行构造方程组，从而求出 的解析式，从而求解.
【详解】由题意知： ， ，
所以得： ，
解之得： ，即 ，
所以得： ．
故答案为：
16. 函数 ，在 上恒有4个零点，则 的值为______．
【答案】 ##1.5
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】构造函数 ，将问题转化为 与 的图象有4个交点，结合
图象即可得解.
【详解】 恒有4个零点，
等价于 且 有4个零点，
令 ，则问题转化为 与 的图象有4个交点，
作出 与 的大致图象，如图，
结合图象可知， 恰好是 的 时，满足题意，
即 ，所以 ．
故答案为： .
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若 的极小值为 ，求 的值．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）答案见解析
（2）4
【解析】
【分析】（1）根据题意先对函数求导后，然后对 分情况讨论，从而可求解；
（2）根据函数极小值为 ，结合（1）从而求解.
【小问1详解】
因为 的定义域为 ，所以 ，
当 时， ，则 在 上递增，
当 时：
若 时，解之得： 或 ，
所以得： 在区间 ， 上单调递增，
若 时，解之得： ，
所以得： 在区间 上单调递减.
综上所述，当 时， 在 上单调递增，
当 时， 在区间 和 上单调递增， 在区间 上单调递减.
【小问2详解】
由（1）知，当 时 在 上单调递增，故 不存在极值，
当 时， 在区间 上单调递减， 在区间 上单调递增，所以 在
处取得极小值，
所以 ，解之得 ，故 的值为4.
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学科网（北京）股份有限公司18. 已知函数 的最小正周期为 ．
（1）求 的解析式；
（2）当 时， ，求 的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据 ，利用 及 即可求出解析式；
（2）判断出 ，根据 ，即可求出 的值，进一步可求出
的值，根据二倍角公式，即可求出 的值.
【小问1详解】
因为 ，
所以 ，则 ，
，因为 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，则 ．
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ，且 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
由 ，得 ．
19. 记 的内角 的对边分别为 ，已知 的面积为 是 边上的中点，且
．
（1）若 ，求 ；
（2）若 ，求 ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角形面积公式及余弦定理计算即可；
（2）法一、设 ，利用余弦定理计算 即可；法二、倍长中线构造平行四边形，结合余弦
定理计算即可；法三、利用中线向量性质，结合数量积公式可得计算 及 ，从而得
.
【小问1详解】
因为 的面积是 的面积的 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
解得 ，
在 中，由余弦定理得 ，
得 ；
【小问2详解】
方法一：令 ，
由余弦定理可知： ，
，
所以 ，所以 ，
又因为 的面积为 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ；
方法二：延长 至 ，使 ，
连接 ，所以四边形 是平行四边形，
由 ，
，
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学科网（北京）股份有限公司两式相加得： ，解得 ，
又因为 的面积为 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ；
方法三：易知 ，
所以 ，所以 ，
，
得 ，
所以 ，则 ，
所以 ．
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学科网（北京）股份有限公司20. 哈尔滨冰雪大世界于2022年9月投入使用，总投资高达25亿元，号称“永不落幕”的冰雪游乐场，从
“一季繁荣”到“四季绽放”2023年1月至5月的游客数以及对游客填写满意与否的调查表，统计如下：
月份 1 2 3 4 5
游客人数 万
130 90 80
人）
满意率 0.5 0.4 0.4 0.3 0.35
已知 关于 的线性回归直线方程为 ．
（1）求2月份，3月份的游客数 的值；
（2）在1月至5月的游客中随机抽取2人进行调查，把满意率视为概率，求评价为满意的人数 的分布
列与期望 ．
（参考公式： ）
【答案】（1）
（2）分布列见解析；
【解析】
【分析】（1）根据题意中调查表及回归直线方程，可以分别求出 的值；
（2）根据题意得满意率为概率，即可列出分布列，求解出期望.
【小问1详解】
由题意可得 ，且 ，
所以得： ，①
又因为： ， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司所以得： ，化简得： ，②
联立①②得： .
【小问2详解】
任取1个人满意的概率 ，
所以满意的人数 服从二项分布，即 ，
随机变量 的取值分别为：0，1，2，从而得：
，
，
，
所以可得满意人数 的分布列如下表所示：
0 1 2
所以期望 .
21. 已 知 数 列 是 公 差 为 1 的 等 差 数 列 ， 且 ， 数 列 是 等 比 数 列 ， 且
（1）求 和 的通项公式；
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学科网（北京）股份有限公司（2）记 ，其中 ，求数列 的前 项的和 ．
【答案】（1） ；
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知条件建立基本量方程或方程组求解即可；
（2）分奇数项与偶数项分组求和，分别利用裂项相消法与错位相减法求和.
【小问1详解】
数列 是公差为1的等差数列，且 ，
，
解得 ，
数列 的通项公式 ．
数列 是等比数列，且 ，
设数列 的公比为 ，
解得 ，
数列 的通项公式为： ．
【小问2详解】
由（1）可知 ，
，
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学科网（北京）股份有限公司，
令 ，
，
，
，
，
，
，
数列 的前 项和 ．
22. 已知函数 ．
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学科网（北京）股份有限公司（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）当 时，求使 恒成立的最大偶数 ．
（3）求证： ．
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义计算即可；
（2）参变分离利用导数求函数的单调性与最值即可
（ 3 ） 结 合 （ 2 ） 的 结 论 先 推 出 ， 再 令 ， 化 简 得
，利用累加法计算即可.
【小问1详解】
当 时， ， ，且 的定义域为 ，
所以 ，
曲线 在点 处切线的斜率为 ，
所以切线方程为 ；
【小问2详解】
当 时，使 等价于 ，
令 ，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司令 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，
又因为 ，
所以 在 上 ，使 ，
即 ， ， ， ； ， ， ；
所以 在 上单调递减， 在 上单调递增，
所以 的最小值为 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，且 ，
所以使 恒成立的最大偶数为 ；
【
小问3详解】
由（2）知当 时， 恒成立，
得 ，即 ，
令 ，
所以 ，
即
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ，
当 时， ，
……
当 时， ，
相加整理得，
所以 ．
【点睛】本题第二问在于参变分离构造函数，结合隐零点求恒成立问题即可，第三问在于利用上面结论得
出 ，再令 ，累加即可得证.
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学科网（北京）股份有限公司
