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广东省清远市2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷
一、单选题
1．直线 经过两点 ，则 的斜率为（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量 ，若 与 垂直，则 （ ）.
A． B． C． D．
3．圆 与圆 的位置关系为（ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
4．棱长为2的正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则 （ ）
A．1 B．－1 C． D．
5．如图，在正方体 中，点 在线段 上，点 在线段 上，且
，则 与 所成角的余弦值为（ ）A． B． C． D．
6．“ ”是“直线 和直线 平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知直线 ，若直线 与圆 交于 两点，则 的最小
值为（ ）
A． B．2 C． D．4
8．在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，圆 ，点 为 轴上一动点.现
由点 向点 发射一道粗细不计的光线，光线经 轴反射后与圆 有交点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列说法中，正确的有（ ）
A．直线 在y轴上的截距为-2 B．直线 的倾斜角为120°
C．直线 (m∈R)必过定点(0，-3) D．点(5，-3)到直线y+2=0的距离为7
10．关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A．若直线l的方向向量为 ，平面 的一个法向量为 ，则
B．若空间中任意一点O，有 ，则 四点共面
C．若空间向量 ， 满足 ，则 与 夹角为钝角
D．若空间向量 ， ，则 在 上的投影向量为A B C D
1 1 1 1
11．如图，在棱长为2的正方体 中，点P是正方体的上底面 内（不含边界）的动
点，点Q是棱 的中点，则以下命题正确的是（ ）
A．三棱锥 的体积是定值
B．存在点P，使得 与 所成的角为
C．直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围为
D．若 ，则P的轨迹的长度为
三、填空题
12．若方程 表示圆，则实数 的取值范围为 ．
13．对于任意实数x，y，z， 的最小值为 .
14．在平面直角坐标系 中，设 ，若沿直线 把平面直角坐标系折成大小为
的二面角后， ，则 的余弦值为 ．
四、解答题
15．求下列各圆的方程.
(1)圆心为点 ，且过点 ；
(2)过 ， ， 三点．16．如图，在正三棱柱 中，底面边长为2，侧棱长为 ，D是 的中点．
(1)证明： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
17．已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为 ， ， .
(1)求平行四边形ABCD的顶点D的坐标.
(2)求四边形ABCD的面积.
(3)求 边AB上的高所在直线方程.
18．如图，在三棱柱 中，底面ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，侧面 为菱形，
点 在平面ABC上的投影为AC的中点D，且 ．(1)求点C到侧面 的距离；
(2)在线段 上是否存在点E，使得直线DE与侧面 所成角的正弦值为 ？若存在，请求出
的长；若不存在，请说明理由．
19．已知定点 ， ，动点 满足 .
(1)求动点 的轨迹 的方程；
(2)过点 作两条互相垂直的直线 与 ，直线 交曲线 于 ， 两点，直线 交曲线 于 ， 两点，
求四边形 面积的最大值.参考答案
1．A
【详解】由 ，得 的斜率为 ．
故选：A
2．D
【详解】由于 与 垂直，所以 ，所以 ，
故 ，
故选：D
3．B
【详解】由题意，圆 ，则圆心 ，半径 ，
圆 ，则圆心 ,半径 ，
所以两圆圆心距 ，所以两圆外切.
故选：B.
4．A
【详解】 ，所以 ．
故选：A．
5．D
【详解】设正方体 的棱长为1，
以 为原点，以 所在直线分别为 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则 .
所以 ，即 与 所成角的余弦值为 .
故选：D
6．C
【详解】当 ，则直线分别为 和直线 满足平行，即充分性成立，
若直线 和直线 平行，
当 时，直线分别为 和 ，不满足条件，
当 时，满足 ，即 ，解得 或 ，
当 时，两直线重合，故不满足条件，故 ，即必要性成立，
综上“ ”是“直线 和直线 平行”的充要条件，
故选：C．
7．C
【详解】直线 ，即 ，
令 ，解得 ，
所以直线 过定点 ，
圆 的圆心 ，半径 ，
因为 ，所以点 在圆 内，
则圆心 到直线 的距离 （ 时取等号），
所以 （ 时取等号），
所以 的最小值为 .
故选：C.
8．A
【详解】方法一：作点 关于 轴的对称点 ，则直线 与圆 有交点．
又 ，所以直线 的方程为 ，即 ．
由题知圆 的圆心为 ，半径为1，
直线 与圆 有交点，即圆心 到直线 的距离小于等于1，
所以 ，解得 ．
方法二：作点 关于 轴的对称点 ，则直线 与圆 有交点，
临界情况为直线 与圆 相切．
设切点为 ，令 ，易得 ，
所以 ．
因为直线 的斜率为 ，
所以直线 的斜率 ．易得直线 的方程为 ．所以 ．
故选：A
9．AC
【详解】A.直线 中，当 时， ，故A正确；
B. 直线 的斜率 ，所以倾斜角为 ，故B错误；
C.直线 ，当 时， ，所以直线恒过定点 ，故C正确；
D.点 到直线 的距离 ，故D错误.
故选：AC
10．ABD
【详解】对于A：若直线 的方向向量为 ，平面 的一个法向量为 ，易得 ，
即 ，则有 ，A正确；
对于B：在 中，由于 ，故 四点共面，B正确；
对于C：当 ， 反向共线时， 也成立，但 与 夹角不为钝角，C错误；
对于D， 在 上的投影向量为 ，D正确．
故选：ABD．
11．ACD
【详解】对于A，三棱锥 的体积等于三棱锥 的体积，是定值，A正确；
以 为坐标原点， 分别为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，设 ，则
对于B， ，使得 与 所成的角 满足：
，
因为 ，故 ，故 ，
而 ，B错误；
对于C，平面 的法向量 ，
所以直线 与平面 所成角 的正弦值为： ，
因为 ，故
故 ，
而 ， ，
故 即 的取值范围为 ，C正确；对于D， ，由 ，
可得 ，化简可得 ，
在 平面内，令 ，得 ，令 ，得 ，则P的轨迹的长度为
，D正确；
故选：ACD.
12．
【详解】方程 表示圆
则
13．
【详解】结合空间直角坐标系中任意两点间的距离公式，
可得 表示的几何意义是空间内任意一点 与原点
及定点 ，的距离之和，
显然，当 三点共线且 在线段 上时， 最小，
最小值为 .
故答案为：
14．
【详解】在平面直角坐标系中，过点 作 于点 ，可知 ，
沿直线 把平面直角坐标系折成大小为 的二面角后，
仍有 ，
则 ，
由 ，
可得 ，
即 ，
即 ，
可得 ．
故答案为：
15．(1)
(2)
【详解】（1）由题意知半径 ，
所以圆的方程为： .
（2）设圆的一般方程为： .
将 ， ， 代入得：，
所以圆的方程为： .
16．(1)证明见解析
(2) ．
【详解】（1）如图，连接 交 于点O，连接 ，
则点O为 的中点，且D是 的中点，
则 为 的中位线，所以 ．
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
（2）取 的中点F，
因为在正 中，D是 的中点，故 ，
因为三棱柱 为正三棱柱，
所以 平面ABC，
又因为D是 的中点，F是 的中点，所以 ，
所以 平面 ，所以 ， ，
以D为坐标原点，分别以 为 轴，建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， ， ．
故 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，即 ．
设直线 与平面 所成角为 ，
可得 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
17．(1) ；
(2) ；
(3) .
【详解】（1） 的顶点 ， ， ，则对角线AC中点为 ，于是得对角线BD的中点是 ，设 ，因此有 ， ，解得： ，
所以平行四边形ABCD的顶点 .
（2）因 ， ，即有直线BC斜率 ，直线BC的方程： ，即
，
因此，点A到直线BC的距离为 ，而 ，
从而得 ，
所以四边形ABCD的面积为 .
（3）依题意，直线AB的斜率 ，则 边AB上的高所在直线的斜率为 ，
于是有： ，即 .
所以 边AB上的高所在直线的方程为 .
18．(1)
(2)存在，
【详解】（1）因为点 在底面ABC上的投影为AC的中点 ，所以 平面ABC，
又 平面ABC，故 ， ，
因为 是以AC为斜边的等腰直角三角形，点 为AC的中点，故 ，
所以 ， ， 两两垂直，故以点 为坐标原点，直线 ， ， 分别为x，y，z轴，建立空
间直角坐标系，如图，.
因为 是以AC为斜边的等腰直角三角形， ，所以 ， ，
因为侧面 为菱形，所以 ，
又 ，所以 ，
则 ， ， ， ， ，
则 ， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，则 ，
取 ，则 ，故 ，
所以点 到平面 的距离为 .
（2）假设存在满足条件的点E，
则存在 ，使得 ，
则 ，
因为直线DE与侧面 所成角的正弦值为 ，
所以 ，即 ，解得 ，
又 ，故 ，
因此存在满足条件的点 ，且 ，即 ．
19．(1)
(2)7
【详解】（1）设动点 的坐标为 ，
因为 ， ，且 ，
所以 ，
整理得 ，即： ，
所以动点 的轨迹 的方程为 ，
（2）当直线 与 轴重合时， ， ， ，
当直线 不与 轴重合，设直线 的方程为 ，
则直线 的方程为 ，
设圆 的圆心到直线 和直线 的距离分别为 ， ，圆 的半径为 ，
则 ， ， ，
所以 ，，
所以 ，
当 时， ，
当 时， ，
当且仅当 时等号成立，
综上所述，四边形 面积的最大值为7.
