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辽宁省实验中学 2023—2024 学年度上学期期中阶段测试
高三年级数学试卷
考试时间120分钟 试题满分150分
命题人：高三数学组 校对人：高三数学组
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题．本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 设集合 ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先求 ，再求交集即可.
【详解】由题意可知：
，
故选：D.
【点睛】本题考查集合的补运算、交运算，属基础题.
2. 若 ，则p是q的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
的
【分析】先根据不等式成立 条件求出 的取值范围，然后根据充分必要条件的判断原则即可选出答案.
【详解】解：由题意得：
由 ，所以 的定义域为 ，显然 是
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学科网（北京）股份有限公司的真子集，所以p是q的必要而不充分条件.
故选：B
3. 幂函数f（x）的图象过点 ，则f（x）的一个单调递减区间是（ ）
A. （0，+∞） B. [0，+∞） C. （﹣∞，0] D. （﹣∞，0）
【答案】A
【解析】
【分析】设 ,根据 ,解出 ,根据幂函数的单调性可得答案.
【详解】设 ,则 ,即 ,
所以 ,所以 ,
所以 的递减区间为 ,
故选:A
【点睛】本题考查了求幂函数的解析式,考查了幂函数的单调性,属于基础题.
4. 欧拉公式 （其中 为虚数单位， ），是由瑞士著名数学家欧拉创立的，公式将
指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数的数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地
位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式， 的共轭复数为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接计算得到 ，再计算共轭复数得到答案.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】 ，故 .
故选：A.
5. 已知角 终边与单位圆的交点为 ，则 的值为（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据终边上的点求正弦值和余弦值，再根据二倍角正弦和余弦公式计算即可.
【详解】角 终边与单位圆的交点为 ,
.
故选:C.
6. 在平行四边形 ABCD 中， ， ， ，E 为 AB 的中点，若 ，且
，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设向量 ，根据题意得到 和 ，结合 ，列出方
程组，即可求解.
【详解】如图所示，设向量 ，则 ，且 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以
由 为 的中点，可得 ，
又由 ，可得 ，
因为 ，可得
，解得 .
故选：D.
7. 已知函数 ，若对任意的正数 、 ，满足 ，则 的最小值为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分析函数 的单调性和奇偶性，可得出 ，将代数式 与 相乘，展开
后利用基本不等式可求得 的最小值.
【详解】对任意的 ， ，所以，函数 的定义域为 ，
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学科网（北京）股份有限公司因为 ，即函数 为奇函数，
又因为 ，且函数 在 上为增函数，
所以，函数 在 上为增函数，
对任意的正数 、 ，满足 ，则 ，
所以， ，即 ，
所以， ，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，故 的最小值为 .
故选：B.
8. 在锐角三角形 中， 、 、 的对边分别为 、 、 ，且满足 ，则 的取值
范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用余弦定理、正弦定理以及三角恒等变换化简得出 ，利用 为锐角三角形求出角
的取值范围，由正弦定理结合三角恒等变换可得出 ，利用二次函数的基
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学科网（北京）股份有限公司本性质可求得 的取值范围.
【详解】由余弦定理可得 ，整理可得 ，
由正弦定理可得
，
因为 、 ，则 ，
因为正弦函数 在 上单调递增，所以， ，所以， ，
则 ，
因为 为锐角三角形，则 ，解得 ，则 ，
所以，
，
令 ，则函数 在 上为增函数，
故 ，
故选：D.
二、多选题．本大题共4小题，每小题5分，甚20分，在每小题的选项中，有多项符合题目
要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 、 是两条不同的直线， 、 是两个不重合的平面，下列说法正确的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 、 是异面直线，若 ， ， ， ，则
B. 若 ， ，则
C. 若 ， ， ，则
D. 若 ， ， ，则
【答案】AD
【解析】
【分析】利用线面平行的性质、面面平行的性质可判断A选项；利用线面、面面的位置关系可直接判断
BC选项；利用线面平行的性质、面面垂直的判定定理可判断D选项.
【详解】对于A选项，在直线 上取一点 ，过点 作直线 ，使得 ，
过直线 作平面 ，使得 ，如下图所示：
因为 ， ， ，则 ，又因为 ，则 ，
因为 ， ，则 ，设直线 、 确定平面 ，
因为 ， ， 、 ，所以， ，同理可证 ，故 ，A对；
对于B选项，若 ， ，则 或 ，B错；
对于C选项，若 ， ， ，则 、 相交（不一定垂直）或平行，C错；
对于D选项，因为 ， ，则 ，
过直线 作平面 ，使得 ，如下图所示：
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学科网（北京）股份有限公司因为 ， ， ，则 ，
因为 ，则 ，又因为 ，所以， ，D对.
故选：AD.
10. 关于函数 ，下列说法正确的是（ ）
A. 由 ，可得 必是 的整数倍
B.
C. 图像可由 向右平移 个单位得到
D. 在 上为增函数
【答案】BD
【解析】
【分析】根据题意，结合正弦型函数的图象与性质，结合三角函数的诱导公式和图象变换，逐项判定，即
可求解.
【详解】对于A中，由 ，即 ，
解得 ，则 ，
所以 ，所以A不正确；
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学科网（北京）股份有限公司对于B中，由函数 ，所以B正确；
对于C中，将函数 的图象向右平移 个单位，
得到 ，所以C不正确；
对于D中，由 ，可得 ，所以 ，
根据正弦函数的性质，可得函数 在 为单调递增函数，所以D正确.
故选：BD.
11. 《九章算术》是我国古代数学中的经典，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之
为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在阳马 中，侧棱 底面 ，
且 ，点 是 的中点，连接 ， ， ．以下结论正确的有（ ）
A. ／／平面
B. 四面体 是鳖臑
C. 若阳马 的体积为 ，四面体 的体积为 ，则
D. 若四面体 的外接球的体积为 ，则 ．
【答案】BC
【解析】
【分析】根据线面平行的判定定理，可判断A选项；由线面垂直的判定定理得 平面 ，
平面 ，可判断B选项；根据锥体体积公式可判断C选项；由题可知四面体 外接球的半径为
，再由球体的体积公式即可判断.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】如图，取 中点 ，连接 ， ，因为 是 的中点，
所以 ， ，因为底面 为长方形，
所以 ， ，所以 ， ，
所以四边形 为梯形，所以直线 与 相交，
因为 平面 ，所以直线 与平面 相交，所以A错误；
因为 底面 ，所以 ，因为 为长方形，所以 ，
因为 , 且 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，因为 ，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，且 ，所以 平面 ，
所以四面体 四个面都是直角三角形，所以四面体 是鳖臑，所以B正确；
由题意可知 是阳马 的高，所以 ，因为 是 的中点，所以
，所以C正确；
连接 ，则 与 相交与点 ，连接 ，则 为四面体 外接球的球心，所以半径为 ，
若 ，则 ，
所以 ，所以四面体 的体积 ，所以D
错误.
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学科网（北京）股份有限公司故选：BC
12. 定义在 上的函数 满足： 为奇函数，且 ，则（ ）
A. 的图象关于 对称 B. 4是 的一个周期
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据奇函数得到 ，A 正确，计算 ，B 错误，构造
，确定函数周期为 ，且 ，计算 ， ，得
到答案.
【详解】对选项A： 为奇函数， ， ，
函数图象关于 对称，正确；
对选项B： ， ，即 ，错误；
对选项C： ，则 ，
设 ，故 ，
，
则 ，
故 ， ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司为周期为 的周期函数， ，则 ，
，
故 ，错误；
对选项D： ， ，
正确；
故选：AD
【点睛】关键点睛：本题考查了函数的性质，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中
构造新函数，确定新函数的周期再计算函数值是解题的关系，此技巧需要熟练掌握.
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题纸相应位置上．
13. 函数 的导函数 ______．
【答案】
【解析】
【分析】直接求导得到答案.
【详解】 ， .
故答案为：
14. 已知动点 在正方体 的对角线 （不含端点）上．设 ，若 为钝
角，则实数 的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】以 为坐标原点，建立空间直角坐标系，设正方体 的棱长为1，点 ，
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学科网（北京）股份有限公司根据 ，得到 ，结合 ，即可求解.
【详解】以 为坐标原点，以 所在的直线分别为 和 轴，建立空间直角坐标系，如图所
示，设正方体 的棱长为1，点 ，
则 ，
所以 ，
因为 ，可得 ，可得 ，
所以 ，即 ，
因为点 与点 不重合，所以 ，所以 为钝角，等价于 ，
所以 ，
解得 ，即实数 的取值范围为 .
故答案为： .
15. 如图是两个直角三角形板拼成的平面图形，其中 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司， ，则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】先根据四点共圆得出同弧对的圆周角相等，再根据正弦定理得出边长，最后应用数量积公式及运
算律计算即可.
【详解】 A,B,C,D四点共圆得出同弧对的圆周角相等
,
故答案为: .
16. 在正三棱锥 中， 、 分别是 、 的中点， ．若 ，则三棱锥
的外接球的表面积为______．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】取 的中点 ，连接 、 ，推导出 、 、 两两垂直，以点 为坐标点， 、
、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，三棱锥 的球心为 ，利
用空间中两点间的距离公式可得出关于 、 、 的方程组，解出这三个未知数的值，可得出球心 的坐
标，可求出三棱锥 的外接球的半径，再结合球体表面积公式可求得结果.
【详解】取 的中点 ，连接 、 ，如下图所示：
为
因 三棱锥 为正三棱锥，则 ， 为等边三角形，
又因为 为 的中点，所以， ， ，
为
因 ， 、 平面 ，所以， 平面 ，
因为 平面 ，所以， ，
因为 、 分别是 、 的中点，则 ，
因为 ，即 ，所以， ，
因为 ， 、 平面 ，所以， 平面 ，
因为 、 平面 ，所以， ， ，
因为三棱锥 为正三棱锥，则 ，即 、 、 两两垂直，
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学科网（北京）股份有限公司的
以点 为坐标点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所示 空间直角坐标系，
则 、 、 、 ，
设球心为 ，则 ，
可得 ，解得 ，
所以，三棱锥 的外接球半径为 ，
因此，三棱锥 的外接球的表面积为 .
故答案 ： .
为
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 已知数列 的前 项的和为 ，且 ， .
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学科网（北京）股份有限公司（1）证明数列 是等比数列，并求 的通项公式；
（2）求数列 前 项的和 .
【答案】（1）证明见解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）利用等比数列的定义可证得结论成立，确定等比数列 的首项和公比，可求得数列
的通项公式；
（2）利用错位相减法可求得 .
【小问1详解】
解：因为数列 满足 ， ，则 ，且 ，
所以，数列 是首项和公比均为 的等比数列，则 ，故 .
【小问2详解】
解： ，①
则 ，②
① ②得 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以， .
18. 在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且 ，
（1）求角 的大小；
（2）若 ， ，求 的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出 的值，结合角 的取值范围可得出角
的值；
（2）利用余弦定理求出 的值，再利用正弦定理可求得 的值.
【小问1详解】
解：因为 ，由正弦定理可得 ，
所以，
，
因为 、 ，所以， ，则 ，故 .
【小问2详解】
解：因为 ， ， ，
由余弦定理可得 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司由正弦定理可得 ，所以， .
19. 某职称考试有A，B两门课程，每年每门课程均分别有一次考试机会，若某门课程上一年通过，则下一
年不再参加该科考试，只要在连续两年内两门课程均通过就能获得该职称.某考生准备今年两门课程全部参
加考试，预测每门课程今年通过的概率均为 ；若两门均没有通过，则明年每门课程通过的概率均为 ；
若只有一门没过，则明年这门课程通过的概率为 ．
（1）求该考生两年内可获得该职称的概率；
（2）设该考生两年内参加考试的次数为随机变量X，求X的分布列与数学期望.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）设该考生两年内可获得该职称的事件为 ，计算概率得到答案.
（2） 的可能取值为 ， ， ，计算概率得到分布列，再计算数学期望即可.
【小问1详解】
设该考生两年内可获得该职称的事件为 ，
；
【小问2详解】
的可能取值为 ， ， .
；
；
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学科网（北京）股份有限公司；
的分布列为：
数学期望为 .
20. 直三棱柱 中，底面 是等腰直角三角形, ， ， 分别
为 的中点且 在平面 上的射影是 的重心 .
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的平面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取 的中点 ，证得 ，且 ，得到四边形 为平行四边形，得
出 ，结合线面平行的判定定理，即可证得 平面 ；
（2）因为 ，以 为原点，建立空间直角坐标系，设 ，根据点 在平面
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学科网（北京）股份有限公司上的射影是 的重心，列出方程求得 ，再求得平面 和平面 的一个法向量
和 ，结合向量的夹角公式，即可求解.
【小问1详解】
证明：取 的中点 ，分别连接 ，
因为 分别为 的中点，所以 ，且 ，
又因为 ，且 为 的中点，所以 ，且 ，
所以四边形 为平行四边形，所以 ，
因为 平面 ，且 平面 ，所以 平面 .
【小问2详解】
解：因为 ，以 为原点，以 所在的直线分别为 和 轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，
设 ，且 ，则 ，
因为 为 的重心，所以 ，可得 ，且
又因为点 在平面 上的射影是 的重心，
则 ，解得 ，
所以 ，可得 ，
又由向量 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ，可得 ，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司因为 平面 ，且 ，所以平面 的一个法向量 ，
可得 ，所以二面角 的平面角的余弦值 ．
.
21. 已知函数 ．
（1）若曲线 在点 处的切线与直线 平行，求该切线方程；
（2）当 时， 恒成立，求a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求导得到导函数，根据平行得到 ，计算得到答案.
（2）根据 得到 ，再计算导函数，构造 ，证明函数单调递
增，计算最值得到证明.
【小问1详解】
，则 ，
切线与直线 平行，则 ，解得 ，
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学科网（北京）股份有限公司又 ，
则直线方程为： ，即 .
【小问2详解】
， ， ，
故 ，故 ，
若 ，则 ，则存在 使 上 ，
函数 单调递减，故 ，不成立；
现证明 时， 在 上恒成立，
，
设 ，则 在 上恒成立，
故 单调递增，即 ，
故 在 上恒成立，函数 单调递增，
故 ，故 .
【点睛】关键点睛：本题考查了切线方程，利用导数解决不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力，
转化能力和综合应用能力，其中利用必要性探路得到 ，再放缩求导得到函数的单调性再计算最值，
可以简化运算是解题的关键.
22. 已知函数 ， ， 为其导函数．函数 在其定义域 内有零点 ．
（1）求实数a的取值范围；
（2）设函数 ，求证：对任意的 且 ， ．
（3）求证： ．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）取 ，变换 ，构造新函数，求导得到的单调区间，计算最值得到答案.
（2）构造函数 ，求导得到单调区间，计算最值得到 ，构造函
数 ，求导得到单调区间，计算最值得到 ，得到答案.
（3）根据 变换得到 ，构造函数 ，求导得到单调区间，
计算最值得到证明.
【小问1详解】
，则 ， ，
设 ， 在 上恒成立，函数 单调递减，
故 ，故 ，即 ；
【小问2详解】
， ， ，
， ，
设 ，则 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
当 时， 恒成立，即 ，故 ；
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学科网（北京）股份有限公司设 ，则 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；
当 时， 恒成立，即 ，即 ，
故 ，得证；
【小问3详解】
，要证 ，即 ， ，
故 ，即 ，即 ，
整理得到： ，
设 ，则 ， 在 上恒成立，
故函数 单调递增，故 ，即 ，
即 .
【点睛】关键点睛：本题考查了根据零点求参数范围，利用导数证明不等式，意在考查学生的计算能力，
转化能力和综合应用能力，其中，构造新函数，将题目转化为函数的最值问题是解题的关键，此方法是常
考方法，需要熟练掌握.
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学科网（北京）股份有限公司
