文档内容
嘉陵一中高 2024 级高二上第一次月考
数学试卷
注意事项： 时间120分钟，满分150分. 所有答案直接答在答题卡对应区域.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．在空间直角坐标系 中，与点 关于平面 对称的点为（ ）
A. B. C. D.
2．从分别写有1，2，3，4的4张卡片中不放回地随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的
数字之和是奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．若直线 的一个方向向量为 ，平面 的一个法向量为 ，则可能使 的是
（ ）
A. B.
C. D.
4．设 ，则AB的中点M到点C的距离 （
）
A. B. C. D.
5．已知a＝(1,2，－y)，b＝(x,1,2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则( )
.
A x＝ ，y＝1 B. x＝ ，y＝－4 C. x＝2，y＝－ D. x＝1，y＝－1
6．在平行六面体 中，底面 是边长为2的正方形，
学科网（北京）股份有限公司°，则异面直线 与 直线所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知二面角 ， 、 两点在棱 上，直线 分别在这个二面角的两个半
平面内，且都垂直于 .已知 ，则二面角 的
大小是（ ）
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
8．如图，在正四棱柱 中， ， ， 是侧面 内的
动点，且 ，记 与平面 所成的角为 ，则 的最大值为（ ）
A. B. C. 2 D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项
中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分
9．设样本空间 含有等可能样本点，且 ，
则下列说法正确的是（ ）
A．事件 与 为互斥事件 B．事件 与 为对立事件
C．事件 两两相互独立 D．
10．下列说法不正确的是（ ）
A. 数据1，8，3，5，6的第60百分位数是5
学科网（北京）股份有限公司B. 若一组样本数据4，6，7，8，9， 的平均数为7，则
C. 用分层随机抽样时，个体数最多的层里的个体被抽到的概率最大
的
D. 若 标准差为4，则 的标准差是8
11．如图，在棱长为1的正方体 中，点O为线段 的中点，且点P满
足 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 若 ， ，则 B. 若 ，则 平面
C. 若 ， ，则 平面
D. 若 ， 时，直线 与平面 所成的角为 ，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．设异面直线 的方向向量分别为 ，则异面直线 所成角
的大小为 ．
13．一个底面直径是32cm的圆柱形水桶装入一定量的水，将一个球放入桶内完全淹没，
水面上升了9cm且无溢出，则这个球的表面积是 ．
14．点 是棱长为 的正四面体表面上的动点， 是该四面体内切球的一条直径，则
的最大值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．其中15题13分, 16、17题15分,
18、19题17分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
学科网（北京）股份有限公司15．（本题满分13分）已知空间中三点 ， ， ，设
， .
（1）已知向量 与 互相垂直，求 的值；
（2）若点 在平面 上，求 的值.
16．（本题满分15分）某地区市政府为了鼓励居民节约
用电，计划调整居民生活用电收费方案，拟确定一个合理的
月用电量标准 （千瓦时）：月用电量不超过 的部分按平
价收费，超出 的部分按议价收费．为了了解居民用电情况，
通过抽样，获得了100位居民每人的月均用电量（千瓦时），
将数据按照 分成7组，制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中 的值，并且计算样本的平均数；
(2)若该市有900万居民，估计全市居民中月均用电量不低于400千瓦时的人数；
(3)若该地区市政府希望使 的居民每月的用电量不超过标准 （千瓦时），估计 的值．
（结果保留整数）
17．（本题满分15分）如图，在正三棱柱ABC-A B C 中，点D是BC的中点，
1 1 1
AB=A A =4．
1
学科网（北京）股份有限公司(1)求证：A B//平面ADC ；
1 1
(2)求证：平面ADC ⊥平面BCC B ；
1 1 1
(3)求直线A B到平面ADC 的距离．
1 1
18．（本题满分17分）如图甲，已知在长方形 中， ， ，M为DC
的中点．将 沿 折起，如图乙，使得平面 平面 ．
(1)求证： 平面 ；
(2)若点E是线段 上一动点，点E在何位置时，二面角 的余弦值为 ．
19．（本题满分17分）如图，在四棱锥 中，底面ABCD为直角梯形，
， ， ， ， ， ，且平面
平面ABCD，在平面ABCD内过B作 ，交
AD于O，连PO.
(1)求证： 平面ABCD；
(2)求面APB与面PBC所成角的正弦值；
(3)在线段PA上存在一点M，使直线BM与平面PAD所成的
角的正弦值为 ，求PM的长.
嘉陵一中高 2024 级高二上第一次月考数学试卷
参考答案 2025.10.14
学科网（北京）股份有限公司1-4ADCD 5-8BACB
8【分析】以 ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系，
设 ，3， ，根据空间向量垂直的坐标表示求得 ，继而得 的最小值，
连接BP，由线面角的定义得 就是 与平面 所成的角，故而得
的最大值.
解：以 ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系，则
， ，
设 ，3， ，则 ，3， ， ， ， ，
， ，
， ，
，
连接BP，在正四棱柱 中， 面 ，所以 就是
与平面 所成的角，即 ，
， 的最大值为 ．
故选：B．
9.BC 10. ABC 11. BCD
学科网（北京）股份有限公司11.连接 ， ， ， ， ，以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
如图所示，可得 ， ， ， ， ，
则 ，
即 ，
对于A中，若 ，则 ，则P点与C点重合，
可得 ，所以A错误；
对于B中，若 ，则 ， ， ，
，
设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ，可得 ，所以 ，
由于 ，可得 ，
因为 平面 ，所以 平面 ，所以B正确；
对于C中，若 ，则 ， ，
由于 ，所以 平面 ，所以C正确；
学科网（北京）股份有限公司对于D中，若 时，可得 ，所以 ，
则
，
设 ， ，则 ， ， ，
则 ，
由于函数 （ ）在 上单调递减，在 上单调递增，
且 ， ， ，
所以 ，所以 ， ，
， ， ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，所以 ，所以D正确.
故选：BCD.
12. ( 60°)
13. 576πcm2
14.
15、（本题满分13分）
（1）由已知 ， ，因为 与 互相垂直，故 即
，故 即 . …………6分
（2）因为点 在平面 上，故存在 ， 使得 ，
又 ，所以 ，解得 .故 .…………13分
16、（本题满分15分）
（1）由频率之和为1，可得 ，
学科网（北京）股份有限公司解得 ，…………2分
样本的平均数为：
（千瓦）…5
分
（2）由图可得，用电量不低于400千瓦的频率为 ，…………7分
故全市居民中月均用电量不低于400千瓦的人数为 万人. …………10分
（3）由图可得，前5组的频率之知为 ，
前6组的频率之和为 ，设第85百分位数为 ，则
，故 ，解得 （千瓦）．…………15分
17、（本题满分15分）
(1)连接A C，交A C点O，连接OD，则O是A C的中点，
1 1 1
因为D是BC的中点，所以OD//A B，
1
又OD⊂平面ADC ，A B⊄平面ADC ，所以A B//平面ADC ．…………5分
1 1 1 1 1
(2)因为▵ABC为等边三角形，且D是BC的中点，
所以AD⊥BC，由正三棱柱的性质知，BB ⊥平面ABC，
1
因为AD⊂平面ABC，所以BB ⊥AD，
1
又BC∩BB =B,BC、BB ⊂平面BCC B ，
1 1 1 1
所以AD⊥平面BCC B ，因为AD⊂平面ADC ，
1 1 1
所以平面ADC ⊥平面BCC B ．…………10分
1 1 1
(3)由(1)知A B//平面ADC ，
1 1
以直线A B到平面ADC 的距离等价于点B到平面ADC 的距离，
1 1 1
学科网（北京）股份有限公司由(2)知AD⊥平面BCC B ，所以点A到平面BDC 的距离为AD，
1 1 1
1 1
而S = AD⋅DC = ×2√3×√42+22=2√15，
▵ADC 1 2 1 2
1 1
S = BD⋅CC = ×2×4=4，
▵BDC 1 2 1 2
设点B到平面ADC 的距离为d，
1
因为V =V ，
B-ADC A-BDC
1 1
1 1 1 1 4√5
所以 ⋅d⋅S = ⋅AD⋅S ，即 ⋅d⋅2√15= ⋅2√3⋅4，解得d= ，
3 ▵ADC 1 3 ▵BDC 1 3 3 5
4√5
所以直线A B到平面ADC 的距离为 ．…………15分
1 1 5
注：用空间向量法计算正确得相应分
18、（本题满分17分）
【详解】（1）证明：∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，
∵平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，∵ 平面 ，∴ ，
∵ 且 ， ， 平面 ，∴ 平面 ．……7分
（2）因为平面 平面 ， ， ，M是 的中点，
∴ ，取 的中点O，连接 ，则 平面 ，
取 的中点N，连接 ，则 ，以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
则 ， ， ， ，…………9分
设 ， ，因为平面 的一个法向量 ，…………11分
， ，
学科网（北京）股份有限公司设平面 的一个法向量为 ，
则 ，可得 ．………14分
再由 ，则 ，
∴ 或 （舍），所以E为 的靠近D点的五等分点．…………17分
19、（本题满分17分）
（1）因为 ，因为 ， ，
所以四边形 为矩形，在 中， ， ， ，
则 ， ， ，
且平面 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，
平面 ；…………5分
（2）以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，
， ，可得 ，则 ， ， ，
， ，设平面 的法向量为 ， ，
，
由 ，取 .
学科网（北京）股份有限公司设平面 的法向量为 ， ，由 ，
取 ， . 二面角 是钝角，
二面角 的正弦值为 .…………11分
（3）设 ，则 ，
又平面 的法向量为 ，直线 与平面 所成的角的正弦值为
，解得 ，
.…………17分
学科网（北京）股份有限公司
