四川省成都市树德中学2025-2026学年高二上学期10月月考试题数学PDF版含答案（可编辑）_2025年10月高二试卷_251017四川省成都市树德中学2025-2026学年高二上学期10月月考试题（全）

树德中学高 2024 级高二上学期 10 月阶段性测试数学试题 命题人：姚廷辉 审题人：张世军、李波波、唐颖君 本试卷满分150分，考试用时120分钟 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 的。 1．在空间直角坐标系 高二数学 2025-10 第1页 共2页 O x y z 中，已知点P(2,1,-1),Q(3,-2,0),若点M与点P关于平面Oxz对称，则 Q M =（ ） A． ( − 3 , 2 ,1 ) B． ( 3 , − 2 , − 1 ) C．(-1,1,1) D．(-1,1.-1) 2． 下面说法正确的是 ( ) A．设一批产品的次品率 1 1 0 ，则从中任取10件，必有1件是次品 B．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 C．天气预报：“明天降雨概率为 9 0 % ”，则明天可能不下雨 D．做8次抛硬币的试验，结果5次出现正面，则抛一枚硬币出现正面的概率是 5 8 3．如图，空间四边形 OABC 中，M 、 N 分别是 OA、BC 的中点，点 G 在线段 MN 上，且 M G = 2 G N ，则 O G = x O A + y O B + z O C ，则（ ） A． x = 1 3 ， y = 1 3 ， z = 1 3 B． x = 1 3 ， y = 1 3 ， z = 1 6 1 1 1 1 1 1 C．x= ，y= ，z= D．x= ，y= ，z= 6 6 3 6 3 3 4.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原 因，用分层抽样的方法抽取 2 % 的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（ ） A．100， 2 0 B．200， 2 0 C．100，10 D．200，10 5. 春天是鲜花的季节，水仙花就是其中最迷人的代表，数学上有个水仙花数，它是这样定义的：“水仙花 数”是指一个三位数，它的各位数字的立方和等于其本身.三位的水仙花数共有 4 个，其中仅有 1 个在区间 (151,155)内，我们姑且称它为“水仙四妹”，则在集合{147,152,154,157,“水仙四妹”}，共 5 个整数中，任意 取其中 2 个整数，则这 2 8．在长方体 个整数中恰有一个比“水仙四妹”大的概率是（ ） 2 7 3 3 A． B． C． D． 5 10 5 10 6. 连续抛掷一枚质地均匀的骰子 2 次，记录每次朝上的点数，设事件 A 为“第一次的点数是 2”，事件 B 为“第二次的点数小于4”，事件C为“两次的点数之和为偶数”，则（ ） 1 A．P(A)= B．A与C相互独立 C．A与C对立 D．B与C互斥 36 7. 设A，B是一个随机试验中的两个事件，且P(A)= 1 ，P ( B ) = 7 ，P ( AB+AB ) = 1 ，则P(A+B)=（ ） 2 12 4 7 2 11 3 A． B． C． D． 12 3 12 4 A B C D − A 1 B C1 1 D 1 中，AD= AA =3，AB=4，E，F， 1 G 分别是 棱 C 1 D 1 ， B C ， C C 1 的中点， M 是平面 A B C D 内一动点，若直线 D 1 M 与平面 E F G 平行，则MB MD 的最小值为（ ） 1 1 11 A． B．9 C． 4 2 3 3 D． 2 二、多选题：本题共3小题，共18分。在毎小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的 得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知空间向量 a = ( − 2 , − 1 ,1 ) ， b = ( 3 , 4 , 5 ) ，下列结论正确的是 ( ) A． | a + b |= 3 5 B． a ， b 夹角的余弦值为 − 6 3 C．若直线 l 的方向向量为 a ，平面的法向量为 m = ( 4 , 2 , k ) ，且 l  ⊥ ，则实数 k = − 2 D． a 在 b 1 上的投影向量为− b 10 10．进入冬季哈尔滨旅游火爆全网，下图是2024年1月1．日到1月7日哈尔滨冰雪大世界和中央大街 日旅游人数的折线图，则（ ） A．中央大街日旅游人数的极差是1.2 B．冰雪大世界日旅游人数的中位数是2.3 C．冰雪大世界日旅游人数的平均数比中央大街大 D．冰雪大世界日旅游人数的方差比中央大街大 11．如图，在棱长为2的正方体 A B C D − A 1 B C1 1 D 1 中， M 是棱 B C 的中点， N 是 棱 D D 1 上的动点（含端点），则下列说法中正确的是（ ） A．三棱锥 A 1 − A M N 的体积为定值 B ．若 N 是 棱 D D 1 的中点 ，则过 A , M , N 三 点的平面 截正方 体 ABCD−ABCD 所得的截面图形是三角形 1 1 1 1 C．若CN与平面ABC所成的角为，则 1 s in 3 3 , 3 6     D．若N 是棱 D D 1 的中点，则四面体D −AMN 的外接球的表面积为 1 1 4 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为30%，两人下成和棋的概率为50%，那么乙不输的概率是 13. 已知样本数据 高二数学 2025-10 第2页 共2页 a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 1 都为正数，其方差 s2= ( a 2+a 2+a 2+a 2+a 2−80 ) ，则样本数据 5 1 2 3 4 5 2a +3, 2a +3,2a +3,2a +3,2a +3的平均数为 . 1 2 3 4 5 14．在正四棱锥 P − A B C D 中， P F = 2 5 P D , P E = 2 3 P B ，设平面 A E F 与直线PC 交于点 G ，PG=PC，则 = ． 四、解答题：（本大题共5小题，第15题13分，第16,17题各15分，第18,19题各17分， 共 77 分， 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．已知空间中三点 A ( 0 , 1 , 1 ) ， B ( 1 , 1 , 0 ) ， C ( 1 , 0 , 1 ) ． (1)求以AB， A C 为边的平行四边形的面积； (2)求 V O − A B C ，其中O是空间坐标系的原点． 16． 我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案， 拟确定一个合理的月用水量标准 x （吨），一位居民的月用水量不超过 x 的部分按平价收费，超出 x 的部 分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨）， 将数据按照 [ 0 , 0 .5 ) , [ 0 .5 ,1 ) , , [ 4 , 4 .5 ] 分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图. (1)求直方图中 a 的值（保留两位小数）以及估计该地区月均用水量的 6 0 % 分位数； (2)现在该地区居民中任选 2 位居民，将月均用水量落入各组的频率视为概率，不同居民的月均用水量相 互独立，求恰有1位居民月均用水量大于 6 0 % 分位数的概率； (3)现有 4 位居民甲、乙、丙、丁，经调查，甲和乙月均用水量大于60%分位数，丙和丁月均用水量不大 于 6 0 % 17．为了增添学习生活的乐趣，甲、乙两人决定进行一场投篮比赛，每次投1个球．先由其中一人投篮， 若投篮不中，则换另一人投篮；若投篮命中，则由他继续投篮，当且仅当出现某人连续两次投篮命中的 情况，则比赛结束，且此人获胜．经过抽签决定，甲先开始投篮．已知甲每次投篮命中的概率为 分位数，现从该4人中随机选2人，求所选2人中恰有1人月均用水量大于60%分位数的概率. 1 2 ，乙 每次投篮命中的概率为 1 3 ，且两人每次投篮的结果均互不干扰．(1)求甲、乙投篮总次数不超过 4 次时， 乙获胜的概率；(2)求比赛结束时，甲恰好投了2次篮的概率． 18．如图，在四棱锥 A − B C D E 中，  B C E 为等边三角形， A C ⊥ 平面BCDE，二面角D−AC−E的大小 为60°. (1)求证： C D / / 平面 A B E ； (2)已知AC=BC，在线段 A B 上是否存在点 G ，使得直线 C B 与平面 C E G 所成角的正弦值为 2 7 1 ？若存 在，请确定点 G 的位置；若不存在，请说明理由. 19．如图①所示，矩形 A B C D 中， A D = 1 ， A B = 2 ，点M是边 C D 的中点，将 △ A D M 沿 A M 翻折到 △ P A M ， 连接PB， P C ，得到图②的四棱锥 P − A B C M ，N为 P B 中点， (1)若平面 P A M ⊥ 平面 A B C D ，求直线 B C 与平面 P M B 所成角的大小； (2)设 P − A M − D 的大小为，若 0 , π 2     ，求平面PAM 和平面PBC夹角余弦值的最小值.树德中学高 2024 级高二上学期 10 月阶段性测试数学试题参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 D C D B C B A A BCD BC ACD 1．D【详解】由点M与点P关于Oxz平面对称，可得M(2.-1,-1)，所以QM =(−1,1,−1) 故选：D 2．C【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于 高二数学 2025-10 第3页 共2页 A ，次品率描述的是次品的可能情况，从中任取10件， 不一定正好 1 件是次品，故 A 错误；对于 C，天气预报：“明天降雨概率为 9 0 % ”，则明天可能不下雨， 故B正确；对于B和 D ，概率应该是多次重复试验中事情发生的频率在某一常数附近，此常数可为概率， 做8次抛硬币的试验，结果5次出现正面，则该实验抛一枚硬币出现正面的频率是 5 8 ，故B、 D 错误．故 选：C． 3．D【详解】由向量的运算法则有： O G = O M + M G = 1 2 O A + M G ，① O G = O C + C N + N G ，② O G = O B + B N + N G ，③ 又 B N = − C N ，MG=−2NG，∴①＋②＋③，得 3 O G = 1 2 O A + O B + O C ， 故可得x＝ 1 6 1 1 ，y＝ ，z＝ .故选:D. 3 3 4.B【详解】试题分析：由题意知，样本容量为 ( 3 5 0 0 + 4 5 0 0 + 2 0 0 0 )  2 % = 2 0 0 ，其中高中生人数为 2 0 0 0  2 % = 4 0 ，高中生的近视人数为4050%=20，故选B. 5. C【详解】由题意知“水仙花妹”是153， 所以在集合  1 4 7 ,1 5 2 ,1 5 4 ,1 5 7 ,1 5 3  ，共5个整数中， 任意取其中 2 个整数，则基本事件总数 10，这 2 个整数中恰有一个比“水仙四妹”大所包含的基本事件个 数6，∴概率是 6 1 0 = 3 5 .故选：C 6. B【详解】根据题意，连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，记录每次朝上的点数， 有(1,1)，(1,2)，(1,3)， (1 , 4 ) ， (1 , 5 ) ，(1,6)， ( 2 ,1 ) ， ( 2 , 2 ) ， ( 2 , 3 ) ，(2,4)， ( 2 , 5 ) ， ( 2 , 6 ) ， (3,1)，(3,2)， ( 3 , 3 ) ，(3,4)， ( 3 , 5 ) ，(3,6)， ( 4 ,1 ) ， ( 4 , 2 ) ， ( 4 , 3 ) ， ( 4 , 4 ) ， ( 4 , 5 ) ， ( 4 , 6 ) ， ( 5 ,1 ) ，(5,2)， ( 5 , 3 ) ，(5,4)， ( 5 , 5 ) ， ( 5 , 6 ) ， (6,1)，(6,2)， ( 6 , 3 ) ，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36个不同结果， 6 1 对于A，事件A为“第一次的点数是2”，包含6种情况，则P(A)= = ，A错误； 36 6 1 对于B，事件C为“两次的点数之和为偶数”，包含18个结果，则P(C)= ， 2 事件AC，即(2,2),(2,4),(2,6)包含3个结果，则 P ( A C ) = 1 1 2 ， 则有P(AC)=P(A)P(C)，事件A、C相互独立，B正确． 对于C，事件 A 又 、C可以同时发生，故不互斥，C错误； 对于D，事件C、B可以同时发生，不互斥，D错误；故选：B． 1 7 1 5 7. A【详解】因为P(A)= ，P ( B ) = ，故P ( A ) = ，P(B)= ， 2 12 2 12 1 ( ) ( ) ( ) 因为AB与AB为互斥事件，故P AB+AB =P AB +P AB = ， 4 P ( A B ) + P ( A B ) = P ( B ) , P ( A B ) + P ( A B ) = P ( A ) ， 所以有 P ( B ) − P ( A B ) + P ( A ) − P ( A B ) = 1 5 2 + 1 2 − 2 P ( A B ) = 1 4 ， 故 P ( A B ) = 1 3 ，故 P ( A + B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A B ) = 1 2 + 1 5 2 − 1 3 = 1 7 2 .故选：A. 8．A【解析】如图，分别以 A B 、AD、 A A 1 方向为 x 、 y 、z轴建立空 间直角坐标系可得： E(2,3,3)， F  4 , 3 2 , 0   3 ，G4,3, ，D (0,3,3)，B (4,0,3)，M(x,y,0)，  2 1 1  3   3 3 EF =2,− ,−3，FG=0, , ，DM =(x,y−3,−3)，  2   2 2 1 设平面 E F G 的法向量 n = ( x , y , z ) ，则  E F F G   n n = = 0 0 ，得  2 3 2 x y − + 3 2 3 2 y z − = 3 z 0 = 0 ， 故可设 x = − 3 4 ，y=1，z=−1，即 n =  − 3 4 ,1 , − 1  . 由于直线 D 1 M 与平面 E F G 平行，则 D 1 M  n = 0 ， 3 3 得：− x+y−3+3=0，即：y= x，MB =(4−x,−y,3)，MD =(−x,3−y,3). 4 4 1 1 M B 1  M D 1 = ( 4 − x )  ( − x ) + ( − y )  ( 3 − y ) + 9 = x 2 − 4 x + y 2 − 3 y + 9 ， =x2−4x+   3 x   2 − 9x +9= 25 x2− 25 x+9= 25 (x−2)2+ 11 ， 4  4 16 4 16 4 可知，由于 x  ( 0 , 4 ) ，当 x = 2 时， M B 1  M D 1 取得最小值，最小值为 1 1 4 .故选：A 9．BCD【解析】对于 A ，因为 a + b = (1 , 3 , 6 ) ， | a + b |= 1 2 + 3 2 + 6 2 = 4 6 ，故 A 错； 对于B，因为 a = ( − 2 , − 1 ,1 ) ， b = ( 3 , 4 , 5 ) ， 所以|a|= (−2)2 +(−1)2 +12 = 6， | b |= 3 2 + 4 2 + 5 2 = 5 2 ， a  b = − 2  3 − 1  4 + 1  5 = − 5 ，可设 a 与 b 的 夹角为，则 c o s | a a b || b | 6 5 5 2 6 3  =  = −  = − ，故 B 正确； 对于 D b 3 b 1 ，a在b 上的投影向量为|a|cosa,b = 6(− ) =− b ， |b| 6 5 2 10 D 正确． −2 −1 1 对于C，因为l⊥，故m//a，则 = = ，则可得k=−2，故C正确；故选：BCD． 4 2 k 10.BC 【详解】对于A，中央大街日旅游人数的最大值为2.8万，最小值为0.9万， 极差为1.9万，故A错误. 对于B，冰雪大世界日旅游人数由小到大依次为：1.7,1.8,1.9,2.3,2.4,2.6,2.9， 其中位数为2.3，故B正确. 1.7+1.8+1.9+2.3+2.4+2.6+2.9 78 对于C，冰雪大世界日旅游人数的平均值为 = ， 7 35 2.8+2.8+2.4+2.7+1.1+0.9+1.3 78 中央大街日旅游人数的平均值为 =2，因 2，故C正确. 7 35对于D，冰雪大世界日旅游人数的方差为： 1.72+1.82+1.92+2.32+2.42+2.62+2.92 78 2 35.96 78 2 −  = −  5.2−2.22 =0.36， 7 35 7 35 中央大街日旅游人数的方差为： 2.82+2.82+2.42+2.72+1.12+0.92+1.32 4.44 −4= 0.36， 7 7 故冰雪大世界日旅游人数的方差比中央大街小，故D错误，故选：BC. 11．ACD【详解】对于A，连接 高二数学 2025-10 第4页 共2页 A 1 M ，因为 D D 1 / / A A 1 , A A 1  平面 A 1 A M , D D 1  平面 A 1 A M ，所以 D D 1 / / 平面 A 1 A M ，又点 N 是棱DD 上的动点（含端点）， 1 所以点 N 到平面 A 1 A M 的距离为定值，设为 d ， 则 V A −1 A M N = V N − A A1 M = 1 3  S A A1 M  d = 1 3  2  2 5  d = 3 5 d ，为定值，故A正确； 对于B，如图，延长AM交DC延长线于点 P ，连接 N P 交 C C 1 于点 H ，连接MH， 四边形 A M H N 为过 A , M , N 的平面截正方体 A B C D − A 1 B C1 1 D 1 所得的截面图形，故B错误； 对于C，以A为坐标原点，建立如下图所示空间直角坐标系， 则 A ( 0 , 0 , 0 ) , B 1 ( 2 , 0 , 2 ) , C ( 2 , 2 , 0 ) , N ( 0 , 2 , ) ,  0 , 2     ， 则AB =(2,0,2),AC=(2,2,0),CN =(−2,0,)， 1 设平面 A B C1 的法向量n=(x,y,z)，则  n n   A A B C 1 = = 0 0   2 2 x x + + 2 2 z y = = 0 0 ， 令x=1，则 y = z = − 1 当 ，故n=(1,−1,−1)，则 nCN +2 3 2+4+4 3 4 sin= cos n,CN = = ,= = 1+ ， n CN 3 4+2 3 2+4 3 2+4 0  = 时， s in 3 3  = ，当 0   3 4 3 4 3 4 6 sin= 1+ = 1+  1+ = 时， 3 2 +4 3 4 3 4 3 ， + 2    当且仅当=2时等号成立，又 s in 3 3 1 4 2 4 3 3    = + +  ，故C正确. 对于D，如图所示，连接 A D 1 ，取AD的中点为 M  ，连接 M M  ， 设 A D 1 N 外接圆圆心为 O  ，四面体 D 1 − A M N 的外接球球心为O，连接 O M  ， 在 A D 1 N 中，设其外接圆半径为 r ，由正弦定理知， AN 5 = = 10 =2r 10 sinADN 2 ，所以r= ，即 1 2 2 10 ON = ，依题易得 2 A N D ≌1 D 1 M A ，故 A M D 1 A N D 1    = ， 且AMD 和 1  A N D 1 同对弦 A D 1 ，故 A , M , N , D 1 四点共圆， 则 O M  = O N = 1 2 0 ，设外接球半径为 R ，过 O 作 O E ⊥ M M  ，交 M M  于 E ， 由正方体性质知 M M  ⊥ 平面 A D D 1 A 1 ，而 O M   平面 A D D 1 A 1 ，则 M M  ⊥ O M  ， 又 O O  ⊥ 平面 A D D 1 A 1 ，则 O O  // M M  ，所以 O O M E 是矩形，则 O E = O M  ， 则在 R t △ O E M 中，OM2 =OE2+ME2，即 R 2 =  1 2 0  2 + ( 2 − O O ) 2 ，①， 在 R t O O N 中， O N 2 = O O '2 + O N 2 2  10 ，即R2 =OO2+  ②，   2   联立①②，解得 O O  = 1 , R 2 = 7 2 ，故外接球的表面积为4πR2 =14π，故 A 正确； 故选：ACD. 12 13 14 1 70% 11 3 12. 【详解】由题意可得乙胜的概率为 1 − 30% − 50%=20%， 所以乙不输的概率是 2 0 %+50%=70%=0.7 13. 【详解】设样本数据a,a ,a ,a ,a 的平均数为 1 2 3 4 5 a ，则a +a +a +a +a =5a，a0， 1 2 3 4 5 1 所以s2= (a −a)2+(a −a)2+(a −a)2+(a −a)2+(a −a)2 5 1 2 3 4 5  所以 s 2 = 1 5  a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 + a 4 2 + a 5 2 − 2 ( a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 ) a + 5 ( a ) 2  1 所以s2= a 2+a 2+a 2+a 2+a 2−5(a)2， 5 1 2 3 4 5  1 又s2= ( a 2+a 2+a 2+a 2+a 2−80 ) ，所以5(a)2 =80，又a0，所以a=4， 5 1 2 3 4 5 所以样本数据 2a +3、2a +3、2a +3、2a +3、2a +3的平均数为2a+3=11. 1 2 3 4 5 故答案为：11.14． 【详解】PC=PA+AC=PA+AB+AD=PA+PB−PA+PD−PA=PB+PD−PA， 因为 高二数学 2025-10 第5页 共2页 P F = 2 5 P D , P E = 2 3 P B ，所以 P C = P B + P D − P A = 3 2 P E + 5 2 P F − P A ， 1 1 3 5 3 5 1 又PG=PC，故PC= PG，即 PG= PE+ PF−PA，故PA= PE+ PF− PG，   2 2 2 2  因为平面 A E F 与直线 P C 交于点 G ，所以 A , E , F , G 四点共面，所以 3 2 5 2 1 1  + − = ，解得 1 3  = . 故答案为： 1 3 15． 【详解】（1） A B = ( 1 − 0 ) 2 + ( 1 − 1 ) 2 + ( 0 − 1 ) 2 = 2 ， A C = ( 1 − 0 ) 2 + ( 0 − 1 ) 2 + ( 1 − 1 ) 2 = 2 ， A B = ( 1 , 0 , − 1 ) , A C = ( 1 , − 1 , 0 ) ，………..3分 c o s A B , A C = A A B B   A A C C = 1 + 2 0  + 0 2 = 1 2 ，所以 s i n A B , A C = 1 − c o s 2 A B , A C = 2 3 ， 所以AB， A C 1 3 为边的平行四边形的面积为2  2 2 = 3；………….6分 2 2 （2）设平面ABC的法向量为 m = ( x , y , z ) ，由（1）可知： A B = ( 1 , 0 , − 1 ) , A C = ( 1 , − 1 , 0 ) ， 所以有  m m   A A B C = = 0 0   x x − − z y = = 0 0  m = ( 1 , 1 , 1 ) ， O A = ( 0 , 1 , 1 ) ， 点 O 到平面 A B C 的距离为 d = O A  m m   O O A A = m  m O A = 1 2 1 + + 1 1 2 + 1 2 = 2 3 3 ，……..10分 三角形 A B C 的面积为 1 2  2  2  2 3 = 2 3 ，所以 V O − A B C = 1 3  2 3  2 3 3 = 1 3 ……….13分 16．【详解】（1）由频率分布直方图，得 0 .5 ( 0 .0 8 + 0 .1 6 + a + 0 .4 0 + 0 .5 2 + a + 0 .1 2 + 0 .0 8 + 0 .0 4 ) = 1 ，解得 a = 0 .3 0 ；……………2分 数据落在区间 [ 0 , 2 ) 的频率为 0 .0 4 + 0 .0 8 + 0 .1 5 + 0 .2 0 = 0 .4 7 ， 数据落在区间[0,2.5)的频率和为 0 .7 3 ，则用水量的 6 0 % 分位数 m  ( 2 , 2 .5 ) ， 由 ( m − 2 )  0 .5 2 = 0 .6 − 0 .4 7 ，解得m=2.25， 所以 a = 0 .3 0 ，估计该地区月均用水量的60%分位数为 2 .2 5 …………..5分 （2）设事件A(i=1,2)表示第i位居民月均用水量大于60%分位数，P(A)=0.6，………….7分 i i 事件 B 表示恰有1位居民月均用水量大于 6 0 % 分位数，B= AA +AA ， 1 2 1 2 因此P(B)=P(AA )+P(AA )=0.60.4+0.40.6=0.48， 1 2 1 2 所以所求概率为0.48…………….10分 （3）试验的样本空间  = { 17． 【详解】（1）若甲、乙投篮总次数为 (甲,乙)，(甲,丙)，(甲,丁)，(乙,丙)，(乙,丁)，(丙,丁)}，共6个样本点， 事件A表示所选2人中恰有1人月均用水量大于60%分位数，……………………13分 则A={(甲,丙)，(甲,丁)，(乙,丙)，(乙,丁)}，共4个样本点， 4 2 所以P(A)= = ………………..15分 6 3 2 次，则乙不可能获胜； 若甲、乙投篮总次数为 3 次且乙获胜，则第一次甲未投中，乙投中第2、3次，  1 1 1 1 所以P =1−   = ；……………………3分 1  2 3 3 18 若甲、乙投篮总次数为4次乙获胜，则第一次甲投中、第二次甲未投中，乙投中第3、4次， 所以 P 2 = 1 2   1 − 1 2   1 3  1 3 = 1 3 6 ；………………….5分 记甲、乙投篮总次数不超过4次时且乙获胜为事件 A ，则 P ( A ) = P 1 + P 2 = 1 1 8 + 1 3 6 = 1 1 2 ， 所以甲、乙投篮总次数不超过4次时，乙获胜的概率为 1 1 2 ；……………..7分 （2）若比赛结束时甲赢得比赛且甲恰好投了2次篮，则甲连续投中2次，则概率 P 3 = 1 2  1 2 = 1 4 ； 若比赛结束时乙赢得比赛，又甲恰好投了2次篮，………………9分 1  1 1 1 1 ①甲投中第一次，第二次甲未投中，乙投中第3、4次，则P = 1−   = ； 4 2  2 3 3 36 ②甲第一次未投中，第二次乙未投中，第3次甲未投中，第4、5次乙投中， 则 P 5 =  1 − 1 2    1 − 1 3    1 − 1 2   1 3  1 3 = 1 5 4 ； ④甲第一次未投中，第二次乙投中，第3次乙未投中，第4甲未投中，第5、6次乙投中， 则 P 6 =  1 − 1 2   1 3   1 − 1 3    1 − 1 2   1 3  1 3 = 1 1 6 2 ；……………………….14分 综上可得比赛结束时，甲恰好投了2次篮的概率 P = P 3 + P 4 + P 5 + P 6 = 1 4 + 1 3 6 + 1 5 4 + 1 1 6 2 = 1 4 6 9 2 …..15分 18．【详解】（1）在四棱锥 A − B C D E 中， A C ⊥ 平面BCDE，CD,CE平面BCDE AC⊥CD，AC CE ⊥ ，   E C D 为二面角 D − A C − E 的平面角，   E C D = 6 0  ， 又  B E C = 6 0  ，  C D / / B E .又 B E  平面 A B E ，CD平面 A B E ， 所以CD//平面 A B E ………………….6分 （2）存在点G为线段AB的中点. 设 A C = B C = 2 ，取 B E 的中点 F ，以 C 为坐标原点， C F 的方向为 x 轴正方向建立如图所示的空间直角坐 标系 C − x y z ， 则 A ( 0 , 0 , 2 ) ，B( 3,−1,0)， C ( 0 , 0 , 0 ) ，E( 3,1,0)， 则CE =( 3,1,0)，AB=( 3,−1,−2)，CB=( 3,−1,0)， 设AG=AB，得G( 3,−,2−2)，所以CG=( 3,−,2−2)， …………….8分 CGn=0   3x−y+(2−2)z=0 设平面CEG的法向量为n=(x,y,z)，则 ，即 ， CEn=0  3x+y=0不妨令 高二数学 2025-10 第6页 共2页 x = 3 ，可得 n ( 3 , 3 , 3 1 )   = − − 为平面CEG的一个法向量， 设直线CB与平面 C E G 所成的角为， nCB 6 21 则sin= cos n,CB = = = ，解得 |n||CB| 3 7 2 3+9+( )2 −1 1 2  = ， ………..15分 所以当G为线段AB的中点时，直线 C B 与平面CEG所成角的正弦值为 2 7 1 ………….17分 19．【详解】（1）取AM中点 G ，连接PG，由 P M = P A = 1 ，得PG AM ，而平面PAM ⊥平面 A B C D ， 平面 P A M  平面 A B C D = A M , P G  平面 P A M ，则 P G ⊥ 平面 A B C D ， 过M 作 M z / / P G ，则Mz⊥平面 A B C D ，又 M A , M B  平面ABCD，于是 M z ⊥ M A , M z ⊥ M B ， 在矩形ABCD中， M A = M B = 2 ， M A 2 + M B 2 = 4 = A B 2 ，则 M A ⊥ M B ， 以点 M 为原点，直线 M A , M B , M z 分别为 x , y , z 轴建立空间直角坐标系，……….2分 则 M ( 0 , 0 , 0 ) , B ( 0 , 2 , 0 ) , C ( − 2 2 , 2 2 , 0 ) , P ( 2 2 , 0 , 2 2 ) ， 2 2 2 2 MB=(0, 2,0),MP=( ,0, ),BC=(− ,− ,0)， 2 2 2 2 设平面 P M B 的法向量为 m = ( a , b , c ) ，则  m m   M M B P = = 2 2 2 b a = + 0 2 2 c = 0 ，令 a = 1 ，得 m = (1 , 0 , − 1 ) ，……5分 设直线BC与平面PMB所成的角为，则 s in | c o s m , B C | | m | m || B B C C | | 22 2 1 1 2  =   =  =  = ， 所以直线BC与平面PMB所成角的大小为 π 6 …………….6分 （2）连接DG，由DA=DM，得DG⊥ AM，而PG AM ，则PGD为P−AM−D的平面角，即 P G D   = ， 过点D作Dz⊥平面 A B C D ，以D为坐标原点，直线 D A , D C , D z 分别为 x , y , z 设 轴建立空间直角坐标系， 则A(1,0,0)，M(0,1,0)，C(0,2,0)， 显然AM ⊥平面PGD，AM 平面ABCD，则平面PGD⊥平面ABCD， 在平面PGD内过P作PH ⊥DG于点H ，则PH ⊥平面ABCM，………………….8分 P ( x 0 , y 0 , z 0 ) 2 ，而PG= ，则 2 P H 2 2 s in  = ， G H 2 2 c o s  = ， D H 2 2 ( 1 c o s )  = − ， 即 x 0 y 0 2 2 (1 c o s ) 2 2 1 2 (1 c o s )   = = −  = − ， z 0 2 2 s in  = ， 1 1 2 所以P( (1−cos), (1−cos), sin)， ……………….10分 2 2 2 于是 A M = ( − 1 ,1 , 0 ) ， P A ( 1 c o 2 s , c o s 2 1 , 2 2 s in )    = + − − ， 设平面PAM的法向量为 n 1 = ( x 1 , y 1 , z 1 ) ，则 1 x 1 c o 2 y s 1 x 0 1 c o s 2 1 y 1 2 s 2 in z 1 0     − + + = + − − = ， 令 z 1 = 2 ，得 n 1 ( ta n , ta n , 2 )   = ，设平面PBC的法向量为 n 2 = ( x 2 , y 2 , z 2 ) ， 因为CB=(1,0,0)， P C ( c o s 2 1 , c o s 2 3 , 2 2 s in )    = − + − ， 则 x c 2 o s 2 0 1 x 2 c o s 2 3 y 2 2 2 z 2 s i n 0     = − + + − = ，令 y 2 2 s in  = ，得 n 2 ( 0 , 2 s in , 3 c o s )   = + ，….13分 设平面 P A M 和平面PBC为， 则 c o s n 1 n 1 n n 2 2 ( 2 ta 2 n s in c o 2 2 s 2 ) ( 3 s in 2 2 6 2 c c o o s s 1 0 ) 1 1 3 c c o o s s 2 1 6 c o s           =   = + + + + + = − + + ( c o s 3 1 3 | c 2 ) o s 2 0 3 ( c 1 3 o | s 1 3 ) 8 0 9 9 ( c o 8 s 0 1 3 ) 2 3 3 ( c o 2 s 0 1 3 ) 1      = − + + + + + = + + + − 令 t c o s 1 1 3  = + ， ( 0 , π 2 ]   ，则 t  ( 3 4 , 3 ] 9 ，即cos= ，则当 80t2+60t−9 t = 3 时，cos有最小值 1 1 1 1 ， 11 所以平面PAM 和平面PBC夹角余弦值的最小值为 ．………………..17分 11