文档内容
深圳市高级中学 2025 届高三第二次诊断考试
数学
2024.11
（本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟）
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1.已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.直线 的倾斜角为 ，则 （ ）
A. B. C. D.
3.已知圆锥的侧面展开图是圆心角为 且弧长为 的扇形，则该圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
4.已知公差不为0的等差数列 中， 且 ，则 （ ）
A.30 B. C. D.40
5.已知 ，则 （ ）
A. B.3 C. D.4
6.在三棱锥 中， ，平面 平面 ，则三棱锥
外接球表面积为（ ）
A. B. C. D.
7.已知 都是正实数， ，则 的最小值为（ ）A.2 B. C. D.
8.已知函数 的定义域为 为奇函数， ，则（ ）
A. 为奇函数
B. 的图象关于直线 对称
C. 的最小正周期为4
D. 的图象关于点 对称
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知正方体 棱长为1，下列结论正确的是（ ）
A.直线 与 所成角为
B.直线 到平面 的距离是
C.点 到直线 的距离为
D.平面 与平面 所成角的余弦值为
10.已知 为等差数列， 为等比数列， 的公差为 的公比为 ， ，下列结论正确
的是（ ）
A.若 ，则 为递增数列
B.若 ，则 为递减数列
C.若 ，则 为递增数列
D.若 ，则 为递增数列
11.在锐角三角形 中， 外接圆的半径为 ，则（ ）A.
B.
C.
D.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.若 ， 为虚数单位，则 __________.
13. 是等比数列 的前 项和，已知 ，则 __________.
14.在三棱锥 中， 与 中点分别为 ，点 为 中点.若 在 上满足
在 上满足 ，平面 交 于点 ，且 ，则
__________.
四､解答题：本大题共 小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（13分）记 的内角 所对的边分别是 的面积为 .若 ，
（1）求 ；
（2）若 ，求 的值.
16.（15分）我们知道关于 的二元一次方程表示直线，但有的二元二次方程也能表示直线，比如
表示的就是 和 两条直线.
（1）求方程 表示的直线与 轴围成的面积；
（2）若方程 表示的是两条直线，求 .
17.（15分）四棱锥 中，底面 为正方形， 为锐角.（1）求证：平面 平面 ；
（2）若 与平面 所成角为 ，求平面 与平面 夹角的余弦值.
18.（17分）已知函数 有两个零点 ，
（1）求 的单调区间和极值；
（2）当 时， 恒成立，求实数 的最小值；
（3）证明： .
19.（17分）设集合 ，对于集合 到集合 的函数 ，记其中满足
的函数为“回函数”.对于任意给定的集合 ，“回函数”的个数记为 .数列 的第 项
为 .例如 ，“回函数”仅有一个，即 ，满足 ，所以
，“回函数”有两个，即 和 ，这两个函数都能满足
，所以 .
（1）求 ；
（2）当 时，给出 和 之间的关系式并证明；
（3）证明： 时， .深圳市高级中学 2025 届高三第二次诊断考试数学参考答案
1 DACC AACD
9.BCD 10.AC 11.AC
12.1 13. 或 14.
14.解答：
在平面 上，使得 ，其中
，得
15.（1）
得 ，得
（2）
16.（1） 表示的直线为 和 ，
联立 ，得两直线交点为 ，两直线与 轴交点分别为 和
两直线与 轴围成的三角形面积为
（2）若方程 表示两条直线，则该方程必能表示为两个二元一次方程的乘积，
则，解得
17（1） 四边形 为正方形 ，又 ，且
平面 平面
平面 平面
（2）以 为原点 分别为 轴，过 作平面 的垂线，以该垂线为 轴
由（1）可知 轴在平面 内
由题意可得
易知平面 的法向量为
，得 ，
解得 或
为锐角，
，设平面 的法向量为，得 ，取 ，得
易得平面 的法向量为 ，设平面 与平面 夹角为 ，则
.
综上，平面 与平面 夹角的余弦值为 .
18.（1）
令 ，得
时， 单调递减， 时， 单调递增， 的极
小值为 ，无极大值
（2） ，即 ，令
时， 时， ，而 ，不合题意；
时，
，显然 为减函数
当 ，即 时，
则 单调递增且 ，
时， 单调递减
当 时，
时， 单调递增且使得 ，且 时， 单调递减， 时，
单调递增 ，不合题意.
综上 的最小值为 .
（3）当 时， ，若 ，则 ，则 在 没有零点，又 在
上单调递增，所以 最多只有1个零点，不合题意
，又
由（2）可知 ，解得
欲证 ，即证 ，即证
即证 ，即证
令
得 的最小值为 ，即 ，易知
，综上
19.（1）分别是
（2） 时， 分别表示集合 中“回函数”个数
中“回函数”的个数计算分两种情况：
i.若 ，则其他元素不可能对应到 ，否则通过两次对应后不可能到达自身，即其他 个
元素之间只能在内部对应，所以这种情况的“回函数”的个数为 ；
ii.若 ，由于一个元素经过两次对应必须回到自身，所以必有 ，
而除 和 之外的元素也不能对应 或 ，即其他 个元素只能在它们内部对应，所以“回函
数”的个数为 ，又 有 种选择，所以这种情况的“回函数”个数为 .
综上，
（3）易知
时， ，即 单调递增
时，，且 满足不等式
综上， 时， .
