#$#%年!三新"协同教研共同体高二联考
数学试卷参考答案
#! #!
!!&!解析#直线"的斜率#’(槡)!*+,!’(槡)!!’ !所以倾斜角为 !故选&!
) )
#!-!解析#因为!""!则!’""!所以$’.!则#"#’槡.#/"(###/.#’0!故选-!
. & .
)!1!解析#渐近线经过点")!.#!则双曲线的其中一条渐近线的方程为%’ $!则 ’ !所
) ’ )
( %
以 ’ !故选1!
& .
&!&&!&&)
.!2!解析#%人分)组可以按照$!!!!)%和$#!#!!%分组!$!!!!)%分组有 % . )&1)’
1# )
#
&#&&#&&!
0$种分法!$#!#!!%分组有 % ) !&1)’3$种分法!总计0$/3$’!%$种!故选2!
1# )
#
%!-!解析#点)关于直线"的对称点为)*"!!##!#+)#/#+,#’#+-#(./#+)#’#+-#/
#+)*#(.!当-!+!)*三点共线时取得最小值!即最小值为#-)*#(.’槡!)(!!故选-!
0!&!解析#易证,)!,/!,-互相垂直!以,为坐标原点!以,)!,/!,-所在的直线分别为
$!%!0轴建立空间直角坐标系"图略#!设,)’,/’,-’#!则)"#!$!$#!-"$!$!##!/"$!
#!$#!1"$!!!$#!2"!!!!$#!
%%$ %%$
%%$ %%$ -2&)1 ! 槡)$
所以-2’"!!!!(##!)1’"(#!!!$#!故 %%$ %%$ ’ ’ !故选&!
#-2##)1# 槡04槡% )$
5!1!解析#由点,为直线"’$(%(.’$上的任意一点!可设,"3!3(.#!
" 3## " 3(.## !
则过-!4!,!5的圆的方程为$( / %( ’ (3#/"3(.##)!
# # .
化简可得$#(3$/%#("3(.#%’$!与已知圆的方程相减可得直线45的方程为3$/"3(
.#%’.!直线45过定点1"!!(!#!因为-+&+1!所以点+的轨迹为以-1为直径的圆
" !## " !## !
"不过原点#!其方程为 $( / %/ ’ "$#/%#’$#!设+到直线"的距离为6!因
# # #
"! !# )槡# 槡# 槡#
为点 !( 到直线"的距离6’ !所以6( (6)6/ !即6*(槡#!#槡##!故
# # ! # ! # ! #
选1!
7
"!&!解析#由题意得 ’!!7’#!故-’%#’.$!不妨设"’$’8%/%"8’$#!
#
联立"及-的方程得%#(.8%(#$’$!"
再设外心2"9!$#!则+5)/外接圆的方程为"$(9##/%#’"9(!##!
联立"与外接圆的方程得"8#/!#%#/"!$8(#89#%/#.("9’$!#
!高二数学"参考答案!第!!!!!页#共"页$%
!"#$%&’#’卷$
书书书!$8(#89 #.("9
由"#得8#/!’ ’ !
(.8 (#$
槡)
解得8’6槡)!9’!)!所以直线"的斜率等于6 !故选&!
)
3!1&-!解析#对于1!个位为$的四位数有1)’#.个!个位为#或.的四位数有&!&1#4#
. ) )
’)0个!总计#./)0’0$个!
对于2!.人报名!每人都有)种报名方法!所以不同的报名方法共有).’"!种!
对于&!"选的)人中无甲’1)’#!$种*#选的)人中有甲’&#&&!&1#’".种!总计#!$/
5 5 # #
".’#3.种!
1!$
对于-!由定序问题消序法得共有 !$ ’3$种!故选1&-!
1"
"
-&’)! -&’)!
$# %#
!$!12-!解析#对选项1!由题意得,#% #%0 解得,’’.!则双曲线4’ ( ’!!其渐近
( ’!! 3 !0
.&# 3’# .(’%!
.
线方程为%’6 $!1正确!
)
-%’#$/8!
对选项2!设直线12’%’#$/8!8’#()#!1"$
!
!%
!
#!2"$
#
!%
#
#!由,$# %# 得
( ’!!
.3 !0
"!0(3###$#(!"#8$(38#(!..’$!因为直线"与4的右支交于1!2两点!所以#’
%
%50"8#/!0(3###/$!又8’#()#!所以当#’ 时!直线"与4相切!因为直线"与4
)
. % .
的右支交于两点!利用双曲线渐近线的斜率!数形结合可得 )#) 或#)( !即#*
) ) )
" .# ". %#
(7!( 0 ! !所以2正确!
) ) )
对选项&!设直线12’%’#$/8!8’#()#!1"$!%#!2"$!%#!
! ! # #
-%’#$/8!
由,$# %# 得"!0(3###$#(!"#8$(38#(!..’$!
( ’!!
.3 !0
!"#8 38#/!..
则$/$’ !$$’( !
! # !0(3## ! # !0(3##
)#8 #""#
%/%’ !$%/$%’( !
! # !0(3## ! # # ! !0(3##
假设4存在以:为中点的弦!
!"#8 )#8 "
则有$/$’ ’0!%/%’ ’.!解得#’ !8’(0!
! # !0(3## ! # !0(3## )
此时#’%50"8#/!0(3###)$!直线"与4无交点!矛盾!故&错误!
!高二数学"参考答案!第!!!!#页#共"页$%
!"#$%&’#’卷$" " # " !0 #
对选项-!若+为1,的中点!则+$!$(" !,$! $(%(!0 !
! ) ! ! ) ! !
!0
$(%(!0
) ! ! %
由于# (# ’ ( #
,) 2) $() $()
! #
!0
$$/)"%/%#(!0"$/$#/."("$%/$%#
) ! # ! # ! # ! # # !
’ ’$!故-正确!
"$()#"$()#
! #
故选12-!
!!!1&-!解析#对选项1!利用延长相交思想可得截面为五边形!故1正确!
! ! !
对选项2!; ’; ’ &= &6’ 4 4#4#6!当点+在)/上时!6取
:<+-!:! +<:-!:! ) +:-!:! ) #
.
最大值#!所以最大值为 !故2错误!
)
对选项&!以:为坐标原点!建立空间直角坐标系:<$%0"图略#!则)"#!$!$#!5"$!#!!#!
) "#!$!##!: "$!$!##!4"!!$!##!点4关于平面)/-:的对称点为4*"!!$!(##!#+4#
! !
/#+5#’#+4*#/#+5#1#4*5#’槡"!($##/"$(###/"(#(!##’槡!.!故&正确!
对选项-!+为正方形)/-:内"含边界#一点!可设+">!3!$#!>!3*($!#)!
%%$ %%$
则):’"(#!$!$#!)5’"(#!#!!#!设平面):5的法向量为#’"$!%!0#!
%%$
+):&#’(#$’$!
则 故可取#’"$!!!(##!
%%$
)5&#’(#$/#%/0’$!
%%%$ %%$
): ’"(#!$!$#!)+’">(#!3!(##!
! ! !
设平面):+的法向量为$’"&!’!(#!
! !
%%%$
+): &$’(#&’$!
! !
则 故可取$’"$!#!3#!
%%$
)+&$’">(##&/’3(#(’$!
!
因为平面)+: &平面):5!所以#&$’#(#3’$!解得3’!!故+">!!!$#!
! !
则)+’槡">(###/!/.’槡">(###/%!当>’#时!)+取最小值槡%!故-正确!
! !
故选1&-!
5槡!)
!#! !解析#直线#$()%/%’$可转化为.$(0%/!$’$!它与直线.$(0%/)’$平
#0
#!$()# 5槡!)
行!故6’ ’ !
槡!0/)0 #0
%%$ %%$ %%$
!)!槡#!解析#设):’!!-/’"!:-’%!8)/’)!9#!/"/%##’32&#/’#/(#/#"!&"
%%$ %%$
/"&%/%&!#’3!又8)-&/:’$!9"!/%#&"("(%#’$2!&"/"&%/%&!/(#
’$!
&#/’# #&’
9&#/’#/(#/#"((##’32(#’&#/’#(3!9 1 ’槡#!当且仅当&’’时!等
槡#&’ 槡#&’
!高二数学"参考答案!第!!!!)页#共"页$%
!"#$%&’#’卷$(#/3
号成立!即 的最小值是槡#!
槡#&’
#
!.! !解析#某人先后两次任意摸取小球!每次至少摸取!个小球!
!%
则每次摸球的情况有&!/&#/&)/&.’./0/./!’!%种!
. . . .
所以先后两次任意摸取小球共有!%4!%’##%种情况!
两次记下的小球颜色能凑齐.种颜色!且总分为5分的情况有’
第一次摸取!个球!第二次摸取.个球!情况共有&!&&.’)种*
) .
第一次摸取#个球!第二次摸取)个球!情况共有&#&&#/&!&&)’!#种*
) ) ) )
第一次摸取)个球!第二次摸取#个球!情况共有&)&&!/&#&&#’!#种*
) ) ) )
第一次摸取.个球!第二次摸取!个球!情况共有&.&&!’)种!
. )
因为每次摸到球的各种不同情况等可能!所以两次记下的小球颜色能凑齐.种颜色!
)/!#/!#/) )$ #
且总分为5分的概率为 ’ ’ !
##% ##% !%
#
故答案为 !
!%
!%!解析#"!#由题可设圆-的圆心为-"’!0(’#!8圆-经过")!!#!"!!)#两点!
9槡"’()##/"%(’##’槡"’(!##/")(’##!解得’’)! ,,,,,,,,,,,#分
9-")!)#!圆-的半径.’槡")()##/"!()##’#!
9圆-的方程为"$()##/"%()##’.!,,,,,,,,,,,,,,,,,,,%分
"##当过点+".!$#的直线"的斜率不存在时!直线"的方程为$’.!
则圆心-到直线"的距离为!!所以#)/#’#槡)!满足条件*,,,,,,,,,,,5分
当过点+".!$#的直线"的斜率存在时!设直线"的斜率为#!
则直线"的方程为%’#"$(.#!即%(#$/.#’$!
#)()#/.## ##/)#
圆心-")!)#到直线"的距离6’ ’ !又.#’6#/"槡)##!
槡##/!# 槡##/!
"#/)## . . !0
9)/ ’.!即#’( !9直线"的方程为%’( $/ ! ,,,,,,,!#分
##/! ) ) )
综上所述!直线"的方程为$’.或.$/)%(!0’$!,,,,,,,,,,,,,!)分
!0!解析#"!#若点)!-在4上!则##’#7!.#’"7!解得7’#!,,,,,,,,,,,)分
此时4’%#’.$!点/不在4上*
若点)!/在4上!则##’#7!)#’.7!无解*,,,,,,,,,,,,,,,,,.分
若点/!-在4上!则)#’.7!.#’"7!无解!,,,,,,,,,,,,,,,,,%分
综上!4的方程为%#’.$!,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,0分
"##设"’$’8%/#!1"$!%#!2"$!%#!
! ! # #
联立"及4的方程得%#(.8%("’$!则%/%’.8!%%’("!,,,,,,,3分
! # ! #
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!"#$%&’#’卷$! !
此时!= ’ #%(%#’ 槡!08#/)#’.! ,,,,,,,,,,,,,,,!!分
+512 # ! # #
解得8’6槡#!,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,!.分
故直线"的方程为$(槡#%(#’$或$/槡#%(#’$!,,,,,,,,,,,,,!%分
!5!解析#"!#取+-的中点5!连接45!/5!因为4是+:的中点!所以45"-:!,,,#分
!
45’ -:!又因为)/"-:!-:’#)/!所以)/"45!)/’45!可知四边形)/54是
#
平行四边形!,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.分
则)4"/5!且)43平面+/-!/54平面+/-!所以)4"平面+/-! ,,,,,%分
"##在平面+)/内过点/作/?垂直于)/!
因为平面+)/&平面)/-:!平面+)/5平面)/-:’)/!/?
4平面+)/!
所以/?&平面)/-:!可得/?&)/!/?&/-!,,,,5分
且/-&)/!以/为原点!/)!/-!/? 所在直线分别为$!%!0
轴!建立如图所示的空间直角坐标系!
"%
设+)’+/’&!则/"$!$!$#!)"#!$!$#!:".!#!$#!+"!!$!槡&#(!#!4 !!!
#
槡&#(!# %%$ %%$ "% 槡&#(!#
!可得/)’"#!$!$#!/4’ !!! !,,,,,,,,,,,,,"分
# # #
%%$
-#&/)’#$’$!
设平面)/4的法向量为#’"$!%!0#!则,
%%$ % 槡&#(!
#&/4’ $/%/ 0’$!
. # #
槡&#(! " 槡&#(! #
取0’!!则$’$!%’( !可得#’ $!( !! !,,,,,,,,,!$分
# #
平面+)/的一个法向量为$’"$!!!$#! ,,,,,,,,,,,,,,,,,,!!分
设平面)/4与平面+)/所成的角为!!且!为锐角!
槡&#(!
(
##&$# # 槡0
则:;<!’#:;<-#!$.#’ ’ ’ !解得&’)! ,,,,,,!)分
####$# &#(! )
槡 /!4!
.
%%$
又/:’".!#!$#!则平面)/4的法向量为#’"$!(槡#!!#!
%%$
#/:&## #槡0
所以点:到平面)/4的距离6’ ’ !,,,,,,,,,,,,,!%分
### )
!"!解析#"!#8+):-是以)-为斜边的等腰直角三角形!4为)-的中点!9:4&)-!,
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,#分
又平面)/-&平面):-!平面)/-5平面):-’)-!
9:4&平面)/-!,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.分
!高二数学"参考答案!第!!!!%页#共"页$%
!"#$%&’#’卷$又/44平面)/-!9:4&/4!,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,%分
"##8/)’/-!9/4&)-!由"!#知/4&:4!)-&:4!以4)!
4/!4:所在的直线分别为$轴/%轴/0轴建立空间直角坐标系!如
图所示!
"法一#
)"!!$!$#!/"$!!!$#!-"(!!$!$#!:"$!$!!#!设5"$!%!0#!
%%$ %%$ %%$
45’"$!%!0#!/5’"$!%(!!0#!/)’"!!(!!$#!
%%$ %%$
/:’"$!(!!!#!/-’"(!!(!!$#!
设平面)/:的法向量为$’"$!%!0#!
! ! ! !
%%$
+$
!
&/)’$! +$
!
(%
!
’$!
由 得 令%’!!则$’"!!!!!#!,,,,,,,,,,5分
%%$ ! !
$&/:’$! (%/0’$!
! ! !
同理可得平面/:-的一个法向量为$’"(!!!!!#! ,,,,,,,,,,,,,"分
#
845"平面)/:!/54平面/:-!
- !
%%$ $’( !
+45&$ ! ’$! +$/%/0’$! # " ! ! #
9 即 得, 95 ( ! (0!0 !
/ %% 5 $ &$’$! ($/%(!/0’$! ! # #
# %’ (0!
. #
- !
$(0( ! ! %%$ " ! ! #
又, # 得$(0( !9/5’ ( !( (0!0 !,,,,,,,,,,,,!$分
# # #
.$(0(!!
又/4&)-!/4&:4!)-5:4’4!且)-!:44平面):-!
9/4&平面):-!9$’"$!!!$#是平面):-的一个法向量!,,,,,,,,,!!分
)
!
/0
%%$ #
则<=,!’#:;<-/5&$.#’ !
)
! "! ##
槡/ /0 /0#
. #
! (! ) 槡# 槡#
令8’ /0* !! !<=,!’ ’ ! ,,,,,,,,!)分
# # # ! "! ##
槡.( / 槡 (! /)
8 8# 8
! "! ## (槡# 槡0)
8 *(!!#)!9槡 (! /)*(槡)!#)!<=,!* ! !,,,,,,,,,,!0分
8 8 # )
(槡# 槡0)
即<=,!的取值范围为 ! !,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,!5分
# )
"法二#
由几何思维确定5点的运动轨迹!取-:的中点2!-/的中点1!连接12!14!24"图
略#!812"/:!14")/!12514’1!)/5/:’/!平面124"平面)/:!且45
4平面124!945"平面)/:!9点5在线段12上运动!,,,,,,,,,,"分
!高二数学"参考答案!第!!!!0页#共"页$%
!"#$%&’#’卷$%%$ %%$ %%$ %%$ %%$ " ! " ! "#
设25’"21""*($!!)#!/5’/2/25’ ( ! (!! ( !,,,,,,!$分
# # # #
%%$
9$ ’ "$!!!$#是 平 面 ):- 的 一 个 法 向 量!9<=,!’#:;<-/5!$ .#’
) )
"
(!
# #(" "#(."/. 槡# !("
’ ’槡 ’ 槡!/ !"
! "" ## "!("## 槡#"#(0"/0 #"#(0"/0 # "#()"/)
槡!4槡/ (! /
. # #
*($!!)!,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,!)分
槡# 槡# 3
当"’!时!<=,!’ !当"’!时!令!("’3"3*"$!!)#!<=,!’ 槡!/ ’
# # 3#/3/!
槡# !
!/ !,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,!.分
# !
槡3/ /!
3
槡# ! " #槡)) (槡# 槡0)
83*"$!!)!9 !/ * !! !9<=,!* ! !,,,,,,,,!5分
# ! ) # )
槡3/ /!
3
( 槡#
!3!解析#"!#因为@’ ’ !所以不妨设&’#8!’’(’槡#8"8/$#!
& #
! ’# 8
当)5&$轴时!#A+#’ #)5#’ ’ !,,,,,,,,,,,,,,,,,!分
! # ! #& #
8# ) )槡# 槡#
此时#5+#’槡 /#8#’ 8’ !得8’ !,,,,,,,,,,,,,,)分
! . # . #
$#
故&’槡#!’’(’!!椭圆-’ /%#’!!,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.分
#
"##延长)5 交-于点:"图略#!易知点:与点/关于原点对称!
!
$/!
设)"$!%#!5"(!!$#!5 "!!$#!所以" ’$’ $ %(!!联立" 及-的方程!得
$ $ ! # )5! % )5!
$
% )$/.
"#$/)#%#(#"$ /!#%%(%#’$!由韦达定理得% ’( $ !$ ’( $ !即
$ $ $ $ : #$/) : #$/)
$ $
: " ( )$ $ /. !( % $ # !/ ")$ $ /. ! % $ # !,,,,,,,,,,,,,,,,0分
#$/) #$/) #$/)#$/)
$ $ $ $
$(! %$/5
" ’$’ $ %/!!" ’$’ $ %(!!
)5# % /5! %
$ $
联立" 及" 的方程!得+ ")$ $ /) ! % $ # !,,,,,,,,,,,,,,,5分
)5# /5! #$/.#$/.
$ $
")$ $ /) ## " % $ ## ")$ $ /) ## " % $ ##
#+5 #/#+5 #’槡 /! / /槡 (! / ’
! # #$/. #$/. #$/. #$/.
$ $ $ $
5槡# 槡#
$/%槡# 槡#( $
# $ # $ )槡#
/ ’ !
#$/. #$/. #
$ $
!高二数学"参考答案!第!!!!5页#共"页$%
!"#$%&’#’卷$所以#+5#/#+5#为定值!,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,3分
! #
)槡# )槡#
")#由"##可知!$为以5!5 为焦点!以#&’ 为长轴长的半椭圆!因此!&’ !’’
! # # .
槡# $# !
!(’!!所以$’ /%#’ "%1$#! ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,!!分
. 3 "
设1"$!%#!2"$!%#!
! ! # #
3
联立"及$的方程得"3##/!#$#/!"#8$/38#( ’$!
"
3
38#(
!"#8 "
则$/$’( !$$’ ! ,,,,,,,,,,,,,,,,,,!)分
! # 3##/! ! # 3##/!
! #8# #8# #8#
= ’ #$% ($%#’ #$ ($#’ 槡"$/$##(.$$ ’ &
+A12 # ! # # ! # ! # # ! # ! # #
"! 3 3 ! "3 ! #
槡##/ ()08# #8#槡##/ (8# 8#/ ##/ (8#
# # " " " " )
’) ()& ’ !,,!0分
3##/! 3##/! #"3##/!# !0
3 ! ’#
当且仅当#8#’ ##/ 时!等号成立!"即# &# ’( 或者1!2恰为椭圆长轴和短
" " A1 A2 &#
轴的端点时!等号成立#
)
故+A12面积的最大值为 ! ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,!5分
!0
!高二数学"参考答案!第!!!!"页#共"页$%
