2005年江苏高考数学真题及答案_数学高考真题试卷_旧1990-2007·高考数学真题_1990-2007·高考数学真题·PDF_江苏

2005 年江苏高考数学真题及答案 第一卷（选择题共60分） 参考公式： 三角函数的和差化积公式     sinsin2sin cos sinsin2cos sin 2 2 2 2     coscos2cos cos coscos2sin sin 2 2 2 2 若事件A在一次试验中发生的概率是p，则它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概 Ck pk(1 p)nk 率Pn（k）= n 1 S2  [(x x)2 (x x)2  (x x)2] 一组数据 x 1 ,x 2 ,  ,x n的方差 n 1 2  n x 其中 为这组数据的平均值 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题意要求的。 (A B) C  1．设集合A={1，2}，B={1，2，3}，C={2，3，4}则   （ ） A．{1，2，3} B．{1，2，4} C．{2，3，4} D．{1，2，3，4} y  x1x 3(xR) 2．函数 的反函数的解析表达式为 （ ） 2 x3 y log y log A． 2 x3 B． 2 2 3x 2 y log y log C． 2 2 D． 2 3x {a } a 3 a a a  3．在各项都为正数的等比数列 n 中，首项 1 ，前三项和为21，则 3 4 5 （ ） A．33 B．72 C．84 D．189 4．在正三棱柱中ABC—A1B1C1，若AB=2，AA1=1，则点A到平面A1BC的距离为（ ） 3 3 3 3 4 2 4 3 A． B． C． D．  ABC中,A ,BC 3,则ABC 3 5． 的周长为 （ ）   4 3sin(B )3 4 3sin(B )3 3 6 A． B． 第1页 | 共9页  6sin(B )3 6sin(B )3 3 6 C． D． y  4x2 6．抛物线 上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是 （ ） 17 15 7 16 16 8 A． B． C． D．0 7．在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4 8.4 9.4 9.9 9.6 9.4 9.7去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为 （ ） A．9.4，0.484 B．9.4，0.016 C．9.5，0.04 D．9.5，0.016 ,, l,m,n 8．设 为两两不重合的平面， 为两两不重合的直线，给出下列四个命题： ,,则// ①若 ； m,n,m//,n//,则// ②若 ； //,l ,则l// ③若 ；  l,  m,  n,l//,则m//n. ④若    其中真命题的个数是 （ ） A．1 B．2 C．3 D．4 k 1,2,3,4,5,则(x2)5 xk 9．设 的展开式中 的系数不可能是 （ ） A．10 B．40 C．50 D．80  1 2 sin( )  ,则cos( 2)  6 3 3 10．若 （ ） 7 1 1 7   9 3 3 9 A． B． C． D． x2 y2  1(a b0) 11．点P（－3，1）在椭圆a2 b2 的左准线上. 过点P且方向为a=（2，－ 5） y  2 的光线，经直线 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为 （ ） 3 1 2 1 3 3 2 2 A． B． C． D． 12．四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一 仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱多代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打 第2页 | 共9页算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法 种数为 （ ） A．96 B．48 C．24 D．0 第二卷（非选择题共90分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在答题卡相应位置. a b,则2a  2b 1 13．命题“若 ”的否命题为 . y  x3  x1 14．曲线 在点（1，3）处的切线方程是 . y  log (4x2 3x) 15．函数 0.5 的定义域为 . 3a 0.618,a[k,k 1),则k  16．函数 . f(x)  x2 4x3, f(axb)  x2 10x24,则5ab  17．已知a，b为常数，若 . 18．在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM=2，则OA（OB+OC）的最小值是 . 三、解答题：本大小题共5小题，共66分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19．（本小题满分12分） 如图,圆O1与圆O2的半径都是1,O1O2=4,过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、 PM  2PN PN（M、N为切点），使得 试建立适当的坐标系，并求动点 P的轨迹方程. 20．(本小题满分12分，每小问满分4分) 2 3 和 3 4 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是 .假设两人射击是否击中目 标，相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响. (Ⅰ)求甲射击4次,至少1次未击中目标的概率; (Ⅱ)求两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率; (Ⅲ)假设某人连续2次未击中目标,则停止射击.问:乙恰好射击5次后,被中止射击的概率 是多少? 21． (本小题满分14分，第一小问满分6分,第二、第三小问满分各4分) 如图，在五棱锥S—ABCDE中，SA⊥底面ABCDE， 3 120 SA=AB=AE=2，BC=DE= ，∠BAE=∠BCD=∠CDE= . 第3页 | 共9页(Ⅰ)求异面直线CD与SB所成的角(用反三角函数值表示); (Ⅱ)证明BC⊥平面SAB (Ⅲ)用反三角函数值表示二面角B-SC-D的大小(本小问不必写出解答过程) 22． (本小题满分14分，第一小问满分4分,第二小问满分10分) aR f(x)  x2 | xa|. 已知 ，函数 (Ⅰ)当a=2时,求f(x)=x使成立的x的集合; (Ⅱ)求函数y=f(x)在区间[1,2]上的最小值. 23． (本小题满分14分，第一小问满分2分, 第二、第三小问满分各6分) S (5n8)S (5n2)S 设数列｛an｝的前n项和为 n,已知a1=1, a2=6, a3=11,且 n1 n  AnB,n 1,2,3, ,  其中A，B为常数. (Ⅰ)求A与B的值; (Ⅱ)证明数列｛an｝为等差数列; 5a  a a 1 (Ⅲ)证明不等式 mn m n 对任何正整数m、n都成立. 参考答案 一、选择题：本题考查基本概念和基本运算，每小题5分，满分60分。 1.D 2.A 3.C 4.B 5.D 6.B 7.D 8.B 9.C 10.A 11.A 12.B 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分24。 a b,则2a  2b 1 4x y10 13．若 14． 1 3 [ ,0)( ,1] 4 4 15． 16．－1 17．2 18．－2 三、解答题： 19．本小题主要考查求轨迹方程的方法及基本运算能力。满分12分。 解：以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴，线段O1O2的垂直平分线为y轴， 建立如图所示的平面直角坐标系，则O1（－2，0），O2（2，0）。 第4页 | 共9页2PN,得PM2  2PN2 由已知PM= ， 因为两圆的半径均为1，所以 P(x,y),则 PO12－1=2（PO22－1）， 设 (x2)2  y2 1 2[(x2)2  y2 1] ， (x6)2  y2 33, 即 所以所求轨迹方程为 (x6)2  y2 33.(或x2  y2 12x30) 20．本小题主要考查相互独立事件同时发生或互斥事件有一个发生的概率的计算方法，考查 运用概率知识解决实际问题的能力。满分12分. 解：（Ⅰ）记“甲连续射击4次至少有1次未击中目标”为事件A1，由题意，射击4次， 2 65 P(A ) 1P(A ) 1( )4  1 1 3 81 相当于4次独立重复试验，故 65 . 81 答：甲连续射击4次至少有1次未击中目标的概率为 （Ⅱ）记“甲射击4次，恰有2次击中目标”为事件A2，“乙射击4次，恰有3次击中 2 2 8 P(A ) C2 ( )2 (1 )42  . 2 4 3 3 27 目标”为事件B2，则 3 3 27 P(B ) C2 ( )2 (1 )42  . 2 4 4 4 64 8 27 1 P(A B )  P(A )P(B )    . 1 2 2 2 27 64 8 由于甲、乙射击相互独立，故 1 8 答：两人各射击4次，甲恰有2次击中目标乙恰有3次击中目标的概率为 。 （Ⅲ）记“乙恰好射击5次后被中止射击”为事件A3,“乙第i次射击未击中”为事件Di） 1 A  D D D (D D ),且P(D )  3 5 4 3 2 1 i 4 （i=1，2，3，4，5），则 ，由于各事件相互独立，故 P(A )  P(D )P(D )P(D )(D D ) 3 5 4 3 2 1 1 1 3 1 1 45    (1  )  . 4 4 4 4 4 1024 45 . 1024 答：乙恰好射击5次后被中止射击的概率为 21．本小题主要考查异面直线所成角、线面垂直、二面角等基础知识以及空间线面位置关系 第5页 | 共9页的证明、角和距离的计算，考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力，满分14分。 解：（Ⅰ）连结BE，延长BC、ED交于点F， 则∠DCF=∠CDF=60°， ∴△CDF为正三角形，∴CF=DF. 又BC=DE，∴BF=EF， 因此，△BFE为正三角形， ∴∠FBE=∠FCD=60°， ∴BE//CD，所以∠SBE（或其补角）就是 异面直线CD与SB所成的角。 ∵SA⊥底面ABCDE，且SA=AB=AE=2， 2 2,同理SE  2 2. ∴SB= 6 cosSBE  , 2 3 4 又∠BAE=120°，所以BE= ，从而 6 arccos . 4 ∴∠SBE= 6 arccos . 4 所以异面直线CD与SB所成的角为 （Ⅱ）由题意，△ABE是等腰三角形，∠BAE=120° 所以∠ABE=30°，又∠FBE=60°. ∴∠ABC=90°，所以BC⊥BA. ∵SA⊥底面ABCDE，BC底面ABCDE， ∴SA⊥BC，又SA∩BA=A ∴BC⊥平面SAB. 7 82 arccos . 82 （Ⅲ）二面角B—SC—D的大小为 向量解法 （Ⅰ）连结BE，延长BC、ED交于点F，则∠DCF=∠CDF=60° ∴△CDF为正三角形，∴CF=DE，又BC=E，∴BF=EF。 故△BFE为正三角形， BAE 120,ABC 90 因为△ABE是等腰三角形，且 . 以A为原点，AB、AS边所在的直线分别为x轴、z轴，以平面ABC内垂直于AB的直 线为y轴，建立空间直角坐标系（如图），则 1 3 3 A(0,0,0),B(2,0,0),S(0,0,2),且C(2, 3,0),D( , ,0), 2 2 3 3 CD ( , ,0),BS (2,0,2) 2 2 于是 ，则 第6页 | 共9页CDBS 3 6 cos(CD,BS)    , |CD|| BS | 32 2 4 6 (CD,BS) arccos , 4 6 arccos . 4 ∴异面直线CD与SB所成的角为 BC (0, 3,0),AB (2,0,0),SA(0,0,2), （Ⅱ） BCAB (0,3,0)(2,0,0) 0,BCSA(0,3,0)(0,0,2) 0, BC  AB,BC  SA. AB SA A,BC 平面SAB.   7 82 arccos . 82 （Ⅲ）二面角B—SC—D的大小为 22．本小题主要考查运用导数研究函数性质的方法，考查分数讨论的数学思想和分析推理能 力.满分14分. f(x)  x2 | x2|. 解：（Ⅰ）由题意， x  2时, f(x)  x2(2x)  x, x 0或x 1; 当 解得 x  2时, f(x)  x2(x2)  x,解得x 1 2 当 . {0,1,1 2}. 综上，所求解集为 （Ⅱ）设此最小值为m. a 1时,在区间[1,2]上, f(x)  x3 ax2. ①当 2 f (x) 3x2 2ax 3x(x a) 0,x(1,2), 3 因为 f(x) m  f(1) 1a. 则 是区间[1，2]上的增函数，所以 1 a  2时,在区间[1,2]上, f(x)  x2 | xa|0,由f(a) 0 m  f(a) 0. ②当 知 2 a  2时,在区间[1,2]上, f(x)  ax2 x3, f (x)  2ax3x2 3x( ax). 3 ③当 a 3,在区间(1,2)内f (x) 0,从而f(x)为区间[1,2] 若 上的增函数， 第7页 | 共9页2 2 a 3,则1 a  2. m  f(1)  a1. 3 由此得 若 2 2 1 x  a时, f (x) 0,从而f(x)为区间[1, a] 3 3 当 上的增函数； 2 2 a  x  2时, f (x)0,从而f(x)为区间[ a,2] 3 3 当 上的减函数. 2 a 3时,m  f(1)  a1或m  f(2)4(a2), 因此，当 7 2 a  时,4(a2) a1,故m  4(a2) 3 当 ； 7  a 3时,a1 4(a2),故m  a1 3 当 1a, 当a 1时  0, 当1 a  2时   7 m  4(a2) 当2 a  时  3  7 a1, 当a  时  3 综上所述，所求函数的最小值 23．本小题主要考查等差数列的有关知识、不等式的证明方法，考查思维能力、运算能力. 满分14分. S  a 1,S  a a 7,S  a a a 18. 解：（Ⅰ）由已知，得 1 1 2 1 2 3 1 2 3 (5n8)S (5n2)S  AnB 由 n1 n 知 3S 7S  AB, AB  28, 2 1 即    2S 12S  2AB, 2AB  48. 3 2 解得A=－20，B=－8. 解得 5(n8)S (5n2)S  20n8, （Ⅱ）方法1 由（Ⅰ）得， n1 n ① (5n3)S (5n7)S  20n28. 所以 n2 n1 ② (5n3)S (10n1)S (5n2)S  20. ②－①，得 n2 n1 n ③ (5n2)S (10n9)S (5n7)S  20. 所以 n3 n2 n1 ④ (5n2)S (15n6)S (15n6)S (5n2)S 0. ④－③，得 n3 n2 n1 n 第8页 | 共9页a  S S (5n2)a (10n4)a (5n2)a 0. 因为 n1 n1 n 所以 n3 n2 n1 5n2 0,所以a 2a a 0, a a  a a .n1 又因为 n3 n2 n1 即 n3 n2 n2 n1 a a a a 5 {a } 又 3 2 2 1 所以数列 n 为等差数列. 方法2 S  a 1,又(5n8)S (5n2)S  20n8.且5n8 0, 由已知， 1 1 n1 n {S } {a } 所以数列 n 是惟一确定的，因而数列 n 是惟一确定的. n(5n3) T  . b 5n4, {b } n 2 设 n 则数列 n 为等差数列，前n项和 (n1)(5n2) n(5n3) (5n8)T (5n2)T (5n8) (5n2) n1 n 2 2 于是 b  a {a } 由惟一性得 n n，即数列 n 为等差数列. a 15(n1) 5n4. （Ⅲ）由（Ⅱ）可知 n 5a  n a 1 5a 1a a 2 a a 要证 mn m n 只要证 mn m n m n a 5mn4,a a (5m4)(5n4)  25mn20(mn)16, 因为 mn m n 5(5mn4) 125mn20(mn)162 a a , 故只要证 m n 20m20n37  2 a a . 即只要证 m n 2 a a  a a 5m5n85m5n8(15m15n29) 因为 m n m n  20m20n37. 所以命题得证. 第9页 | 共9页