2005年湖南高考理科数学真题及答案_数学高考真题试卷_旧1990-2007·高考数学真题_1990-2007·高考数学真题·PDF_湖南

2005 年湖南高考理科数学真题及答案 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择）题两部分，满分150分.考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本大题共10小，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1．复数z＝i＋i2＋i3＋i4的值是 （ ） A．－1 B．0 C．1 D．i 2．函数f(x)＝ 12x 的定义域是 （ ） A．(－∞，0] B．[0，＋∞) C．（－∞，0） D．（－∞，＋∞） 3．已知数列{log(a－1)}（n∈N*）为等差数列，且a＝3，a＝5，则 2 n 1 2 1 1 1 lim (    = （ ） n a a a a  a a 2 1 3 2 n1 n 3 1 A．2 B． C．1 D． 2 2 x20,  4、已知点P（x，y）在不等式组y10, 表示的平面区域内，则z＝x－y的取值  x2y20  范围是 （ ） A、[－2，－1] B、[－2，1] C、[－1，2] D、[1，2] D 1 C 1 O 5、如图，正方体ABCD－ABCD 的棱长为1，O是底面 1 1 1 1 A 1 A 1 B 1 C 1 D 1 的中心，则O到平面AB C 1 D 1 的距离为 （ ） A1 B 1 1 2 2 3 D C A、 B、 C、 D、 2 4 2 2 A A1 B A1 A1 A1 6．设f(x)＝sinx，f(x)＝f′(x)，f(x)＝f′(x)，…，f (x)＝f′(x)，n∈N，则f (x) 0 1 0 2 1 n＋1 n 2005 ＝（ ） A．sinx B．－sinx C．cosx D．－cosx x2 y2 7．已知双曲线 － ＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于点A，△ a2 b2 a2 OAF的面积为 （O为原点），则两条渐近线的夹角为 （ ） 2 A．30º B．45º C．60º D．90º 第1页 | 共10页x1 8．集合A＝｛x| ＜0＝，B＝｛x || x -b|＜a}，若“a＝1”是“A∩B≠”的充分条 x1 件， 则b的取值范围是 （ ） A．－2≤b＜0 B．0＜b≤2 C．－3＜b＜－1 D．－1≤b＜2 9．4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲．乙两道题中任选一 题作答，选甲题答对得100分，答错得－100分；选乙题答对得90分，答错得－90分. 若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况的种数是 （ ） A．48 B．36 C．24 D．18 S S 10．设P是△ABC内任意一点，S 表示△ABC的面积，λ＝ PBC ， λ＝ PCA ， △ABC 1 2 S S ABc ABC S 1 1 1 λ＝ PAB ，定义f(P)=(λ, λ, λ),若G是△ABC的重心，f(Q)＝（ ， ， ）， 3 1 3 S 2 3 6 ABC 则 （ ） A．点Q在△GAB内 B．点Q在△GBC内 C．点Q在△GCA内 D．点Q与点G重合 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分（第15小题每空2分），共20分，把答案填在 答题卡中对应题号后的横线上. 11．一工厂生产了某种产品16800件，它们来自甲．乙．丙3条生产线，为检查这批产品的 质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样，已知甲．乙．丙三条生产线抽取的个体数组 成一个等差数列，则乙生产线生产了 件产品. 12．在（1＋x）＋（1＋x）2＋……＋（1＋x）6的展开式中，x 2项的系数是 .（用 数字作答） 13．已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝1相交于A、B两点，且|AB|＝ 3，则OAOB ＝ . 14．设函数f(x)的图象关于点（1，2）对称，且存在反函数f－1(x)，f (4)＝0，则f－1(4) ＝ . 15．设函数f (x)的图象与直线x =a，x =b及x轴所围成图形的面积称为函数f(x)在[a，b]  2 上的面积，已知函数y＝sinnx在[0， ]上的面积为 （n∈N*），（i）y＝sin3x在[0, n n 第2页 | 共10页2  4 ]上的面积为 ；（ii）y＝sin（3x－π）＋1 在[ ， ]上的面积 3 3 3 为 . 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分） 已知在△ABC中，sinA（sinB＋cosB）－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0，求角A、B、C的 大小. 17、（本题满分12分） 如图1，已知ABCD是上、下底边长分别为2和6，高为 3的等腰梯形，将它沿对称轴 OO 折成直二面角，如图2。 1 （Ⅰ）证明：AC⊥BO； 1 （Ⅱ）求二面角O－AC－O 的大小。 1 O 1 C D O 1 C D O B A O B A 18．（本小题满分14分） 某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4，0.5， 0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有 游览的景点数之差的绝对值. （Ⅰ）求ξ的分布及数学期望； （Ⅱ）记“函数f(x)＝x2－3ξx＋1在区间[2，＋∞)上单调递增”为事件A，求事件 A的概率. 19．（本小题满分14分） x2 y2 已知椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）的左．右焦点为F、F，离心率为e. 直线 a2 b2 1 2 l：y＝ex＋a与x轴．y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F 1 关于直线l的对称点，设AM ＝λAB. （Ⅰ）证明：λ＝1－e2； （Ⅱ）确定λ的值，使得△PFF 是等腰三角形. 1 2 第3页 | 共10页20．（本小题满分14分） 自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能 力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用x表示某鱼群在第n年年初的总量，n∈N*，且x＞0.不 n 1 考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与x成正比，死亡量与x2成正比， n n 这些比例系数依次为正常数a，b，c. （Ⅰ）求x 与x的关系式； n+1 n （Ⅱ）猜测：当且仅当x，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？ 1 （不 要求证明） （Ⅱ）设a＝2，b＝1，为保证对任意x∈（0,2），都有x＞0，n∈N*，则捕捞强度b的 1 n 最大允许值是多少？证明你的结论. 21．（本小题满分14分） 1 已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝ ax2＋bx，a≠0. 2 （Ⅰ）若b＝2，且h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围； （Ⅱ）设函数f(x)的图象C 与函数g(x)图象C 交于点P、Q，过线段PQ的中点作x轴的 1 2 垂线分别交C，C 于点M、N，证明C 在点M处的切线与C 在点N处的切线不平行. 1 2 1 2 参考答案 一、选择题：1—5：BACCB 6—10： CDDBA 二、填空题： 1 4 2 11．5600 12．35 13． 14．－2 15． ， 2 3 3 三、解答题： 16．解法一 由sin A(sinBcosB)sinC 0 得sin AsinBsin AcosBsin(AB) 0. 所以sin AsinBsin AcosBsin AcosBcosAsinB 0. 即sinB(sinAcosA) 0. 因为B(0,),所以sinB  0，从而cosAsin A.  3 由A(0,),知A . 从而BC  . 4 4 3 由sinBcos2C 0得sinBcos2( B) 0. 4 第4页 | 共10页即sinBsin2B 0.亦即sinB2sinBcosB 0. 1  5   5 由此得cosB  ,B  ,C  .所以A , B  ,C  . 2 3 12 4 3 12 3 解法二：由sinBcos2C 0得sinB  cos2C sin( 2C). 2 3  由0 B、c ，所以B  2C或B  2C  . 2 2 3  即B2C  或2C B  . 2 2 由sin A(sinBcosB)sinC 0得 sin AsinBsin AcosBsin(AB) 0. 所以sin AsinBsin AcosBsin AcosBcosAsinB 0. 即sinB(sinAcosA) 0. 因为sinB  0，所以cosAsin A.  3 3 由A(0,),知A .从而BC  ，知B+2C= 不合要求. 4 4 2 1  5   5 再由2C B  ，得B  ,C  . 所以A , B  ,C  . 2 3 12 4 3 12 17．解法一（I）证明 由题设知OA⊥OO，OB⊥OO. 1 1 z 所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角， O 1 C 即OA⊥OB. 故可以O为原点，OA、OB、OO 1 所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， D 如图3，则相关各点的坐标是A（3，0，0）， B（0，3，0），C（0，1， 3） O B y O（0，0， 3）. x A 1 图3 从而AC (3,1, 3),BO (0,3, 3),ACBO  3 3 3 0. 1 1 所以AC⊥BO. 1 （II）解：因为BO OC  3 3 3 0,所以BO⊥OC， 1 1 由（I）AC⊥BO，所以BO⊥平面OAC，BO 是平面OAC的一个法向量. 1 1 1 设n (x,y,z)是0平面OAC的一个法向量， 1 由 nAC 0 3x y 3z 0, 得n (1,0, 3).   取z  3, nOC 0 y0. 1 设二面角O—AC—O 的大小为，由n、BO 的方向可知 n，BO >， 1 1 1 第5页 | 共10页所以coscos n，BO >= nBO 1  3 . 1 |n||BO | 4 1 O 1 C 3 即二面角O—AC—O 的大小是arccos . D 1 4 解法二（I）证明 由题设知OA⊥OO，OB⊥OO， 1 1 O B 所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角， 即OA⊥OB. 从而AO⊥平面OBCO， 1 A OC是AC在面OBCO 内的射影. 图4 1 因为 tanOO B OB  3 tanOOC  O 1 C  3 ， 1 OO 1 OO 3 1 1 所以∠OOB=60°，∠OOC=30°，从而OC⊥BO 1 1 1 由三垂线定理得AC⊥BO. 1 （II）解 由（I）AC⊥BO，OC⊥BO，知BO⊥平面AOC. 1 1 1 设OC∩OB=E，过点E作EF⊥AC于F，连结OF（如图4），则EF是OF在平面AOC 1 1 1 内的射影，由三垂线定理得OF⊥AC. 1 所以∠OFE是二面角O—AC—O 的平面角. 1 1 由题设知OA=3，OO= 3，OC=1， 1 1 所以O A OA2 OO2  2 3,AC  O A2 OC2  13， 1 1 1 1 O AOC 2 3 3 从而O F  1 1  ， 又OE=OO·sin30°= ， 1 AC 13 1 1 2 O E 13 3 所以sinO FE  1  . 即二面角O—AC—O 的大小是arcsin . 1 O F 4 1 4 1 18．解：（I）分别记“客人游览甲景点”，“客人游览乙景点”，“客人游览丙景点” 为事件A，A，A. 由已知A，A，A 相互独立，P（A）=0.4，P（A）=0.5， 1 2 3 1 2 3 1 2 P（A）=0.6. 3 客人游览的景点数的可能取值为0，1，2，3. 相应地，客人没有游览的景点数的可能取 值为3，2，1，0，所以的可能取值为1，3. P（=3）=P（A·A·A）+ P（A A A ） 1 2 3 1 2 3 = P（A）P（A）P（A）+P（A )P(A )P(A )） 1 2 3 1 2 3 =2×0.4×0.5×0.6=0.24， P（=1）=1－0.24=0.76.  1 3 所以的分布列为 P 0.76 0.24 E=1×0.76+3×0.24=1.48. 第6页 | 共10页3 9 （Ⅱ）解法一 因为 f(x) (x )2 1 2, 2 4 3 所以函数 f(x)  x2 3x1在区间[ ,)上单调递增， 2 3 4 要使 f(x)在[2,)上单调递增，当且仅当  2,即 . 2 3 4 从而P(A)  P( )  P(1) 0.76. 3 解法二：的可能取值为1，3. 当=1时，函数 f(x)  x2 3x1在区间[2,)上单调递增， 当=3时，函数 f(x)  x2 9x1在区间[2,)上不单调递增.0 所以P(A)  P(1) 0.76. 19．（Ⅰ）证法一：因为A、B分别是直线l：y exa与x轴、y轴的交点，所以A、B的 y exa, x  c, a   坐标分别是( ,0),(0,a).由 x2 y2 得  b2 这里c  a2 b2 . e  1, y  .   a2 b2  c b2 a b2 a 所以点M的坐标是（c, ）. 由AM AB得(c , ) ( ,a). a e a e a a c   e e 即 解得1e2 b2  a   a 证法二：因为A、B分别是直线l：y exa与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标 a 分 别 是 ( ,0),(0,a).设 M 的 坐 标 是 e a a (x ,y ),由AM AB得(x  ,y ) ( ,a), 0 0 0 e 0 e  a x  (1) x2 y2 所以 0 e 因为点M在椭圆上，所以 0  0 1, a2 b2 y a.  0 a [ (1)]2 e (a)2 (1)2 2 即  1,所以  1. a2 b2 e2 1e2 e4 2(1)e2 (1)2 0, 解得e2 1 即1e2. 第7页 | 共10页（Ⅱ）解法一：因为PF⊥l，所以∠PFF=90°+∠BAF 为钝角，要使△PFF 为等腰三角 1 1 2 1 1 2 1 形，必有|PF|=|FF|，即 | PF |c. 1 1 2 2 1 1 |e(c)0a| |aec| 设点F 到l的距离为d，由 | PF | d   c, 1 2 1 1e2 1e2 1e2 1 2 得 e. 所以e2  ,于是1e2  . 1e2 3 3 2 即当 时,△PFF为等腰三角形. 1 2 3 解法二：因为PF⊥l，所以∠PFF=90°+∠BAF 为钝角，要使△PFF 为等腰三角形， 1 1 2 1 1 2 必有|PF|=|FF|， 1 1 2 设点P的坐标是(x ,y )， 0 0 y 0 1  e2 3 0   x  c,   x c e  0 e2 1 则 0 解得 y 0 x c  2(1e2)a 0 e 0 a. y  .   2 2   0 e2 1 (e2 3)c 2(1e2)a 由|PF|=|FF|得[ c]2 [ ]2  4c2, 1 1 2 e2 1 e2 1 (e2 1)2 1 两边同时除以4a2，化简得 e2. 从而e2  . e2 1 3 2 2 于是11e2  . 即当 时，△PFF 为等腰三角形. 1 2 3 3 20．解（I）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为ax，被捕捞量为bx，死亡量为 n n cx2,因此x x  ax bx cx2,nN*.(*) n n1 n n n n 即x  x (ab1cx ),nN*.(**) n1 n n （II）若每年年初鱼群总量保持不变，则x恒等于x， n∈N*，从而由（*）式得 n 1 ab x (abcx )恒等于0,nN*,所以abcx 0.即x  . n n 1 1 c 因为x>0，所以a>b. 1 ab 猜测：当且仅当a>b，且x  时，每年年初鱼群的总量保持不变. 1 c （Ⅲ）若b的值使得x>0，n∈N* n 由x =x(3－b－x), n∈N*, 知 n+1 n n 00. k+1 k k 又因为x =x(2－x)=－(x－1)2+1≤1<2, k+1 k k k 所以x ∈(0, 2)，故当n=k+1时结论也成立. k+1 由①、②可知，对于任意的n∈N*，都有x∈(0,2). n 综上所述，为保证对任意x∈(0, 2), 都有x>0， n∈N*，则捕捞强度b的最大允 1 n 许值是1. 1 21．解：（I）b  2时,h(x) lnx ax2 2x， 2 1 ax2 2x1 则h(x)  ax2   . x x 因为函数h(x)存在单调递减区间，所以h(x)<0有解. 又因为x>0时，则ax2+2x－1>0有x>0的解. ①当a>0时，y=ax2+2x－1为开口向上的抛物线，ax2+2x－1>0总有x>0的解； ②当a<0时，y=ax2+2x－1为开口向下的抛物线，而ax2+2x－1>0总有x>0的解； 则△=4+4a>0,且方程ax2+2x－1=0至少有一正根.此时，－1