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2005 年湖南高考理科数学真题及答案
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择）题两部分，满分150分.考试用时120分钟.
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共10小，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1．复数z＝i＋i2＋i3＋i4的值是
（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．i
2．函数f(x)＝ 的定义域是 （
）
A． －∞，0] B．[0，＋∞ C．（－∞，0） D．（－∞，＋∞）
3．已知数列{log(a－1)}（n∈N*）为等差数列，且a＝3，a＝5，则
2 n 1 2
= （
）
A．2 B． C．1 D．
4、已知点P（x，y）在不等式组 表示的平面区域内，则z
＝x－y的取值范围是 （ ）
A、[－2，－1] B、[－2，1] C、[－1，2] D、[1，2]
D 1 C 1
O
5、如图，正方体ABCD－ABCD 的棱长为1，O是底面
1 1 1 1 A
1
A 1 B 1 C 1 D 1 的中心，则O到平面AB C 1 D 1 的距离为 （ ） B
1
A、 B、 C、 D、 C
D
A B
6．设f(x)＝sinx，f(x)＝f′(x)，f(x)＝f′(x)，…，f (x)＝f′(x)，n∈N，则
0 1 0 2 1 n＋1 n
f (x)＝（ ）
2005
A．sinx B．－sinx C．cosx D．－cosx
7．已知双曲线 － ＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于点A，
△OAF的面积为 （O为原点），则两条渐近线的夹角为 （
）
A．30º B．45º C．60º D．90º
8．集合A＝｛x| ＜0＝，B＝｛x || x -b|＜a ，若“a＝1”是“A∩B≠ ”的充分
条件，
第1页 | 共9页则b的取值范围是 （
）
A．－2≤b＜0 B．0＜b≤2 C．－3＜b＜－1 D．－1≤b＜2
9．4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲．乙两道题中任选一
题作答，选甲题答对得100分，答错得－100分；选乙题答对得90分，答错得－90分.
若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况的种数是 （
）
A．48 B．36 C．24 D．18
10．设P是△ABC内任意一点，S 表示△ABC的面积，λ＝ ， λ＝ ，
△ABC 1 2
λ ＝ ，定义f(P)=(λ, λ, λ),若G是△ABC的重心，f(Q)＝（ ， ，
3 1 3
），则 （
）
A．点Q在△GAB内 B．点Q在△GBC内
C．点Q在△GCA内 D．点Q与点G重合
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分（第15小题每空2分），共20分，把答案填在
答题卡中对应题号后的横线上.
11．一工厂生产了某种产品16800件，它们来自甲．乙．丙3条生产线，为检查这批产品
的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样，已知甲．乙．丙三条生产线抽取的个体
数组成一个等差数列，则乙生产线生产了 件产品.
12．在（1＋x）＋（1＋x）2＋……＋（1＋x）6的展开式中，x 2项的系数是 .（用
数字作答）
13．已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝1相交于A、B两点，且|AB|＝ ，则
＝ .
14．设函数f(x)的图象关于点（1，2）对称，且存在反函数f－1(x)，f (4)＝0，则f－1(4)
＝ .
15．设函数f (x)的图象与直线x =a，x =b及x轴所围成图形的面积称为函数f(x)在[a，
b]上的面积，已知函数y＝sinnx在[0， ]上的面积为 （n∈N*），（i）y＝sin3x
第2页 | 共9页在[0, ]上的面积为 ；（ii）y＝sin（3x－π）＋1在[ ， ]上的面积为
.
三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16．（本小题满分12分）
已知在△ABC中，sinA（sinB＋cosB）－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0，求角A、B、C的
大小.
17、（本题满分12分）
如图1，已知ABCD是上、下底边长分别为2和6，高为 的等腰梯形，将它沿对称轴
OO 折成直二面角，如图2。
1
（Ⅰ）证明：AC⊥BO；
1
（Ⅱ）求二面角O－AC－O 的大小。
1
O
1 C
D O C
1
D
O B
A
O B
A
18．（本小题满分14分）
某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4，
0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数
与没有游览的景点数之差的绝对值.
（Ⅰ）求ξ的分布及数学期望；
（Ⅱ）记“函数f(x)＝x2－3ξx＋1在区间[2，＋∞ 上单调递增”为事件A，求事件
A的概率.
19．（本小题满分14分）
已知椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）的左．右焦点为F、F，离心率为e. 直线
1 2
l：y＝ex＋a与x轴．y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F
1
关于直线l的对称点，设 ＝λ .
（Ⅰ）证明：λ＝1－e2；
（Ⅱ）确定λ的值，使得△PFF 是等腰三角形.
1 2
20．（本小题满分14分）
第3页 | 共9页自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生
能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用x表示某鱼群在第n年年初的总量，n∈N*，且x＞
n 1
0.不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与x成正比，死亡量与x2成正
n n
比，这些比例系数依次为正常数a，b，c.
（Ⅰ）求x 与x的关系式；
n+1 n
（Ⅱ）猜测：当且仅当x，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？
1
（不
要求证明）
（Ⅱ）设a＝2，b＝1，为保证对任意x∈（0,2），都有x＞0，n∈N*，则捕捞强度b
1 n
的
最大允许值是多少？证明你的结论.
21．（本小题满分14分）
已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝ ax2＋bx，a≠0.
（Ⅰ）若b＝2，且h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；
（Ⅱ）设函数f(x)的图象C 与函数g(x)图象C 交于点P、Q，过线段PQ的中点作x轴
1 2
的垂线分别交C，C 于点M、N，证明C 在点M处的切线与C 在点N处的切线不平行.
1 2 1 2
参考答案
一、选择题：1—5：BACCB 6—10： CDDBA
二、填空题：
11．5600 12．35 13． 14．－2 15． ，
三、解答题：
16．解法一 由
得
所以
即
因为 所以 ，从而
由 知 从而 .
由
即
由此得 所以
解法二：由
第4页 | 共9页由 、 ，所以
即
由 得
所以
即 因为 ，所以
由 从而 ，知B+2C= 不合要求.
再由 ，得 所以
17．解法一（I）证明 由题设知OA⊥OO，OB⊥OO.
1 1 z
所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，
O
1 C
即OA⊥OB. 故可以O为原点，OA、OB、OO
1
所在直线分别为 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
D
如图3，则相关各点的坐标是A（3，0，0），
B（0，3，0），C（0，1， ）
O B y
O（0，0， ）.
1
图3
从而
x A
所以AC⊥BO.
1
（II）解：因为 所以BO⊥OC，
1
由（I）AC⊥BO，所以BO⊥平面OAC， 是平面OAC的一个法向量.
1 1
设 是0平面OAC的一个法向量，
1
由 得 .
设二面角O—AC—O 的大小为 ，由 、 的方向可知 ， >，
1
所以cos ， >=
O
1 C
即二面角O—AC—O 的大小是
1
D
解法二（I）证明 由题设知OA⊥OO，OB⊥OO，
1 1
所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，
O B
即OA⊥OB. 从而AO⊥平面OBCO，
1
OC是AC在面OBCO 内的射影.
图4
1 A
因为 ，
第5页 | 共9页所以∠OOB=60°，∠OOC=30°，从而OC⊥BO
1 1 1
由三垂线定理得AC⊥BO.
1
（II）解 由（I）AC⊥BO，OC⊥BO，知BO⊥平面AOC.
1 1 1
设OC∩OB=E，过点E作EF⊥AC于F，连结OF（如图4），则EF是OF在平面AOC
1 1 1
内的射影，由三垂线定理得OF⊥AC.
1
所以∠OFE是二面角O—AC—O 的平面角.
1 1
由题设知OA=3，OO= ，OC=1，
1 1
所以 ，
从而 ， 又OE=OO·sin30°= ，
1 1
所以 即二面角O—AC—O 的大小是
1
18．解：（I）分别记“客人游览甲景点”，“客人游览乙景点”，“客人游览丙景点”
为事件A，A，A. 由已知A，A，A 相互独立，P（A）=0.4，P（A）=0.5，
1 2 3 1 2 3 1 2
P（A）=0.6.
3
客人游览的景点数的可能取值为0，1，2，3. 相应地，客人没有游览的景点数的可能
取
值为3，2，1，0，所以 的可能取值为1，3.
P（ =3）=P（A·A·A）+ P（ ）
1 2 3
= P（A）P（A）P（A）+P（ ）
1 2 3
=2×0.4×0.5×0.6=0.24，
P（ =1）=1－0.24=0.76.
所以 的分布列为
1 3
E =1×0.76+3×0.24=1.48.
P 0.76 0.24
（Ⅱ）解法一 因为
所以函数 上单调递增，
要使 上单调递增，当且仅当
从而
解法二： 的可能取值为1，3.
当 =1时，函数 上单调递增，
当 =3时，函数 上不单调递增.0
所以
19．（Ⅰ）证法一：因为A、B分别是直线l： 与x轴、y轴的交点，所以A、B
第6页 | 共9页的坐标分别是 .
所以点M的坐标是（ ）. 由
即
证法二：因为A、B分别是直线l： 与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标
分 别 是 设 M 的 坐 标 是
所以 因为点M在椭圆上，所以
即
解得
（Ⅱ）解法一：因为PF⊥l，所以∠PFF=90°+∠BAF 为钝角，要使△PFF 为等腰三
1 1 2 1 1 2
角形，必有|PF|=|FF|，即
1 1 2
设点F 到l的距离为d，由
1
得 所以
即当 △PFF为等腰三角形.
1 2
解法二：因为PF⊥l，所以∠PFF=90°+∠BAF 为钝角，要使△PFF 为等腰三角形，
1 1 2 1 1 2
必有|PF|=|FF|，
1 1 2
设点P的坐标是 ，
则
由|PF|=|FF|得
1 1 2
两边同时除以4a2，化简得 从而
第7页 | 共9页于是 . 即当 时，△PFF 为等腰三角形.
1 2
20．解（I）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为ax，被捕捞量为bx，死亡量为
n n
（II）若每年年初鱼群总量保持不变，则x恒等于x， n∈N*，从而由（*）式得
n 1
因为x>0，所以a>b.
1
猜测：当且仅当a>b，且 时，每年年初鱼群的总量保持不变.
（Ⅲ）若b的值使得x>0，n∈N*
n
由x =x(3－b－x), n∈N*, 知
n+1 n n
00.
k+1 k k
又因为x =x(2－x)=－(x－1)2+1≤1<2,
k+1 k k k
所以x ∈(0, 2)，故当n=k+1时结论也成立.
k+1
由①、②可知，对于任意的n∈N*，都有x∈(0,2).
n
综上所述，为保证对任意x∈(0, 2), 都有x>0， n∈N*，则捕捞强度b的最大
1 n
允许值是1.
21．解：（I） ，
则
因为函数h(x)存在单调递减区间，所以 <0有解.
又因为x>0时，则ax2+2x－1>0有x>0的解.
①当a>0时，y=ax2+2x－1为开口向上的抛物线，ax2+2x－1>0总有x>0的解；
②当a<0时，y=ax2+2x－1为开口向下的抛物线，而ax2+2x－1>0总有x>0的解；
则△=4+4a>0,且方程ax2+2x－1=0至少有一正根.此时，－1
