文档内容
普通高中 2024—2025 学年（上）高二年级期末考试
数学（人教版）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级､考场号､座位号､考生号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 在等差数列 中， ，则 的公差 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用等差数列的等和性求出 ，即可求出公差.
【详解】由等差数列的性质可知， ，所以 ，
又 ，所以 .
故选：C.
2. 已知直线 经过点 ，且与直线 垂直，则直线 的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设直线 的方程为 ，代入点的坐标可求直线方程.【详解】由题意设直线 的方程为 ，将点 代入，得 ，所以直线 的方程为
.
故选：D.
3. 已知曲线 表示圆，则实数 的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二元二次方程表示圆可得答案.
【详解】若曲线 表示圆，
则由圆的一般方程可知， ，解得 或 .
故选：B.
4. 若直线 与 平行，则 与 之间的距离为（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】利用两直线平行确定 的值，再由两平行直线的距离公式计算即得.
【详解】直线 即 ，因 ，可得 ，
则直线 与 之间的距离为 .
故选：A.
5. 已知在正四面体 中， 为棱 的中点， 为 的重心，设 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量的线性运算可求得 .
【详解】因为 为 的重心，
所以 ，因为 为棱 的中点，
所以 ，
则 .
故选：C.
6. 已知函数 ，则 （ ）
A. 2 B. 1 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据导数的定义和导数的运算公式求解.
【详解】由导数的定义可知，
，
又 ，所以 ，所以 .
故选：B.
的
7. 在正四棱柱 中， 为棱 上 动点（不包含端点），则
与 所成角的余弦值的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，设 ，利用异面直线所成的角的夹角公式可得
，平方后利用换元法可求范围.
【详解】以 为坐标原点，以 ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角
坐标系，
则 ，设 ，故 ， ，
设 与 所成的角为 ，则 ，
所以 ，令 ，所以 ，故 .
故选：B.
8. 已知长为6的线段 的两端点 分别在 轴和 轴上，点 满足 ，则关于点 的轨迹，
下列说法正确的是（ ）
A. 点 的轨迹是焦点在 轴上的椭圆
B. 点 的轨迹是短轴长为1的椭圆
C. 点 的轨迹是离心率为 的椭圆
D. 点 的轨迹是长轴长为10的椭圆
【答案】D
【解析】
【分析】先设 ，点 ，则 ，
由 得， ，代入 ，化简得到轨迹方程，结合长短轴概念，离心率公式计
算判定即可.
【详解】设 ，则 ，
设点 ，则 ，
由 得， ，
所以 ，则 ，
代入 ，得 ，即 ，则 ，
所以 ， ，
所以点 的轨迹是焦点在 轴上的椭圆，短轴长为 ，
离心率为 ，长轴长为 ，故A，B，C错误，D正确.
故选：D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据导数的运算对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】因为 为常数，所以 0，A错误；
因为 ，B正确；
因为 ，C正确；
因为
，D正确.
故选：BCD
10. 记 为数列 的前 项和，已知 ，当 时， ，则下列
说法正确的是（ ）A.
B. 为递减数列
C.
D. 当 时， 取得最大值为15
【答案】AC
【解析】
【分析】利用给定的递推公式，结合 变形，再逐项计算判断即可.
【详解】对于A，由 ，得 ，
即 ，则 ，又 ，于是 ，A正确；
对于B，由 得，当 时， ，则 不为递减数列，B错误；
对于C，由 得，当 时，
， ，又 ，
累加得， ，
则 ，
则 ，当 时，代入上式均成立，则 ，C正
确；
对于D， ，D错误.
故选：AC
11. 如图，“倒 形”曲线 由两部分组成， 轴左侧部分曲线为 轴及其右侧部分曲线为 ，且 ，若P(x,y)为“倒 形”曲
线 上一动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 曲线 与 轴所围成区域的面积为
B. 曲线 的方程为
C. 的最大值为2
D. 若直线 与曲线 有四个交点，则实数 的取值范围为
【答案】BD
【解析】
【分析】化简曲线 的方程，确定轨迹形状，结合面积公式判断A，化简曲线 的方程可得
， ，结合条件求 ，由此判断B，结合曲线方程 的最大值不小于 ，判断C，
结合图象确定满足条件的直线 的临界位置，由此确定其范围，判断D.
【详解】曲线 0可化为 ，
表示以 为圆心，半径为1的两个半圆，
易得 与 轴所围成的区域的面积为 ，A错误；因为 ，曲线 ，
化为 ， ，表示右焦点为 的椭圆在 轴上及 轴右侧的部分，
由图可知， ，又 ，解得 ，
所以曲线 的方程为 ，B正确；
点 在曲线 上，该点到原点 的距离为 ，
所以曲线 上的动点 到原点的距离的最大值不小于 ，C错误；
由图可知，若直线 与曲线 有四个交点，
则直线 位于 和 之间（与 不重合），
其中 过原点， 是第二象限的半圆的切线，
当直线 与第二象限的半圆相切时， ，
解得 舍去），
所以实数 的取值范围为 ，D正确.
故选：BD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 曲线 在 处的切线的倾斜角为__________.
【答案】 （或 ）
【解析】
【分析】根据导数的几何意义求导即可求得斜率，可得倾斜角.
【详解】由题意得 ，
当 时，切线的斜率为1，故切线的倾斜角为 .
故答案为：
13. 在等比数列 中， ，则 __________.
【答案】4
【解析】
【分析】根据等比数列的性质若 ，则 ， ，结合条件求 ，由此
可得结论.
【详解】因为数列 为等比数列，
所以若 ，则 ， ，
所以 ， ，
所以 ，
所以 .
故答案为： .
14. 已知点 为双曲线 上一点， 分别为 的左，右焦点，
，且 的面积为2，若双曲线 的离心率为 ，则双曲线 的实轴长为__________.【答案】
【解析】
【分析】利用双曲线的定义得 ，再用勾股定理得到 ，结合离心率 ，
即可求出 即得.
【详解】不妨设点 为双曲线 右支上一点，则 ，
由 的面积为2得， . ，所以 ，
因为 ，则 ，即 ，
所以 ，又 ，所以 ，则 ，解得 ，
故双曲线 的实轴长为 .
故答案为： .
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 设 为正项等比数列 的前 项和，已知 ， .
（1）求数列 的公比 ；
（2）求数列 的通项公式；
（3）求数列 的前 项和 .
【答案】（1）
（2）（3）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件可得出关于 、 的方程组，即可解出 的值；
（2）求出 的值，代入等比数列的通项公式可求得数列 的通项公式；
（3）利用等比数列的求和公式可求得 的表达式.
【小问1详解】
因为数列 是正项等比数列，则 ，
由题意得， ，
整理得 ，即 ，
解得 或 （舍去）.
【小问2详解】
因为 ，所以 ，
故 .
【
小问3详解】
.
16. 已知圆 经过点 ，且与圆 相切于点 .（1）求圆心 的坐标；
的
（2）求圆 标准方程；
（3）过点 的直线 与圆 和圆 分别交于 轴上方的 两点，若 ，求直线 的方程.
【答案】（1）
（2）
（3） .
【解析】
【分析】（1）由配方得到标准方程即可；
（2）由两圆位置关系及圆心 在 轴上，列出等式求解即可；
（3）过 分别作 ， ，得到 ，再结合圆的性质得到
进而得到 ，再通过 中， ，即可求解；
【小问1详解】
由圆 配方得， ，
所以圆心 .
【小问2详解】
因为圆 经过点 ，且与圆 相切于点 ，
所以圆 与圆 内切，且圆心 在 轴上，
设圆心 ，圆 的半径为 ，
则 ，
解得故圆 的标准方程为 .
【小问3详解】
如图，过 分别作 ， ，垂足分别为 ，
因为 ，
所以 ，
由圆的性质可知， ， ，所以 ，
所以 ，
又 ，所以 ，
在圆 中，得 ，
在 中， ，则直线 的斜率为 ，
所以直线 的方程为 ，即 .
17. 如图， 为等腰直角三角形， 分别为 的中点，将
沿 折起，使点 至点 的位置，且 .（1）证明： ；
（2）求二面角 的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2） .
【解析】
【分析】（1）先证明 ，再利用线面垂直的判定定理证明 平面 ，从
而可证明 平面 ，进而可得结论；
（2）以点 为坐标原点，以 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系.求出
两平面的法向量，利用空间向量夹角余弦求解即可.
【小问1详解】
因为 分别为 的中点，所以 ，
又 ，所以 .
又 平面 ，所以 平面 .
因为 为等腰直角三角形， ，
所以 ，则 ，
连接 ，则 ，
又 ，所以 ，则 .又 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，则 .
【小问2详解】
的
以点 为坐标原点，以 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立如图所示 空间直角坐
标系.
则 ，
故 ，
设平面 的法向量为 ，由 得
取 ，则 .
设平面 的法向量为 ，
由 得 取 ，则 ，
于是 ，
故锐二面角 的余弦值为 .
18. 已知抛物线 ，过点 的直线与 交于 两点，设 为坐标原点，当
轴时， 的周长为 .（1）求抛物线 的焦点坐标；
（2）若点 为抛物线 上异于原点 的一动点，且直线 与直线 的交点 恒在定直线 上.
证明：过点 与抛物线 相切的直线平行于直线 .
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）取 ，计算可求得抛物线 的焦点坐标；
（2）设直线 的方程为 ，求得点 ，求得直线 的方程，进而求得点
的坐标，设切线方程为 ，利用 可求得 ，进而可得结论.
【小问1详解】
当 时， ，
不妨取 ，
则 ， ，
由 的周长为 得，
，解得 ，
(3 )
故抛物线 的焦点坐标为 ,0 .
4
【小问2详解】
由（1）可知，抛物线 ，设直线 的方程为 ，
则直线 与直线 交于点 ，
所以 的方程为 ，
联立 ，解得 ，则 ，
所以 ，
易知过点 与抛物线 相切的直线的斜率存在，设其方程为 ，
代入 得，整理得 ，
则 ，
整理得 ，
则 ，所以 ，
故过点 与抛物线 相切的直线的斜率为 ，又 的斜率为 ，
故过点 与抛物线 的相切的直线平行于直线 .19. 对于数列 ，若存在 ，使得对于任意 ，都有 ，则称数列
为 型数列.
（1）已知数列 的通项公式为 ，判断数列 是否为 型数列，并说明理由；
（2）已知数列 的首项为 ，且数列 是 型数列，若 ，求数列 的前
项和 ；
（3）已知数列 是公差为4的等差数列，证明：对于任意的 ，数列 都是 型
数列.
【答案】（1）数列 不是 型数列，理由见解析
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由“ 型数列”的定义进行判断即可；
（2）根据等差数列的定义求出数列 可得 ，再由裂项相消求和可得答案；
（3）由“ 型数列”的定义进行判断即可.
【小问1详解】
数列 不是 型数列.
理由如下：因为 ，当 时，
，所以 ，
故数列 不是 型数列；
【小问2详解】
由定义可知， ，
则 ，
所以数列 为3为首项，2为公差的等差数列，
所以 .
所以 ，
故
；
【小问3详解】
，
故对于任意的 ，数列 都是 ， 型数列.
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是利用新定义解题，
