文档内容
河南省开封市五县联考2024-2025学年高二下学期开学质量检测
数学试题
一、单选题
1．直线 在 轴的截距为（ ）
A．-3 B． C． D．3
2．已知椭圆的长半轴长等于焦距的3倍，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．已知双曲线的方程为 ，则该双曲线的焦距为（ ）
A．1 B．2 C． D．
4．已知数列 为等比数列，若 ， 是方程 的两个不相等的实数根，则 （ ）
A．5 B． C．4 D．
5．已知直线 的一个方向向量为 ，平面 的一个法向量为 ，则 与平面 所成角的
正弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知实数x，y满足 ，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知双曲线 的左，右焦点分别为 ， ，过 作斜率为正且与双曲线 的某
条渐近线垂直的直线 与双曲线 在第一象限交于点 ，若 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系 中，已知直线 与 交于点 ，点
是抛物线 上一个动点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知在正项等比数列 中， ， ，则（ ）
A． 的公比为2 B． 的通项公式为
C． D．数列 为递增数列
10．若方程 所表示的曲线为 ，则下列命题正确的是（ ）
A．曲线 可能是圆
B．若曲线 为椭圆，则 且
C．若曲线 为焦点在 轴上的椭圆，则
D．若曲线 为双曲线，则
11．已知圆 ： ，若圆 与圆 关于直线 对称，则下列说法正确的是（ ）
A．圆 的标准方程为
B．过点 可作圆 的切线有两条
C．若 分别为圆 ，圆 上的点，则 两点间的最大距离为D．若E，F为圆 上的两个动点，且 ，则线段EF的中点的轨迹方程为
三、填空题
12．已知 ，设直线 ， ，若 ，则 ．
13．已知抛物线 的准线是圆 与圆 的公共弦所在的直线，则抛物线 的标
准方程为 ．
14．将数列 与数列 的公共项从小到大排列得到数列 ，则使得 成立的 的
最小值为 ．
四、解答题
15．已知数列 的前 项和为 ，且 ．
(1)证明：数列 是等比数列；
(2)设数列 满足 ，求 的前 项和 ．
16．已知圆 关于 轴对称且经过点 和 ．
(1)求圆 的标准方程；
(2)过点 的直线 与圆 交于 ， 两点；若 ，求直线 的方程．
17．如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ， ．
(1)求证： 平面 ；(2)若 ，求平面 与平面 的夹角的余弦值．
18．已知 是等差数列， 是各项都为正数的等比数列.且 ， ， ， .
(1)求 ， 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和 ；
(3)若 ，求数列 的前2n项和 .
19．已知椭圆 的焦距为 ，离心率为 ，左，右顶点分别为 ， ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)已知点 ，若点 是椭圆 上的一点，求 的最小值；
(3)已知直线 的斜率存在，且与椭圆 交于 ， 两点（ ， 与 ， 不重合），直线 斜率为 ，
直线 斜率为 ，若 ，请问直线 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明
理由．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B D D A B A B AC ACD
题号 11
答案 ACD
1．C
直接令 即可得到答案.
【详解】令 ，得 ，所以直线在 轴的截距为 ．
故选：C．
2．B
应用椭圆的长轴及焦距列式求解离心率即可.
【详解】设椭圆长轴长 ，焦距 ，则 ，即 ．
故选:B．
3．D
根据给定的方程求出半焦距即可.
【详解】双曲线 的实半轴长 ，虚半轴长 ，则半焦距 ，
所以该双曲线的焦距为
故选：D
4．D
由韦达定理结合等比数列性质即可求解；
【详解】由题意可得 ，解得 ．
故选：D．
5．A
应用空间向量法计算线面角正弦值即可.
【详解】设 与 所成角的大小为 ，则 ．
故选:A．
6．B
由直线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式求解．【详解】已知实数x，y满足 ，
则 的轨迹方程为 ，
其轨迹为圆心为 ，半径为1的圆，
设 ，即 ，
由题意可得： ，则
故选：B.
7．A
由图利用点线距和勾股定理求出 ，过点 作 于 ，推理可得 ，根据解三角形
和双曲线的定义可得 ，即可求离心率.
【详解】令双曲线 的半焦距为 ，则 ，
令直线 与双曲线 的渐近线 垂直的垂足为 ，
于是 ， ，
如图，过点 作 于 ，则 ，
而 为线段 的中点，所以 ， ，
因为 ，所以 ，
， ，
由双曲线定义得 ，即 ，解得 ．
故该双曲线的离心率为 ．故选：A．
8．B
由直线方程可得其所过定点，根据两直线位置关系可得其焦点的轨迹，根据抛物线的定义与圆外一点到圆
上点的距离最值问题，结合图象，可得答案.
【详解】直线 ，即 ，可知直线 过定点 ；
直线 ，即 ，可知直线 过定点 ；
且 ，则 ，
可知点 在以 为直径的圆上，此时圆心为 ，半径 ．
因为抛物线 的焦点为 ，准线为 ，
且点 是抛物线 上一动点，则 ，即 ，
可得 ，
当且仅当点 在线段 上时，等号成立，
又因为 ，当且仅当点 在线段 上时，等号成立，
即 ，
所以 的最小值为 ．
故选：B．9．AC
应用等比数列的基本量运算求出公比及通项判断A，B，C，再结合对数运算计算判断单调性判断D.
【详解】设等比数列 的公比为 ，依题意， ， ，所以 ，
又 ，所以 ，即 ，
所以 ， ，A，C正确，B错误；
对于D， ，则数列 为递减数列，D错误．
故选：AC．
10．ACD
由圆、椭圆、双曲线方程的结构特点逐项判断即可；
【详解】对于A选项，若曲线 表示圆，则 ，解得 ，即曲线 可能是圆，A正确；
对于B选项，若曲线 为椭圆，则 ，解得 且 ，B错误；
对于C选项，若曲线 为焦点在 轴上的椭圆，则 ，解得 ，C正确；
对于D选项，若曲线 为双曲线，则 ，解得 ，D正确．
故选：ACD．
11．ACD
由题意，根据圆 与圆 关于直线 对称，得到圆 的圆心和半径，进而可判断A；根据点 在上，则过该点有且仅有一条切线，可判断B；要求 两点间的最大距离，先求 ，代入计算即可判
断C；设EF中点为P，结合垂径定理即可判断D.
【详解】对于A：易知圆 ，其圆心为 ，半径为1，
因圆 与圆 关于 对称，故圆 圆心为 ，半径为1，
故圆 的标准方程为 ，故A正确；
对于B：易知点 在 上，故过点 有且仅有一条切线，即B错误；
对于C：易知 ，故C正确；
对于D：设EF中点为P，则 ，
因为圆 的半径为1，由垂径定理可知 ，
设 ，因 ，则可得
故点P的轨迹方程为 ，故D正确．
故选：ACD.
12．
由两直平行得到 ，求解并验证即可；
【详解】因为直线 ， ， ，
所以 ，即 ，
当 时，直线重合，舍去，
当 时，符合题意；
故 ；
故答案为：
13．
利用两圆方程相减后求出公共弦方程，再结合抛物线的性质求解即可；【详解】两圆的公共弦方程为 ，
所以 ，所以抛物线的标准方程为 ．
故答案为： ．
14．170
通过公共项确定 通项公式即可求解；
【详解】由题意， 与 的公共项为1，13，25，37，…，
故 ，所以 ，解得 ，
所以 的最小值为170．
故答案为：170
15．(1)证明见解析
(2)
（1）由 ， 的关系作差即可判断；
（2）由（1）求得 ，再由等差数列、等比数列的求和公式即可求解；
【详解】（1）当 时， ，即 ，
当 时，联立
①－②，可得 ，
即 ，
所以 ，
又 ，所以 是以2为首项，2为公比的等比数列；（2）由（1）可得 ，则 ， ，
所以
．
16．(1)
(2) 或
（1）由题意，设 到 和 的距离相等代入求解t，再求半径即可；（2）利用直线与圆的弦
长公式求解.
【详解】（1）因为圆 关于 轴对称，所以圆心在 轴上，
设 ，由于圆经过 和 ，所以 到 和 的距离相等，
所以 ，解得 ，
此时半径 ，
所以圆 的标准方程为 ；
（2）取 中点 ，连接 ，易知 为直角三角形，
因为 ， ，所以 ，
即圆心到直线 的距离为 ，
当直线 斜率不存在时，直线 方程为 ， 到其距离为1，不符合题意；
当直线 斜率存在时，设为 ，直线 方程为 ，化成一般式： ，所以 ，解得 或 ，
故直线 的方程为 或 ．
17．(1)证明见解析
(2)
（1）先应用勾股定理得出 ，再应用线面垂直判定定理证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，计算平面的法向量，再应用面面角公式计算即可.
【详解】（1）因为 ， ， ，
所以四边形 为直角梯形，取 中点 ，连接 ，
则 ，四边形 为正方形，
则 ， ，
所以 ，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
（2）由（1）可知， ， ， 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系， ，
， ，
， ，
设平面 的一个法向量 ，则 ，即 ，令 ， ，故
由（1）可知 平面 ，所以 是平面 的一个法向量，记作 ，
记平面 与平面 的夹角为 ，则 ．
18．(1) ， ；
(2) ；
(3)
(1)由等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，进而得到所求；
(2)由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和；
(3)由数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，可得所求和．
【详解】（1） 是等差数列， 是各项都为正数的等比数列，设公差为d，公比为 ，
由 ， ， ， ，可得 ， ，
解得： 负的舍去 ，
则 ， ；
（2）数列 的前n项和 ，
，两式相减可得 ，
化为 ；
（3） ，
则数列 的前2n项和
.
19．(1)
(2)
(3)过定点，定点坐标为
（1）可根据焦距和离心率求出 、 的值；
（2）可设出点 坐标，根据两点间距离公式结合椭圆方程和二次函数求解；
（3）可设出直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理结合已知条件求解.
【详解】（1）由题意 ， ，
所以 ， ， ，
所以椭圆 的标准方程为 ；
（2）设 ，则有 ，， ，
当 时， 最小值为 ，
所以 最小值为 ；
（3）连接 ，设直线 斜率为 ， ， ，
，
因为 ，所以 ，
设直线 为 ，
联立 ，可得 ，
即 ，
所以 ， ，
因为 ，
所以 ，
即 ，
即 ，
化简得 ，解得 或 （舍去），
所以直线 的方程为 ，
