文档内容
2024 届 高三第三次考试
数学试题答案
1.【答案】A
【详解】解：由题意 ，则z=−1+i∴复数z的虚部为1.
2．【答案】C
【详解】对于①，若函数 的定义域为 ，则函数 中 满足 ，即 ，
所以函数 的定义域为 ，故①错误；
对于②，函数 ，令 ，则 ，即 ，
令 ，则 ，故②正确；
对于③， ，可知集合 可能为 ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ， ，共
15个，故③错误；
对于④，函数 中 满足 ，即 ，
函数 中 满足 ，即 ，定义域不同，故不是同一函数，故④错误，
错误命题有①③④，共三个，
3．【答案】A
【详解】要使函数 是幂函数，且在 上为增函数，
则 ，解得： ，当 时， ， ，
则 ，所以函数 为奇函数，即充分性成立；“函数
为奇函数”，
学科网（北京）股份有限公司则 ，即 ，解得： ，故必要性不成立，
4．【答案】C
5.【答案】B
【详解】对于①，正态分布的均值为1，由正态曲线的对称性知①正确；
对于②， ，由性质知 ，故②不正确；
对于③C，C中男生人数 服从超几何分布，所以 ，故③正确；
n
7r-2
对于④， 的展开式的通项为 ，
由 ，得 ，即当 时，展开式中存在常数项，故④正确．
对于⑤数据排序得到1,2,3,4,5,6, 7,8, 9, 10，由 ，所以70%分位数是 ，故⑤错误；
6．【答案】B
【详解】因a，b，x，y>0，则 ，当且仅当 时等号成立，又 ，即 ，
于是得 ，当且仅当 ，即 时取“=”，
所以函数 的最小值为25.
7.【答案】A
【详解】由题设知： ， ， ，令 ，则 ，易知
上 单调递增， 上 单调递减，即 ，∴ .
8．【答案】A
【详解】由函数 图象，可得点 的横坐标为 ，所以函数 的最小正周期为 ，
所以D不正确；
又由 ，且 ，即 ，
学科网（北京）股份有限公司根据五点作图法且 ，可得 ，解得 ，因为 ，可得 ，
结合三角函数的性质，可得函数 在 是先减后增的函数，所以B错误；
将函数 的图象向左平移 个单位后，得到 ，
可得对称轴的方程为 ，即 ，所以 不是函数 的对称轴，所以C错误；
当 时，可得 ，即 ,
若圆的半径为 ，则满足 ，即 ，
解得 ，所以 的解析式为 ，所以A正确.
9．【答案】BC
【详解】如图所示，向量 与向量 方向不同，所以 ，故A不正确，
作向量 与向量 ，可得 ，且 ，故B与C正确，
连接BD，则AC与BD互相垂直，所以向量 与向量 在向
量 上的射影的数量是相同的，
所以 ，故D不正确．
10.答案ACD
11．【答案】BD
【详解】由直观图可得，四边形 为直角梯形，且 ，则四边形 的面积
为 ，故A错误；
如图，以点 为坐标原点建立平面直角坐标系，则 ，则 ，
所以与 同向的单位向量的坐标为 ，故B正确；
学科网（北京）股份有限公司，则 在向量 上的投影向量的坐标为 ，故C错误；
设 ，则 ，则 ，
，当 时， 取得最小值 ，故D正确.
12.答案 BCD
解析 对于A，从第1行开始，每一行的数依次对应(a＋b)n的二项式系数，
∴a ＝(1＋1)n＝2n，∴{a }是以 2为首项，2为公比的等比数列，S ＝＝2n＋1－2，∴S ＝211－2＝2
n n n 10
046≠1 022，故A错误；
对于B，＝＝－，
∴的前n项和为＋＋…＋＝－＝－，故B正确；
对于C，去掉每一行中的1以后，每一行剩下的项数分别为0，1，2，3，…，构成一个等差数列，
若项数之和≤57，则n的最大整数为10，杨辉三角中取满了第11行，因为第12行首位为1，
所以b 取的是第12行中的第三项，则b ＝C＝66，故C正确；
57 57
对于D，S ＝212－2，这11行中共去掉了22个1，
11
∴T ＝S －22＋b ＋b ＝4 094－22＋C＋C＝4 150，故D正确.
57 11 56 57
π 4π
−
13．答案 72 3
5 2π π
− =−
【详解】由题意，得时针转过的角为 60 12 72 ，分针转过面积为 .
14．答案 8
15．【答案】
学科网（北京）股份有限公司【详解】由题意可知，一个数被 除余 ，被 除余 ，被 除余 ，则这个正整数的最小值为 ，
因为 、 、 的最小公倍数为 ，由题意可知，满足条件的数形成以 为首项，以 为公差的等
差数列，
设该数列为 ，则 ，由 ，可得 ，所以， 的最
大值为 ，所以，满足条件的这些整数之和为 .
16．【答案】
【详解】因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，
所以由全概率公式可得 ，因为
所以 .
17．【详解】（1）
连接 交 与O，则 为 的中点，连接 ，则 ..................................2分
.因为 平面 ， 平面 ，.....................................................................3分
所以 平面 .......................................................................................................5 分
（2） ，.............................10分
18.【详解】（1）因为 ，所以 ，所以 ,.......................................2分
..................................................................5分
（2） ....................................................7分.
学科网（北京）股份有限公司因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，
....................................................................................8 分
所以．
.....................................................................................9 分
π π π
令− +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ,（k∈Z)
2 4 2
3π π
得− +kπ≤x≤ +kπ,(k∈Z) .....................................................................................10 分
8 8
∵x∈
[
−
π
,0
]
,∴当x∈
[
−
3π
,0
]
时，函数单调递增
..............................................................12分
2 8
.
19.
（1）方法一：向量法
∵ ，.............................2分
∴ ，∴ ，则 ......................6分
方法二：根据余弦定理可得： ，则 ，.................2分
∴ ，且 ，
∴ ，则 .......................6分
其他方法酌情给分
（2）
方法一：根据正弦定理可得： ， ，.........................8分
学科网（北京）股份有限公司∴ ..............................................................................12分
方法二：根据三角形面积公式得， ，........................8分
∴ .......................................................................................................12分
其他方法酌情给分
20．【详解】（1）根据2016年至2019年该城市各季度的消费者信心指数的频数分布表2，
可得频数共有 个，其中不小于115共有5个，.................................................1分
所以从2016年至2019年该城市各季度消费者信心指数中任取2个，
至少有一个不小于115的概率为 .........................................................2分
（2）由表2中各区间内的消费者信心指数用其所在区间的中点值代替，则任取一个消费者信心指数
为随机变量，可得随机变量的可能取值为 ，
其中 ,
,..............................................................................................6分（1个1
分）
所以随机变量 的分布列为：
.............................................................7分
可得随机变量 的期望为 ...............8分
（3）由题意知 ， ，..........................................9分
又由
，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，................................................................................................10分
又由 ，....................................................................................11分
所以变量y关于x的线性回归方程 ，当 时， ，
即预报2020年该城市消费者信心指数的年平均值约为 ..........................................12分
21.．【详解】（1）若 是等差数列，则对任意 ，
，即 ，所以 ，故 ..................2分
（2）因为 且 得 ，
又 是等比数列，则 即 ，得 ..................4分
当 时， ， ，故 是以2为首项，公比为1的等比数列，此时 的前n项
和 ；..................................................................................................................................5分
当 时， ，即 ，
所以 ，且 所以 以 为首项，公比为-1的等比数列，
又 ，............................................................................................7分
所以，当n是偶数时，
，............9分
.当n是奇数时， ，
..............11分
学科网（北京）股份有限公司奇数
，
偶数
综上，当 时， ，
奇数
当 时 ， .............................................................................................12分
偶数
.
22．【详解】（1）已知函数 在x=0处的切线方程为 ．
......................................................................................................................1分
由 ；...........................................................................................3分
（2）函数的定义域为 ..................................................................................................4分
.
令 则 恒成立，............................................................5分
所以 在 上单调递增．..........................................................................6分
又 .................................7分
所以 存在唯一的零点 ，且满足
①.............................................................................................................8分
当x变化时， f(x)和f'(x)的变化情况如下：
x
0
..........................................................................9分
学科网（北京）股份有限公司
......................9分减 极小值 增
所以 ...........................................................................10分
.将①带入上式，得
令 ，并构造函数
则有 所以 在 上单调递增．
所以 .........................................................................11分
即 所以f(x)>0恒成立．.................................................................................12分
学科网（北京）股份有限公司
