文档内容
高 2024 届高三第一学期期中考试
数学试题
（数学试题卷共6页，考试时间120分钟，满分150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在
本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1. 设 均为非空集合，且满足 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知命题 ，命题q：复数 为纯虚数，则命题 是 的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知向量 ， 的夹角为 ，且 ，则向量 在向量 上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
4. 《几何原本》卷 的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据．
通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图
形，点 在半圆 上，点 在直径 上，且 ，设 ， ，则该图形可以完成的
无字证明为（ ）
第 1 页 共 6 页A. B.
C. D.
5. 已知数列 均为等差数列，且 ，设数列 前 项的和为 ，
则 （ ）
.
A 84 B. 540 C. 780 D. 920
6. 函数 的最大值为（ ）
A. 2 B. C. 0 D.
7. 为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设 三门劳动教育校本课程，现有甲、乙、
丙、丁、戊五位同学报名参加该校劳动教育校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参
加，则不同的报名方法有（ ）
.
A 60种 B. 150种 C. 180种 D. 300种
8. 已知函数 ，若方程 有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围是（
）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
第 2 页 共 6 页9. 在某市高三年级举行的一次模拟考试中，某学科共有20000人参加考试．为了了解本次考试学生成绩情
况，从中随机抽取了100名学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，并按照
的分组作出频率分布直方图如图所示．则下列说法正确的是
（ ）
的
A. 样本 众数为70
B. 样本的 分位数为78.5
C. 估计该市全体学生成绩的平均分为70.6
D. 该市参加测试的学生中低于60分的学生大约为320人
10. 已知函数 ，下列说法正确的是（ ）
A. 在 上单调递增
B. 的图象向右平移 个单位长度后所得图象关于 轴对称
C. 若 对任意实数 都成立，则
D. 方程 有3个不同的实数根
11. 甲、乙、丙三人玩传球游戏，持球人把球传给另外两人中的任意一人是等可能的．从一个人传球到另
一个人称传球一次．若传球开始时甲持球，记传球 次后球仍回到甲手里的概率为 ，则下列结论正确的
是（ ）
第 3 页 共 6 页A. B. C. D.
12. 已知 ，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 的展开式中， 的系数为__________（用数字作答）．
14. 曲线 在 处的切线的倾斜角为 ，则 ______．
15. 定义：在数列 中， ，其中 为常数，则称数列 为“等比差”数列，已
知“等比差”数列 中， ， ，则 ______．
16. 若 是定义在 上的函数，且 为奇函数， 为偶函数．则 在区间
上的最小值为______．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 在 中，内角 的对边分别为 ．
（1）求 ；
（2）若 ，点 在边 上，且 ，求 面积的最大值．
18. 2023年9月23日第19届亚运会在中国杭州举行，其中电子竞技第一次列为正式比赛项目．某中学对
该校男女学生 否是喜欢电子竞技进行了调查，随机调查了男女生人数各200人，得到如下数据：
男生 女生 合计
喜欢 120 100 220
第 4 页 共 6 页不喜欢 80 100 180
合计 200 200 400
的
（1）根据表中数据，采用小概率值 独立性检验，能否认为该校学生对电子竞技的喜欢情况与
性别有关？
（2）为弄清学生不喜欢电子竞技的原因，采用分层抽样的方法从调查的不喜欢电子竞技的学生中随机抽
取9人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，求“至少抽到一名男生”的概率；
（3）将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取10人，记其中对电子竞技喜欢的人
数为 ，求 的数学期望．
参考公式及数据： ，其中 ．
0.15 0.10 0.05 0.025 0.01
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
19. 已知数列 的前 项和为 ，且 ．
（1）求 的通项公式；
（2）设 ，若对任意 都有 成立，求实数 的取值范围．
20. 当前，新一轮科技革命和产业变革蓬勃兴起，以区块链为代表的新一代信息技术迅猛发展，现收集某
地近6年区块链企业总数量相关数据，如下表：
201 202
年份 2017 2019 2021 2022
8 0
编号 1 2 3 4 5 6
企业总数量 （单位：百
50 78 124 121 137 352
个）
（1）若用模型 拟合 与 的关系，根据提供的数据，求出 与 的经验回归方程；
（2）为了促进公司间的合作与发展，区块链联合总部决定进行一次信息化技术比赛，邀请甲、乙、丙三
第 5 页 共 6 页家区块链公司参赛．比赛规则如下：①每场比赛有两个公司参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的公司与
未参加此场比赛的公司进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个公司首先获胜两场，则本次比赛结束，
该公司获得此次信息化比赛的“优胜公司”．已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为 ，甲胜丙的概率为 ，
乙胜丙的概率为 ，若首场由甲乙比赛，求甲公司获得“优胜公司”的概率．
参考数据： ，其中，
参考公式：对于一组数据 ，其经验回归直线 的斜率和截距的最小二乘
估计分别为
21. 已知函数 ．
（1）若 ，求 在 处的切线方程；
（2）若函数 在 上恰有一个极小值点，求实数 的取值范围；
（3）若对于任意 恒成立，求实数 的取值范围．
22. 已知函数 ．
（1）若函数 是减函数，求 的取值范围；
（2）若 有两个零点 ，且 ，证明： ．
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