2006年天津高考文科数学真题及答案_数学高考真题试卷_旧1990-2007·高考数学真题_1990-2007·高考数学真题·PDF_天津

2006 年天津高考文科数学真题及答案
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分
钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、科目涂写在答题卡上，并在规定
位置粘贴考试用条形码．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上的无效．
3．本卷共10小题，每小题5分，共50分．
参考公式：
如果事件A，B互斥，那么P(AB) P(A)P(B)
如果事件A，B相互独立，那么P(A· B) P(A·) P(B)
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的
概率P (k)CkPk(1P)nk
n n
一、选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合Ax|3≤x≤1，B  x ≤2  ，则A B（ ）

Ａ．x|2≤x≤1 Ｂ．x|0≤x≤1
Ｃ．x|3≤x≤2 Ｄ．x|1≤x≤2
2．设a 是等差数列，a a a 9，a 9，则这个数列的前6项和等于（ ）
n 1 3 5 6
Ａ．12 Ｂ．24 Ｃ．36 Ｄ．48
y≤x

3．设变量x，y满足约束条件x y≥2 ，则目标函数Z 2x y的最小值为（ ）
 y≥3x6

Ａ．2 Ｂ．3 Ｃ．4 Ｄ．9
4．设Plog 3，Qlog 2，Rlog (log 2)，则（ ）
2 3 2 3
Ａ．RQ P Ｂ．P RQ Ｃ．Q R P Ｄ．R PQ
 π π
5．设，   ， ，那么“”是“tantan”的（ ）
 2 2
第1页 | 共12页Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件
Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件
6．函数y  x2 11(x0)的反函数是（ ）
Ａ．y  x2 2x(x0) Ｂ．y  x2 2x(x0)
Ｃ．y  x2 2x(x2) Ｄ．y  x2 2x(x2)
7．若l为一条直线，，，为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：
①，；②，∥；③l∥，l ．
其中正确的命题有（ ）
Ａ．0个 Ｂ．1个 Ｃ．2个 Ｄ．3个
8．椭圆的中心为点E(1，0)，它的一个焦点为F(3，0)，相应于焦点F 的准线方程为
7
x ，则这个椭圆的方程是（ ）
2
2(x1)2 2y2 2(x1)2 2y2
Ａ．  1 Ｂ．  1
21 3 21 3
(x1)2 (x1)2
Ｃ．  y2 1 Ｄ．  y2 1
5 5
9．已知函数 f(x)asinxbcosx（a，b为常数，a0，xR）的图象关于直线
π 3π
x 对称，则函数y  f( x)是（ ）
4 4
Ａ．偶函数且它的图象关于点(π，0)对称
3π 
B．偶函数且它的图象关于点 ，0 对称
 2 
3π 
Ｃ．奇函数且它的图象关于点 ，0 对称
 2 
Ｄ．奇函数且它的图象关于点(π，0)对称
10．如果函数 f(x)ax(ax 3a2 1)(a 0且a 1)在区间0，∞上是增函数，那么实数
a的取值范围是（ ）
 2  3   3 
Ａ． 0，  Ｂ． ，1  Ｃ． 1，3  Ｄ．  ，∞ 
 3  3  2 
第2页 | 共12页第Ⅱ卷
注意事项：
1．答卷前将密封线内的项目填写清楚．
2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上．
3．本卷共12小题，共100分．
三
题号 二 总分
17 18 19 20 21 22
得分
得分 评卷人 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中
横线上．
7
 1 
11． x 的二项展开式中x的系数是 （用数字作答）．
 
 x 
    
12．设向量a与b的夹角为，a(3，3)，2ba(1，1)，则cos ．
13．如图，在正三棱柱 ABCABC 中， AB1．若二面角
1 1 1 A C
1 1
B
CABC 的大小为60，则点C 到直线AB的距离为 ． 1
1 1
A
C
3
14．若半径为 1 的圆分别与 y轴的正半轴和射线 y  x(x≥0)相
3 B
切，则这个圆的方程为 ．
15．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元／次，一年的总存储
费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 吨．
16．用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1，2相邻的偶数有
个（用数字作答）．
三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
得分 评卷人 17．（本小题满分12分）
5 π π π
已知tancot ，

， ．求cos2和sin(2 )的值．
2 4 2 4
得分 评卷人 18．（本小题满分12分）
第3页 | 共12页甲、乙两台机床相互没有影响地生产某种产品，甲机床产品的正品率是0.9，乙机床产品的
正品率是0.95．
（Ⅰ）从甲机床生产的产品中任取3件，求其中恰有2件正品的概率（用数字作答）；
（Ⅱ）从甲、乙两台机床生产的产品中各任取1件，求其中至少有1件正品的概率（用数字
作答）．
得分 评卷人 19．（本小题满分12分）
如图，在五面体ABCDEF 中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三角
1
形，棱EF ∥ BC．
2 F E
（Ⅰ）证明FO∥平面CDE；
（Ⅱ）设BC  3CD，证明EO平面CDF ． A
D
O
B C
得分 评卷人 20．（本小题满分12分）
1 π
已知函数 f(x)4x33x2cos ，其中xR，为参数，且0≤≤ ．
32 2
（Ⅰ）当cos0时，判断函数 f(x)是否有极值；
（Ⅱ）要使函数 f(x)的极小值大于零，求参数的取值范围；
（Ⅲ）若对（Ⅱ）中所求的取值范围内的任意参数，函数 f(x)在区间(2a1，a)内都是
增函数，求实数a的取值范围．
得分 评卷人 21．（本小题满分14分）
x x
已知数列x 满足x  x 1，并且 n1  n （为非零参数，n2，3，4，… ）．
n 1 2 x x
n n1
（Ⅰ）若x，x，x 成等比数列，求参数的值；
1 3 5
（ Ⅱ ） 设 01， 常 数 kN且 k≥3． 证 明
第4页 | 共12页x x x k
1k  2k …  nk  (nN)．
x x x 1k
1 2 n
得分 评卷人 22．（本小题满分14分）
y
如图，
Ｅ
双曲线
l
x2 y2 C
 1(a0，b0)的 M B
a2 b2
F 1 O A F 2 x
5
离心率为 ． F，F 分别为
2 1 2 D
左、右焦点，M 为左准线与渐
  1
近线在第二象限内的交点，且FM· F M  ．
1 2 4
（Ⅰ）求双曲线的方程；
 1 
（Ⅱ）设A(m，0)和B

，0

(0m1)是x轴上的两点，过点A作斜率不为0的直线l，
m 
使得l交双曲线于C，D两点，作直线BC交双曲线于另一点E．证明直线DE垂
2006年天津高考文科数学真题参考答案
一．选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分50分。
（1）A （2）B （3）B （4）A （5）C
（6）D （7）C （8）D （9）D （10）B
二．填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分24分。
3 10
（11）35 （12） （13） 3
10
（14）(x1)2 (y 3)2 1 （15）20 （16）24
一．选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分50分。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B B A C D C D D B
（1 ）已知集合A{x|3 x1},B{x| x 2}={x|2≤x≤2}，
则A B＝x|2 x1，选A.

第5页 | 共12页（2 ）a 是等差数列，a a a 3a 9,a 3,a 9. ∴ d 2,a 1，则这个数
n 1 3 5 3 3 6 1
6(a a )
列的前6项和等于 1 6 24，选B.
2
y x

（3）设变量x、 y满足约束条件x y2 ,在坐标系中画出可行域△ABC，A(2，0)，

y3x6

B(1，1)，C(3，3)，则目标函数z 2x y的最小值为3，选B.
（4）Plog 31,0Qlog 21,Rlog (log 2)0, 则RQ P，选A.
2 3 2 3
   
（5）在开区间( , )中，函数 y tanx为单调增函数，所以设,( , ),那么
2 2 2 2
""是"tantan"的充分必要条件，选C.
（6）由函数 y  x2 11(x0)解得x (y1)2 1 y2 2y(y>2)，所以原函
数的反函数是y  x2 2x(x2)，选D.
（7）若l为一条直线，、、为三个互不重合的平面，下面三个命题：
① ,;不 正 确 ； ② ,∥;正 确 ； ③
l//,l .正确，所以正确的命题有2个，选C.
（8）椭圆的中心为点E(1,0),它的一个焦点为F(3,0),∴ 半焦距c2，相应于焦点F
7 a2 5
的 准 线 方 程 为 x . ∴  ， a2 5,b2 1， 则 这 个 椭 圆 的 方 程 是
2 c 2
(x1)2
 y2 1，选D.
5
（ 9 ） 已 知 函 数 f(x)asinxbcosx (a、 b为 常 数 ,a0,xR)， ∴

f(x) a2 b2 sin(x)的周期为 2π，若函数的图象关于直线 x 对称，不妨设
4
 3 3 
f(x)sin(x )，则函数 y  f( x)=sin( x )sin(x)sinx，所以
4 4 4 4
3
y  f( x)是奇函数且它的图象关于点(,0)对称，选D.
4
（10）函数yax(ax 3a2 1)(a0且a1)可以看作是关于ax的二次函数，若a>1，则
第6页 | 共12页3a2 1
y ax是增函数，原函数在区间[0,)上是增函数，则要求对称轴 ≤0，矛盾；若
2
0<a<1，则y ax是减函数，原函数在区间[0,)上是增函数，则要求当t ax(0<t<1)时，
3a2 1 1
y t2 (3a2 1)t 在t∈(0，1)上为减函数，即对称轴 ≥1，∴a2≥ ，∴实数a
2 3
3
的取值范围是[ ,1)，选B.
3
二．填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分24分。
3 10
（11）35 （12） （13） 3 （14）(x1)2 (y 3)2 1
10
（15）20 （16）24
1 1
（11）(x )7的二项式展开式中x项为C3(x)3( )4 35x，x项的系数是35.
7
x x
     
（12 ）设向量a与b的夹角为,且a(3,3),2ba(1,1),∴ b(1,2)，则
A 1 C 1
 
ab 9 3 10 B
1
cos   。
 
|a||b| 3 2 5 10
A
（13）如图，在正三棱柱 ABCABC 中， AB1.若二面角CABC 的大 C
1 1 1 1
B
小为60o，过 C 作 CD⊥AB，D 为垂足，连接 CD，则 CD⊥AB，∠CDC=60°，
1 1 1
3
CD= ，则CD= 3，所以点C 到直线AB的距离为 3。
1 1
2
3
（14）若半径为1的圆分别与y轴的正半轴和射线y  x(x0)相切，则圆心在直线y=
3
3x 上 ， 且 圆 心 的 横 坐 标 为 1 ， 所 以 纵 坐 标 为 3， 这 个 圆 的 方 程 为
(x1)2 (y 3)2 1。
400
（15）某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，则需要购买 次，运费为4
x
400
万元/次，一年的总存储费用为4x万元，一年的总运费与总存储费用之和为 44x万
x
400 1600
元， 44x≥160，当 4x即x20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最
x x
第7页 | 共12页小。
（16）用数字0、1、2、3、4组成没有重复数字的五位数，其中数字1、2相邻的偶数。可
以分情况讨论：① 若末位数字为0，则1，2，为一组，且可以交换位置，3，4，各为1个
数字，共可以组成2A3 12个五位数；② 若末位数字为2，则1与它相邻，其余3个数字
3
排列，且0不是首位数字，则有2A2 4个五位数；③ 若末位数字为4，则1，2，为一组，
2
且可以交换位置，3，0，各为1个数字，且0不是首位数字，则有2(2A2)=8个五位数，
2
所以全部合理的五位数共有24个。
三．解答题
（17）本小题考查同角三角函数关系、两角和公式、倍角公式等基础知识，考查基本运算能
力。满分12分。
5 sin cos 5
解法一：由tancot ,得   ,则
2 cos sin 2
2 5 4
 ,sin2 .
sin 2 5
  
因为( , ),所以2( ,),
4 2 2
3
cos2 1sin22 ,
5
  
sin(2 )sin2.cos cos2.sin
4 4 4
4 2 3 2 2
     .
5 2 5 2 10
5
解法二：由tancot ,得
2
1 5
tan  ,
tan 2
1   1
解得tan2或tan .由已知( , ),故舍去tan ,得
2 4 2 2
tan2.
2 5 5
因此，sin ,cos .那么
5 5
3
cos2cos2sin2 ,
5
4
且sin22sincos ,故
5
  
sin(2 )sin2.cos cos2.sin
4 4 4
第8页 | 共12页4 2 3 2 2
     .
5 2 5 2 10
（18）本小题考查互斥事件、相互独立事件的概率等基础知识，及分析和解决实际问题的能
力。满分12分。
（I）解：任取甲机床的3件产品恰有2件正品的概率为
P(2)C20.920.10.243.
3 3
（II）解法一：记“任取甲机床的1件产品是正品”为事件A，“任取乙机床的1件产
品是正品”为事件B。则任取甲、乙两台机床的产品各1件，其中至少有1件正品的概率为
P(A.B)P(A.B)P(A.B)0.90.950.90.050.10.95
0.995.
解法二：运用对立事件的概率公式，所求的概率为
1P(A.B)10.10.050.995.
（19）本小题考查直线与平面平行、直线与平面垂直等基础知识，考查空间想象能力和推理
论证能力。满分12分。
（I）证明：取CD中点M，连结OM。 F E
在矩形ABCD中，
1 1
OM∥ BC,又EF∥ BC,
2 2
A D
则EF∥OM.连结EM，于是
O M
四边形EFOM为平行四边形。 B C
FO∥EM.
又 FO  平面CDE，且EM 平面CDE，FO∥平面CDE。

（II）证明：连结FM。由（I）和已知条件，在等边CDE中，CM  DM,
3 1
EM CD且EM  CD BC  EF.
2 2
因此平行四边形EFOM为菱形，从而EO FM 。
CDOM,CD EM,CD平面EOM，从而CD EO.

而FM CDM,所以EO平面CDF.

（20）本小题主要考查运用导数研究函数的单调性及极值、解不等式等基础知识，考查综合
分析和解决问题的能力。满分12分。
1
（I）解：当cos0时 f(x)4x3  ,则 f(x)在(,)内是增函数，故无极值。
32
（II）解： f '(x)12x2 6xcos,令 f '(x)0,得
第9页 | 共12页cos
x 0,x  .
1 2 2

由0 及（I），只需考虑cos0的情况。
2
当x变化时， f '(x)的符号及 f(x)的变化情况如下表：
cos cos cos
x (,0) 0 (0, ) ( ,)
2 2 2
f '(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 极大值 极小值
  
cos cos
因此，函数 f(x)在x 处取得极小值 f( ),且
2 2
cos 1 1
f( ) cos3 .
2 4 32
cos 1 1 1
要使 f( )0,必有 cos3 0,可得0cos ,所以
2 4 32 2
 

3 2
cos
（III）解：由（II）知，函数 f(x)在区间(,0)与( ,)内都是增函数。
2
由题设，函数 f(x)在(2a1,a)内是增函数，则a须满足不等式组
2a1a
2a1a 
 或 1
a0

2a1 cos
 2
  1 1
由（II），参数( , )时，0cos .要使不等式2a1 cos关于参数
3 2 2 2
1
恒成立，必有2a1 .
4
5 5
综上，解得a0或 a1.所以a的取值范围是(,0] [ ,1).

8 8
（21）本小题以数列的递推关系为载体，主要考查等比数列的等比中项及前n项和公式、等
差数列前n项和公式、不等式的性质及证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力。满
分14分。
（I）解：由已知x  x 1,且
1 2
x x x x x x
3  2  x , 4  3  x 3, 5  4  x 6.
x x 3 x x 4 x x 5
2 1 3 2 4 3
若x 、x 、x 成等比数列，则x 2  x x ,即2 6.而0,解得1.
1 3 5 3 1 5
第10页 | 共12页x x
（II）证明：设a  n1,由已知，数列a 是以 2 1为首项、为公比的等比数
n x n x
n 1
x
列，故 n1 n1,则
x
n
x x x x
nk  nk . nk1 ... n1
x x x x
n nk1 nk2 n
nk2.nk3...n1
k(k3)
kn
 2 .
因此，对任意nN*,
x x x
1k  2k ... nk
x x x
1 2 n
k(k3) k(k3) k(k3)
k 2k kn
 2  2 ... 2
k(k3)
 2 (k 2k ...nk)
k(k3) k(1nk)
 2 .
1k
k(k3)
当k 3且01时，0 2 1,01nk 1,所以
x x x k
1k  2k ... nk  (nN*).
x x x 1k
1 2 n
（22）本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、平面向量、曲线和方程的
关系等解析几何的基础知识和基本思想方法，考查推理及运算能力。满分14分。
（I）解：根据题设条件，F(c,0),F (c,0).
1 2
设点M(x,y),则x、y满足
 a2
x

 c

b

y  x.
 a
c 5 2a 2b
因e  ,解得M( , )，故
a 2 5 5
 2a 2b 2a 2b
FM.F M ( c, ).( c, )
1 2
5 5 5 5
第11页 | 共12页4 4 1
 a2 c2  b2  .
5 5 4
5 1
利用a2 b2 c2,得c2  ,于是a2 1,b2  .因此，所求双曲线方程为
4 4
x2 4y2 1.
（II）解：设点C(x ,y ),D(x ,y ),E(x ,y ),则直线l的方程为
1 1 2 2 3 3
y
y  1 (xm).
x m
1
 y
 y  1 (xm) ①
于是C(x ,y )、D(x ,y )两点坐标满足 x m
1 1 2 2 1 ②

x2 4y2 1
将①代入②得
(x2 2xmm2 4y2)x2 8my2x4y2m2 x2 2mx m2 0.
1 1 1 1 1 1 1
x2 2mx m2x2
由已知，显然m2 2xm10.于是x x  1 1 1 .因为x 0,得
1 1 2 m2 2xm1 1
1
x 2mm2x
x  1 1.
2 m2 2xm1
1
同理，C(x ,y )、E(x ,y )两点坐标满足
1 1 3 3
 y 1
y  1 (x )
  1 m
x 

1 m

x2 4y2 1.
可解得
1 1
x 2 ( )2x
1 m m 1 m2x 2mx
x   1 1.
3 1 12xmm2
( )2 2xm1 1
m 1
所以x  x ，故直线DE垂直于x轴。
2 3
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