2006年四川高考理科数学真题及答案_数学高考真题试卷_旧1990-2007·高考数学真题_1990-2007·高考数学真题·word_四川

2006 年四川高考理科数学真题及答案 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3 到8页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。 3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 参考公式： 如果事件A、B互斥，那么球是表面积公式 P(AB)  P(A)P(B) S  4R2 如果事件A、B相互独立，那么其中R表示球的半径 P(AB)  P(A)P(B)球的体积公式 4 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么V  R3 3 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率其中R表示球的半径 P (k) CkPk(1P)nk n n 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.已知集合A=  x|x25x60  ,Bx| 2x1 3,则集合AB＝ （A） x|2 x3 （B）x|2x3 （C）x|2x3 （D）x|1x3 2.复数13i3 的虚部为 （A）3 （B）－3 （C）2 （D）－2. 2x3,x1 3.已知 f(x) ,下面结论正确的是 2, x1 lim f(x)2 lim f(x)5 （A）f(x)在x=1处连续 （B）f(1)＝5 （C） （D） x1－ x1 4.已知二面角l的大小为 600， m、n为异面直线，且m，n，则m、n 所成的角为 （A）300 （B）600 （C）900 （D）1200 5.下列函数中，图像的一部分如右图所示的是   （A）ysin(x ) （B）ysin(2x ) 6 6   （C）ycos(4x ) （D）ycos(2x ) 3 6 6.已知两定点 A(2,0), B(1,0),如果动点 P 满足条件 PA 2 PB,则点P的轨迹所包围的图形的面积等于  （A） （B）4 （C）8 （D）9 7.如图,已知正六边形PPPPPP ，下列向量的数量积中最大的是 (cid:3) (cid:3) 1 2 3  4 (cid:3) 5  6 (cid:3) (cid:3) (cid:3) （A） PP PP （B） PP PP （C） PP PP （D） (cid:3) (cid:3)1  2 1 3 1 2 1 4 1 2 1 5 PP PP 1 2 1 6 8.某厂生产甲产品每千克需用原料 A和原料B分别为a、b 千克，生产乙产品每千克需用 1 1 第1页 | 共12页原料A和原料B分别为a、b 千克。甲、乙产品每千克可获利润分别为d、d 元。月初一 2 2 1 2 次性购进本月用原料A、B各c、c 千克。要计划本月生产甲、乙两种产品各多少千克才能 1 2 使月利润总额达到最大。在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为ｘ千克、ｙ千 克，月利润总额为ｚ元，那么，用于求使总利润z d xd y最大的数学模型中，约束条 1 2 件为 a xa yc , a xb yc, a xa yc , 1 2 1 1 1 1 1 2 1    bxb yc , a xb yc , bxb yc , （A）  1 2 2 （B）  2 2 2 （C）  1 2 2 （D） x0, x0, x0,     y0  y0  y0 axa yc, 1 2 1  bxb yc , 1 2 2  x0,   y0 9.直线ｙ＝ｘ－3与抛物线y2  4x交于A、B两点，过A、B两点向抛物线的准线作垂线， 垂足分别为P、Q ，则梯形APQB的面积为 （A）48 （B）56 （C）64 （D）72.  10.已知球O半径为1，A、B、C三点都在球面上，A、B两点和A、C两点的球面距离都是 ， 4  B、C两点的球面距离是 ，则二面角BOAC的大小是 3    2 （A） （B） （C） （D） 4 3 2 3 11.设a、b、c分别为ABC的三内角A、B、C 所对的边，则a2 b(bc)是A=2B的 （A）充要条件（B）充分而不必要条件（C）必要而不充分条件（D）既不充分也不必要条 件12.从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能 被３整除的概率为 19 35 38 41 （A） （B） （C） （D） 54 54 54 60 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。 13.在三棱锥O-ABC中，三条棱OA、OB、OC两两互相垂直，且OA＝OB＝OC,M是AB的中点， 则OM与平面ABC所成角的大小是______________（用反三角函数表示）。 14.设离散型随机变量ξ可能取的值为1，2，3，4.P(ξ＝k)＝ak+b(k=1，2，3，4),又ξ 的数学期望Eξ＝3，则ａ＋ｂ＝______________。 x2 y2 15.如图把椭圆  1的长轴AB分成8分，过每个分点 25 16 作ｘ轴的垂线交椭圆的上半部分于P,P ,……P 七个点，F 1 2 7 是椭圆的一个焦点，则 PF  PF ...... PF  1 2 7 ____________． 16.非空集合G关于运算满足：（1）对任意的a,bG,都有abG,(2)存在eG, 都有abbaa,则称G关于运算为“融洽集”。现给出下列集合和运算： ①G＝｛非负整数｝，为整数的加法。 ②G＝｛偶数｝，为整数的乘法。 ③G＝｛平面向量｝，为平面向量的加法。 ④G＝｛二次三项式｝，为多项式的加法。 ⑤G＝｛虚数｝，为复数的乘法。 第2页 | 共12页其中G关于运算为“融洽集”的是________。（写出所有“融洽集”的序号） 三.解答题共6个小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分） 已知A、B、C是 三内角，向量 ABC m(1, 3), n(cosA,sin A), 且mn1. （Ⅰ）求角A 1sin2B （Ⅱ）若 3,求tanC。 cos2Bsin2B 18．（本小题满分12分） 某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部 分考核都“合格”则该课程考核“合格”。甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别 为0.9、0.8、0.7；在实验考核中合格的概率分别为0.8、0.7、0.9。所有考核是否合格相 互之间没有影响。 （Ⅰ）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率； （Ⅱ）求这三人该课程考核都合格的概率（结果保留三位小数）。 19．（本小题满分12分） 如图,长方体ABCD-A B C D 中，E、P分别是BC、A D 的中点, 1 1 1 1 1 1 M、N分别是AE、CD 的中点,AD=A A a, Ab=2a, 1 1 1 （Ⅰ）求证：MN//平面ADD A;； 1 1 （Ⅱ）求二面角PAED的大小； （Ⅲ）求三棱锥P－DEN的体积。 20．（本小题满分12分） 已知数列 a  ，其中 a 1,a 3, 2a  a a ,(n  2) 记数列 a  的 n 1 2 n n1 n1 n 前n项和为S ,数列 lnS  的前n项和为U . n n n (Ⅰ)求U ； n eU N n (Ⅱ)设F (x) x2n, T (x)F1(x),（其中F1(x)为F (x)的导函数）， n 2n(n!)2 n k k k i1 T (x) lim n 计算 nT (x) n1 21．（本小题满分12分） (cid:4) (cid:4) 已知两定点F( 2,0), F ( 2,0),满足条件 PF 2  PF 1 2的点P的轨迹是曲线E，直 1 2 (cid:4) 线ｙ＝kx－1 与曲线 E交于 A、B 两点。如果 AB 6 3,且曲线 E上存在点 C，使 第3页 | 共12页(cid:4) (cid:4) (cid:4) OAOB mOC,求m的值和ABC的面积S。 22．（本小题满分14分） 2 已知函数f(x)  x2+ +alnx(x 0),f(x)的导函数是 f(x) 。对任意两个不相等的正 x 数x、x ，证明： 1 2 f(x ) f(x ) x x （Ⅰ）当a0时， 1 2  f( 1 2)； 2 2 （Ⅱ）当a4时， f(x ) f(x )  x x 。 1 2 1 2 2006年四川高考理科数学真题参考答案 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分； 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C D D B D B A C A C A B 二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分；把答案填在题中的横线上。 1 （13）arctan 2 ；（14） ；（15）35；（16）①，③ 10 三．解答题：本大题共6小题，共74分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的公 式以及倍角公式，考察应用、分析和计算能力。满分12分。 (cid:3) (cid:3)   解：（Ⅰ）∵ mn1 ∴ 1, 3 cosA,sin A1即 3sin AcosA1  3 1 ,   1 2  sinA cosA   1 sinA   2 2   6 2   5    ∵0 A,  A  ∴A  ∴A 6 6 6 6 6 3 12sinBcosB （Ⅱ）由题知 3，整理得sin2 BsinBcosB2cos2 B 0 cos2 Bsin2 B ∴ ∴ cosB0 tan2 BtanB20 ∴tanB2或tanB1 而 使 ，舍去∴ tanB1 cos2 Bsin2 B 0 tanB2 ∴ tanC tan  AB  tanAB  tanAtanB  2 3  85 3 1tan AtanB 12 3 11 （18）（本大题满分12分） 本小题主要考察相互独立事件、互斥事件、对立事件等概率的计算方法，考察应用概率知 识解决实际问题的能力。满分12分。 第4页 | 共12页解：记“甲理论考核合格”为事件 ；“乙理论考核合格”为事件 ；“丙理论考核合 A A 1 2 格”为事件 ；记 为 的对立事件， ；记“甲实验考核合格”为事件 ； A A A i 1,2,3 B 3 i i 1 “乙实验考核合格”为事件 ；“丙实验考核合格”为事件 ； B B 2 3 （Ⅰ）记“理论考核中至少有两人合格”为事件 ，记 为 的对立事件 C C C 解法1：PC P  AA A  A A A  AA A AA A  1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3  P  AA A  P  A A A  P  AA A  PAA A  1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 0.90.80.30.90.20.70.10.80.70.90.80.7 0.902 解法2：PC1P  C  1P  A A A  A A A  AA A  A A A  1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1P  A A A  P  A A A  P  AA A  P  A A A   1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3  10.10.20.30.90.20.30.10.80.30.10.20.7 10.098 0.902 所以，理论考核中至少有两人合格的概率为0.902 （Ⅱ）记“三人该课程考核都合格”为事件D PD PA B A B A B   1 1 2 2 3 3   PA B PA B PA B  1 1 2 2 3 3  PA PB PA PB PA PB  1 1 2 2 3 3 0.90.80.80.80.70.9 0.254016 0.254 所以，这三人该课程考核都合格的概率为0.254 （19）（本大题满分12分） 本小题主要考察长方体的概念、直线和平面、平面和平面的关系等基础知识，以及空间想 象能力和推理能力。满分12分 解法一：（Ⅰ）证明：取 的中点 ，连结 CD K MK,NK ∵ 分别为 的中点 M,N,K AK,CD,CD 1 ∵ MK // AD,NK //DD 1 ∴ 面 ， 面 MK // ADD A NK // ADD A 1 1 1 1 第5页 | 共12页∴面 面 ∴ 面 MNK // ADD A MN // ADD A 1 1 1 1 （Ⅱ）设F 为AD的中点 ∵ 为 的中点∴ ∴ 面 P AD PF //DD PF  ABCD 1 1 1 作FH  AE，交AE于H ，连结PH ，则由三垂线定理得AE  PH 从而PHF 为二面角PAED的平面角。 a 2a 在 中， a 17 ，从而 AFEF 2 2a RtAEF AF  ,EF 2a,AE  a FH    2 2 AE 17 17 a 2 PF DD 17 在RtPFH 中，tanPFH   1  FH FH 2 17 故：二面角PAED的大小为arctan 2 （Ⅲ） 1 1 1 5 S  S  BCCD  a a2 4a2  a2 NEP 2 矩形ECD 1 P 4 1 4 4 作 ，交 于 ，由 面 得 DQCD CD Q AD  CDDC AC  DQ 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴ 面 DQ BCD A 1 1 CDDD 2aa 2 ∴在 RtCDD 中， DQ 1   a 1 CD 5a 5 1 1 1 5 2 1 ∴ V V  S DQ  a2 a  a3 PDEN DENP 3 NEP 3 4 5 6 方法二：以 为原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立直角坐标系， D DA,DC,DD x y z 1 则 Aa,0,0,Ba,2a,0,C0,2a,0,A a,0,a,D 0,0,a 1 1 ∵ 分别是 的中点 E,P,M,N BC,AD,AE,CD 1 1 1 ∴ a  a  3a   a E ,2a,0 ,P ,0,a ,M ,a,0 ,N 0,a, ,         2  2   4   2 （Ⅰ） (cid:3)  3 a MN   a,0,    4 2 (cid:3) (cid:3) 取 n0,1,0，显然 n 面 ADD A 1 1 第6页 | 共12页(cid:3) (cid:3) (cid:3) ，∴(cid:3) MNn0 MN n 又 面 ∴ 面 MN  ADD A MN // ADD A 1 1 1 1 （Ⅱ）过 作 ，交 于 ，取 的中点 ，则 a ∵ P PH  AE AE H AD F F  ,0,0  2  (cid:3) a  (cid:3) a  设Hx,y,0 ，则HP x,y,a,HF  x,y,0 2  2  又(cid:3)  a  AE  ,2a,0   2   a2 a (cid:3) (cid:3)   x2ay0 由APAE 0，及H 在直线AE上，可得: 4 2   4x y4a 33 2 解得x a,y  a 34 17 ∴(cid:3)  8a 2a  (cid:3)  8a 2a ∴(cid:3) (cid:3) 即(cid:3) (cid:3) HP , ,a  ,HF  , ,0  HFAE 0 HF  AE  17 17   17 17  ∴(cid:3) 与(cid:3) 所夹的角等于二面角 的大小 HP HF PAED (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3) HPHF 2 cos HP,HF  (cid:3) (cid:3)  HP  HF 21 故：二面角 的大小为 2 21 PAED arccos 21 (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3) （Ⅲ）设 n x ,y ,z 为平面 DEN 的法向量，则 n  DE,n  DN 1 1 1 1 1 1 又 (cid:3) a  (cid:3)  a (cid:3) a  DE  ,2a,0 ,DN  0,a, ,DP ,0,a       2   2 2  a x 2ay 0 ∴    2 1 1 即   x 1 4y 1∴可取 (cid:3) n  4,1,2  2y  a z 0  z 1 2y 1 1  1 2 1 (cid:3) (cid:3) DPn 2a2a 4a 1 ∴P点到平面DEN 的距离为d  (cid:3)   n 1614 21 1 (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3) DEDN 8 (cid:3) (cid:3) 21 ∵cos DE,DN  (cid:3) (cid:3)  ，sin DE,DN  DE  DN 85 85 第7页 | 共12页∴ 1 (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3) 21 S  DE  DN sin DE,DN  a2 DEN 2 8 1 1 21 4a a3 ∴ V  S d   a2  PDEN 3 DEN 3 8 21 6 （20）（本大题满分12分） 本小题主要考察等差数列、等比数列的基础知识，以及对数运算、导数运算和极限运算的 能力，同时考查分类讨论的思想方法，满分12分。 解：（Ⅰ）由题意，a 是首项为 1 ，公差为 2 的等差数列 n 112n1 前n项和S  nn2，lnS lnn2 2lnn n 2 n U 2ln1ln2lnn2lnn! n （Ⅱ） F x eUn x2n  n!2 x2n  x2n F 'x x2n1 n 2nn!2 2nn!2 2n n x  1x2n  0x1  1x2 n n  T xF'xx2k1 n x1 n k k1 k1  x  1x2n  x1   1x2     1x2n lim 1 0 x1  n1x2n2  T x  n lim n lim 1 x1 nT n1 x nn1   1  1     x2n  lim x1 n 1  x2     x2n   （21）（本大题满分14分） 本小题主要考察双曲线的定义和性质、直线与双曲线的关系、点到直线的距离等知识及解 析几何的基本思想、方法和综合解决问题的能力。满分12分。 解：由双曲线的定义可知，曲线 是以    为焦点的双曲线的左支， E F  2,0 ,F 2,0 1 2 且 ，易知 c 2,a1 b1 故曲线 E 的方程为 x2  y2 1x0 第8页 | 共12页 y kx1 设 Ax ,y ,Bx ,y ，由题意建立方程组  1 1 2 2 x2  y2 1 消去y，得 1k2 x2 2kx20 又已知直线与双曲线左支交于两点 ，有 A,B  1k2 0  2k2 8  1k2 0  2k 解得   2 k 1 x x  0  1 2 1k2  2  xx  0  1 2 1k2 又∵ AB  1k2  x x  1k2  x x 2 4x x 1 2 1 2 1 2  2k  2 2  1k2 2k2  1k2   1k2   4 1k2 2  1k22  1k2 2k2 依题意得2 6 3整理后得28k4 55k2 250  1k22 ∴ 5 或 5 但 ∴ 5 k2  k2   2 k 1 k  7 4 2 故直线 的方程为 5 AB x y10 2 (cid:3) (cid:3) (cid:3) 设 Cx ,y ，由已知 OAOB mOC ，得x ,y x ,y mx ,my  c c 1 1 2 2 c c ∴ mx ,my   x 1 x 2 , y 1  y 2 ，m0   c c  m m  又 2k ， 2k2 2 x x  4 5 y  y kx x 2 2 8 1 2 k2 1 1 2 1 2 k2 1 k2 1 ∴点 4 5 8  C ,    m m   80 64 将点C的坐标代入曲线E的方程，得  1 m2 m2 得m4，但当m4时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意   ∴m4，C点的坐标为  5,2 第9页 | 共12页5     5 21 2 1 C到AB的距离为  2 3  5   12 2   1 1 ∴ABC的面积S  6 3  3 2 3 （22）（本大题满分14分） 本小题主要考查导数的基本性质和应用，函数的性质和平均值不等式等知识及综合分析、 推理论证的能力，满分14分。 2 证明：（Ⅰ）由 f x x2  alnx x f x  f x  1  1 1  a 得 1 2   x2 x 2    lnx lnx  2 2 1 2 x x  2 1 2 1 2 1 x x   x2 x 2  1 2 aln x x 2 1 2 x x 1 2 1 2 2 x x  x x  4 x x f 1 2  1 2  aln 1 2      2   2  x x 2 1 2 而1 2  x 1 2x 2 2  1 4    x 1 2x 2 2 2x 1 x 2   2     x 1  2 x 2    2① 又x x 2   x2 x 2 2x x 4x x 1 2 1 2 1 2 1 2 x x 4 ∴ 1 2  ② x x x x 1 2 1 2 x x x x ∵ x x  1 2 ∴ln x x ln 1 2 1 2 2 1 2 2 x x ∵a0∴aln xx aln 1 2 ③ 1 2 2 由①、②、③得 2 1  x2x 2  x 1 x 2 aln x x  x 1 x 2   4 aln x x   2 1 2 x x 1 2  2  x x 1 2 1 2 1 2 即 f x  f x  x x  1 2  f 1 2   2  2  2 2 a （Ⅱ）证法一：由 f x x2  alnx，得 f'x2x  x x2 x ∴ f'x  f'x    2x  2  a    2x  2  a    x x  2 2x 1 x 2   a 1 2  1 x2 x   2 x 2 x  1 2 x2x 2 xx 1 1 2 2 1 2 1 2 第10页 | 共12页2x x  a f'x  f'x   x x  2 1 2  1 1 2 1 2 x2x 2 x x 1 2 1 2 2x x  a 下面证明对任意两个不相等的正数 x ,x ,有 2 1 2  1 恒成立 1 2 x2x 2 x x 1 2 1 2 2x x  即证 a x x  1 2 成立 1 2 x x 1 2 2x x  4 ∵x x  1 2  x x  1 2 x x 1 2 x x 1 2 1 2 4 4 设t  x x ,uxt2  t 0 ，则u'x2t 1 2 t t2 令 u'x0 得 t  3 2 ，列表如下：     t 0,3 2 3 2 3 2, _ u't 0  ut  极小值33 4  2x x  ut33 4  3108 4a ∴ x x  1 2 a 1 2 x x 1 2 ∴对任意两个不相等的正数x ,x ，恒有 f 'x  f 'x   x x 1 2 1 2 1 2 2 2 a 证法二：由 f x x2  alnx，得 f 'x2x  x x2 x  2 a   2 a  2x x  a ∴ f'x  f'x   2x   2x     x x  2 1 2  1 2  1 x2 x   2 x 2 x  1 2 x2x 2 x x 1 1 2 2 1 2 1 2 ∵ 是两个不相等的正数 x ,x 1 2 2x x  a 4 a 4 4 ∴2 1 2  2  2  x2x 2 xx  3 xx  3 x x 1 2 1 2 xx 1 2 x x 1 2 1 2 1 2 1 设 t  ， ut24t34t2t 0 x x 1 2 则 u't4t3t2，列表：  2 2 2  t 0, ,      3 3 3  _ u't 0  第11页 | 共12页38 ut  极小值  27 38 2x x  a ∴ u  1 即 2 1 2  1 27 x2x 2 x x 1 2 1 2 ∴ f'x  f'x   x x  2 2x 1 x 2   a  x x 1 2 1 2 x2x 2 x x 1 2 1 2 1 2 即对任意两个不相等的正数x ,x ，恒有 f 'x  f 'x   x x 1 2 1 2 1 2 第12页 | 共12页