2006年四川高考理科数学真题及答案_数学高考真题试卷_旧1990-2007·高考数学真题_1990-2007·高考数学真题·PDF_四川

2006 年四川高考理科数学真题及答案 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3 到8页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。 3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 参考公式： 如果事件A、B互斥，那么球是表面积公式 P(AB)  P(A)P(B) S  4R2 如果事件A、B相互独立，那么其中R表示球的半径 P(AB)  P(A)P(B)球的体积公式 4 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么V  R3 3 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率其中R表示球的半径 P (k) CkPk(1P)nk n n 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1.已知集合A=  x|x25x60  ,Bx| 2x1 3,则集合A B＝  （A）x|2 x3 （B）x|2x3 （C）x|2x3 （D）x|1x3 2.复数13i3 的虚部为 （A）3 （B）－3 （C）2 （D）－2. 2x3,x1 3.已知 f(x) ,下面结论正确的是 2, x1 （A）f(x)在x=1处连续 （B）f(1)＝5 （C）lim f(x)2 （D）lim f(x)5 x1－ x1 4. 已 知 二 面 角 l的 大 小 为 600， m、n为异面直线，且m，n，则m、n 所成的角为 （A）300 （B）600 （C）900 （D）1200 5.下列函数中，图像的一部分如右图所示的是   （A）ysin(x ) （B）ysin(2x ) 6 6   （C）ycos(4x ) （D）ycos(2x ) 3 6 6. 已知两定点 A(2,0), B(1,0),如果动点 P 满足条件 PA 2 PB,则点P的轨迹所包围的图形的面积等于  （A） （B）4 （C）8 （D）9 7.如图,已知正六边形PPPPPP ，下列向量的数量积中最大的是 1 2 3 4 5 6         （A）PP PP （B）PP PP （C）PP PP （D）PP PP 1 2 1 3 1 2 1 4 1 2 1 5 1 2 1 6 8.某厂生产甲产品每千克需用原料A和原料B分别为a、b 千克，生产 1 1 第1页 | 共12页乙产品每千克需用原料A和原料B分别为a、b 千克。甲、乙产品每千克可获利润分别为 2 2 d、d 元。月初一次性购进本月用原料A、B各c、c 千克。要计划本月生产甲、乙两种产 1 2 1 2 品各多少千克才能使月利润总额达到最大。在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别 为ｘ千克、ｙ千克，月利润总额为ｚ元，那么，用于求使总利润z d xd y最大的数学 1 2 模型中，约束条件为 a xa yc , a xb yc, a xa yc , axa yc,  1 2 1  1 1 1  1 2 1  1 2 1 （A）   b 1 xb 2 yc 2 , （B）  a 2 xb 2 yc 2 , （C）   b 1 xb 2 yc 2 , （D）  b 1 xb 2 yc 2 ,  x0,  x0,  x0,  x0,  y0  y0  y0  y0 9.直线ｙ＝ｘ－3与抛物线y2  4x交于A、B两点，过A、B两点向抛物线的准线作垂线， 垂足分别为P、Q ，则梯形APQB的面积为 （A）48 （B）56 （C）64 （D）72. 10.已知球O半径为1，A、B、C三点都在球面上，A、B两点和A、C两点的球面距离都是 ，B、C两点的球面距离是  ，则二面角BOAC的大小是 4 3    2 （A） （B） （C） （D） 4 3 2 3 11.设a、b、c分别为ABC的三内角A、B、C 所对的边，则a2 b(bc)是A=2B的 （A）充要条件（B）充分而不必要条件（C）必要而不充分条件（D）既不充分也不必要条件 12.从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被３ 整除的概率为 （A）19 （B） 35 （C） 38 （D） 41 54 54 54 60 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。 13.在三棱锥O-ABC中，三条棱OA、OB、OC两两互相垂直，且OA＝OB＝OC,M是AB的中点， 则OM与平面ABC所成角的大小是______________（用反三角函数表示）。 14.设离散型随机变量ξ可能取的值为1，2，3，4.P(ξ＝k)＝ak+b(k=1，2，3，4),又ξ的 数学期望Eξ＝3，则ａ＋ｂ＝______________。 x2 y2 15.如图把椭圆  1的长轴AB分成8分，过每个分点 25 16 作ｘ轴的垂线交椭圆的上半部分于P,P ,……P 七个点，F 1 2 7 是椭圆的一个焦点，则 PF  PF ...... PF ____________． 1 2 7 16.非空集合G关于运算满足：（1）对任意的a,bG,都有abG,(2)存在eG,都 有abba a,则称G关于运算为“融洽集”。现给出下列集合和运算： ①G＝｛非负整数｝，为整数的加法。 ②G＝｛偶数｝，为整数的乘法。 ③G＝｛平面向量｝，为平面向量的加法。 ④G＝｛二次三项式｝，为多项式的加法。 ⑤G＝｛虚数｝，为复数的乘法。 其中G关于运算为“融洽集”的是________。（写出所有“融洽集”的序号） 三.解答题共6个小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 第2页 | 共12页17．（本小题满分12分） 已知A、B、C是ABC三内角，向量m(1, 3), n(cosA,sinA), 且mn1. （Ⅰ）求角A 1sin2B （Ⅱ）若 3,求tanC。 cos2Bsin2B 18．（本小题满分12分） 某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分 考核都“合格”则该课程考核“合格”。甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为 0.9、0.8、0.7；在实验考核中合格的概率分别为0.8、0.7、0.9。所有考核是否合格相互 之间没有影响。 （Ⅰ）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率； （Ⅱ）求这三人该课程考核都合格的概率（结果保留三位小数）。 19．（本小题满分12分） 如图,长方体ABCD-A B C D 中，E、P分别是BC、A D 的中点, 1 1 1 1 1 1 M、N分别是AE、CD 的中点,AD=A A a, Ab=2a, 1 1 1 （Ⅰ）求证：MN//平面ADD A;； 1 1 （Ⅱ）求二面角PAED的大小； （Ⅲ）求三棱锥P－DEN的体积。 20．（本小题满分12分） 已知数列 a  ，其中 a 1,a 3, 2a  a a ,(n  2) 记数列 a  的 n 1 2 n n1 n1 n lnS  前n项和为S ,数列 的前n项和为U . n n n (Ⅰ)求U ； n eU N n (Ⅱ)设F (x) x2n, T (x)F1(x),（其中F1(x)为F (x)的导函数）， n 2n(n!)2 n k k k i1 T (x) lim n 计算 nT (x) n1 21．（本小题满分12分）   已知两定点F( 2,0), F ( 2,0),满足条件 PF  PF 2的点P的轨迹是曲线E，直线 1 2 2 1  ｙ＝kx－1 与曲线 E交于 A、B 两点。如果 AB 6 3,且曲线 E上存在点 C，使    OAOBmOC,求m的值和ABC的面积S。 第3页 | 共12页22．（本小题满分14分） 2 f(x)  x2+ +alnx(x 0), f(x) 已知函数 f(x)的导函数是 。对任意两个不相等的正数 x x、x ，证明： 1 2 f(x ) f(x ) x x （Ⅰ）当a0时， 1 2  f( 1 2)； 2 2 （Ⅱ）当a4时， f(x ) f(x )  x x 。 1 2 1 2 2006年四川高考理科数学真题参考答案 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分； 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C D D B D B A C A C A B 二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分；把答案填在题中的横线上。 1 （13）arctan 2 ；（14） ；（15）35；（16）①，③ 10 三．解答题：本大题共6小题，共74分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的公式 以及倍角公式，考察应用、分析和计算能力。满分12分。     解：（Ⅰ）∵mn1∴ 1, 3 cosA,sinA1即 3sin AcosA1 2    sinA 3 cosA 1   1,sin  A   1  2 2   6 2   5    ∵0 A,  A  ∴A  ∴A 6 6 6 6 6 3 12sinBcosB （Ⅱ）由题知 3，整理得sin2 BsinBcosB2cos2 B0 cos2 Bsin2 B ∴cosB0∴tan2 BtanB20 ∴tanB2或tanB1 而tanB1使cos2 Bsin2 B0，舍去∴tanB2 tan AtanB 2 3 85 3 ∴tanC tanAB tanAB      1tan AtanB 12 3 11 （18）（本大题满分12分） 本小题主要考察相互独立事件、互斥事件、对立事件等概率的计算方法，考察应用概率知识 解决实际问题的能力。满分12分。 解：记“甲理论考核合格”为事件A；“乙理论考核合格”为事件A ；“丙理论考核合格” 1 2 为事件A ；记A 为A的对立事件，i 1,2,3；记“甲实验考核合格”为事件B ；“乙实验 3 i i 1 第4页 | 共12页考核合格”为事件B ；“丙实验考核合格”为事件B ； 2 3 （Ⅰ）记“理论考核中至少有两人合格”为事件C，记C为C的对立事件 解法1：PC P  AA A  A A A  AA A  AA A  1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3  P  AA A  P  A A A  P  AA A  PAA A  1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 0.90.80.30.90.20.70.10.80.70.90.80.7 0.902 解法2：PC1P  C  1P  A A A  A A A  AA A  A A A  1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1P  A A A  P  A A A  P  AA A  P  A A A   1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3  10.10.20.30.90.20.30.10.80.30.10.20.7 10.098 0.902 所以，理论考核中至少有两人合格的概率为0.902 （Ⅱ）记“三人该课程考核都合格”为事件D PD PA B A B A B   1 1 2 2 3 3   PA B PA B PA B  1 1 2 2 3 3  PA PB PA PB PA PB  1 1 2 2 3 3 0.90.80.80.80.70.9 0.254016 0.254 所以，这三人该课程考核都合格的概率为0.254 （19）（本大题满分12分） 本小题主要考察长方体的概念、直线和平面、平面和平面的关系等基础知识，以及空间想象 能力和推理能力。满分12分 解法一：（Ⅰ）证明：取CD的中点K，连结MK,NK ∵M,N,K 分别为AK,CD,CD的中点 1 ∵MK // AD,NK //DD 1 ∴MK //面ADD A ，NK //面ADD A 1 1 1 1 ∴面MNK //面ADD A ∴MN //面ADD A 1 1 1 1 （Ⅱ）设F 为AD的中点 ∵P为AD 的中点∴PF//DD∴PF 面ABCD 1 1 1 第5页 | 共12页作FH  AE，交AE于H ，连结PH ，则由三垂线定理得AE  PH 从而PHF为二面角PAED的平面角。 a a 17 2a 在RtAEF 中，AF  ,EF 2a,AE  a，从而 AFEF 2 2a FH    2 2 AE 17 17 a 2 PF DD 17 在RtPFH 中，tanPFH   1  FH FH 2 17 故：二面角PAED的大小为arctan 2 1 1 1 5 （Ⅲ）S  S  BCCD  a a2 4a2  a2 NEP 2 矩形ECD 1 P 4 1 4 4 作DQCD ，交CD 于Q，由AD 面CDDC 得AC  DQ 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴DQ面BCD A 1 1 CDDD 2aa 2 ∴在RtCDD 中，DQ 1   a 1 CD 5a 5 1 1 1 5 2 1 ∴V V  S DQ  a2 a  a3 PDEN DENP 3 NEP 3 4 5 6 方法二：以D为原点，DA,DC,DD 所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立直角坐标系， 1 则 Aa,0,0,Ba,2a,0,C0,2a,0,A a,0,a,D 0,0,a 1 1 ∵E,P,M,N分别是BC,AD,AE,CD 的中点 1 1 1 a  a  3a   a ∴E ,2a,0 ,P ,0,a ,M ,a,0 ,N 0,a, ,         2  2   4   2   3 a （Ⅰ）MN    a,0,   4 2   取n0,1,0，显然n面ADD A 1 1     MNn0，∴MN n 又MN 面ADD A ∴MN //面ADD A 1 1 1 1 a  （Ⅱ）过P作PH  AE，交AE于H ，取AD的中点F ，则F  ,0,0 ∵ 2  第6页 | 共12页设Hx,y,0，则  H  P     a x,y,a  ,  H  F     a x,y,0   2  2    a  又AE   ,2a,0    2   a2 a   由APAE 0，及H 在直线AE上，可得:   x2ay0  4 2   4x y4a 33 2 解得x a,y  a 34 17   8a 2a    8a 2a      ∴HP , ,a  ,HF  , ,0  ∴HFAE 0即HF  AE  17 17   17 17    ∴HP与HF所夹的角等于二面角PAED的大小     HPHF 2 cos HP,HF     HP  HF 21 2 21 故：二面角PAED的大小为arccos 21      （Ⅲ）设n x ,y ,z 为平面DEN的法向量，则n  DE,n  DN 1 1 1 1 1 1  a    a  a  又DE  ,2a,0 ,DN  0,a, ,DP ,0,a       2   2 2  a x 2ay 0  2 1 1 x 4y  ∴ 即 1 1∴可取n 4,1,2 a z 2y 1  2y  z 0  1 1  1 2 1   DPn 2a2a 4a 1 ∴P点到平面DEN的距离为d     n 1614 21 1     DEDN 8   21 ∵cos DE,DN   ，sin DE,DN    DE  DN 85 85 1     21 ∴S  DE  DN sin DE,DN  a2 DEN 2 8 1 1 21 4a a3 ∴V  S d   a2  PDEN 3 DEN 3 8 21 6 （20）（本大题满分12分） 第7页 | 共12页本小题主要考察等差数列、等比数列的基础知识，以及对数运算、导数运算和极限运算的能 力，同时考查分类讨论的思想方法，满分12分。 解：（Ⅰ）由题意，a 是首项为1，公差为2的等差数列 n 112n1 前n项和S  nn2，lnS lnn2 2lnn n 2 n U 2ln1ln2 lnn2lnn! n  （Ⅱ）F x eUn x2n  n!2 x2n  x2n F 'x x2n1 n 2nn!2 2nn!2 2n n x  1x2n  0x1  1x2 n n  T xF'xx2k1 n x1 n k k1 k1  x  1x2n  x1   1x2     1x2n lim 1 0 x1  n1x2n2  T x  n lim n lim 1 x1 nT n1 x nn1   1  1     x2n  lim x1 n 1  x2     x2n   （21）（本大题满分14分） 本小题主要考察双曲线的定义和性质、直线与双曲线的关系、点到直线的距离等知识及解析 几何的基本思想、方法和综合解决问题的能力。满分12分。 解：由双曲线的定义可知，曲线E是以F   2,0  ,F  2,0  为焦点的双曲线的左支， 1 2 且c 2,a1，易知b1 故曲线E的方程为x2  y2 1x0  y kx1 设Ax ,y ,Bx ,y ，由题意建立方程组 1 1 2 2 x2  y2 1 消去 y，得  1k2 x2 2kx20 又已知直线与双曲线左支交于两点A,B，有 第8页 | 共12页 1k2 0  2k2 8  1k2 0  解得 2 k 1 2k  x x  0  1 2 1k2  2  xx  0  1 2 1k2 又∵ AB  1k2  x x  1k2  x x 2 4x x 1 2 1 2 1 2  2k  2 2  1k2 2k2  1k2    4 2 1k2  1k2  1k22  1k2 2k2 依题意得 整理后得28k4 55k2 250 2 6 3  1k22 5 5 5 ∴k2  或k2  但 2 k 1∴k  7 4 2 5 故直线AB的方程为 x y10 2    设Cx ,y ，由已知OAOBmOC，得x ,y x ,y mx ,my  c c 1 1 2 2 c c  x x y  y  ∴mx ,my  1 2 , 1 2 ，m0   c c  m m  2k 2k2 2 又x x  4 5，y  y kx x 2 2 8 1 2 k2 1 1 2 1 2 k2 1 k2 1 4 5 8  ∴点 C ,    m m   80 64 将点C的坐标代入曲线E的方程，得  1 m2 m2 得m4，但当m4时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意   ∴m4，C点的坐标为  5,2 5   C到AB的距离为   5 21 2 1  2 3  5   12 2   1 1 ∴ABC的面积S  6 3  3 2 3 （22）（本大题满分14分） 第9页 | 共12页本小题主要考查导数的基本性质和应用，函数的性质和平均值不等式等知识及综合分析、推 理论证的能力，满分14分。 2 证明：（Ⅰ）由 f x x2  alnx x f x  f x  1  1 1  a 得 1 2   x2 x 2    lnx lnx  2 2 1 2 x x  2 1 2 1 2 1 x x   x2 x 2  1 2 aln x x 2 1 2 x x 1 2 1 2 2 x x  x x  4 x x f 1 2  1 2  aln 1 2      2   2  x x 2 1 2 而 1 2  x 1 2x 2 2  1 4    x 1 2x 2 2 2x 1 x 2   2     x 1  2 x 2    2 ① 又x x 2   x2 x 2 2x x 4x x 1 2 1 2 1 2 1 2 x x 4 ∴ 1 2  ② x x x x 1 2 1 2 x x x x ∵ x x  1 2 ∴ln x x ln 1 2 1 2 2 1 2 2 x x ∵a0∴aln xx aln 1 2 ③ 1 2 2 由①、②、③得 2 1  x2x 2  x 1 x 2 aln xx  x 1 x 2   4 aln xx   2 1 2 xx 1 2  2  x x 1 2 1 2 1 2 f x  f x  x x  即 1 2  f 1 2   2  2  2 2 a （Ⅱ）证法一：由 f x x2  alnx，得 f'x2x  x x2 x  2 a   2 a  2x x  a ∴ f'x  f'x   2x   2x     x x  2 1 2  1 2  1 x2 x   2 x 2 x  1 2 x2x 2 xx 1 1 2 2 1 2 1 2 2x x  a f'x  f'x   x x  2 1 2  1 1 2 1 2 x2x 2 x x 1 2 1 2 2x x  a 下面证明对任意两个不相等的正数x ,x ,有2 1 2  1恒成立 1 2 x2x 2 x x 1 2 1 2 第10页 | 共12页2x x  即证a x x  1 2 成立 1 2 x x 1 2 2x x  4 ∵x x  1 2  x x  1 2 x x 1 2 x x 1 2 1 2 4 4 设t  x x ,uxt2  t 0，则u'x2t 1 2 t t2 令u'x0得t  3 2 ，列表如下：     t 0,3 2 3 2 3 2, u't _ 0  ut 极小值33 4   2x x  ut33 4  3108 4a∴x x  1 2 a 1 2 x x 1 2 ∴对任意两个不相等的正数x ,x ，恒有 f 'x  f 'x   x x 1 2 1 2 1 2 2 2 a 证法二：由 f x x2  alnx，得 f 'x2x  x x2 x 2x x  a ∴ f'x 1  f'x 2      2x 1  x 2 1 2  x a 1        2x 2  x 2 2 2  x a 2     x 1 x 2  2 x 1 1 2x 2 2 2  x 1 x 2 ∵x ,x 是两个不相等的正数 1 2 2x x  a 4 a 4 4 ∴2 1 2  2  2  x2x 2 xx  3 xx  3 x x 1 2 1 2 xx 1 2 x x 1 2 1 2 1 2 1 设t  ，ut24t34t2t 0 x x 1 2 则u't4t3t2，列表：  2 2 2  t  0,   ,   3 3 3  u't _ 0  38 ut 极小值   27 第11页 | 共12页38 2x x  a ∴u  1即2 1 2  1 27 x2x 2 x x 1 2 1 2 2x x  a ∴ f'x  f'x   x x  2 1 2   x x 1 2 1 2 x2x 2 x x 1 2 1 2 1 2 即对任意两个不相等的正数x ,x ，恒有 f 'x  f 'x   x x 1 2 1 2 1 2 第12页 | 共12页