文档内容
河南省焦作市普通高中2024-2025学年高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题
1．已知复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知函数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3． 的展开式中常数项为（ ）
A． B． C． D．
4．记 为等差数列 的前n项和，已知 ， ，则 （ ）
A．2 B．1 C． D．0
5．已知底面半径为1的圆锥的体积为 ，则该圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
6．已知 是数列 的前n项和， ，则 （ ）
A．2575 B．3435 C．4345 D．5135
7．若函数 在 时取得极大值0，则 （ ）
A． B． 或 C． D．
8．已知 是椭圆 的左焦点，经过坐标原点的直线与 交于 两点，若 ，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知函数 ，则（ ）
A． 是 的周期
B． 在区间 上单调递减
C． 是奇函数
D． 在区间 上恰有2个零点
10．已知数列 的通项公式是 ，前 项和为 ，则（ ）
A．数列 是等差数列
B．存在 ，使得 成立
C．当 时， 最大
D．数列 的最大值为
11．已知关于x的不等式 对任意 恒成立，则实数k的可能取值为（ ）
A． B． C．e D．2e
三、填空题
12．函数 的图象在点 处的切线方程为 .13．已知非零向量 ， 满足 ，且 在 上的投影向量为 ，则向量 ， 的夹角
.
14．已知 ， 分别是双曲线 的左、右焦点，过点 的直线与C的右支交于
A，B两点，若 ， ，则C的离心率为 .
四、解答题
15．已知等差数列 的前n项和为 ， ， .
(1)求 的通项公式；
(2)已知 ，求数列 的前n项和 .
16．记 为数列 的前n项和， ， .
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前n项和 .
17．已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)当 时，求证： .
18．如图，在三棱锥 中，P，Q分别是 ， 的中点， ，
.(1)证明：平面 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)求三棱锥 的外接球的表面积.
19．已知函数 的定义域为 ，数列 满足 ，若存在数列 满足 ， ，且
，则称 为 关于 的对称数列.
(1)若 ， ，求数列 关于 的一个对称数列；
(2)已知函数 ，数列 为数列 关于 的对称数列，且 ， ，证明：
；
(3)已知函数 ，数列 为数列 关于 的对称数列，证明： .题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A B B D B C C ACD ABD
题号 11
答案 BCD
1．D
由条件，结合复数运算法则求 再根据共轭复数求 .
【详解】 由题可知 ，∴ .
故选：D.
2．A
求出 ，再代入计算即可.
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 .
故选：A.
3．B
写出二项展开式通项，令 的指数为零，求出参数的值，再代入通项即可得解.
【详解】 的展开式的通项为 ，
令 ，得 ，所以常数项为 ．
故选：B．
4．B
根据等差数列通项的基本量以及前 项和的计算即可求解.
【详解】设数列 的公差为d，因为 ，所以 ，
所以 .故选：B.
5．D
应用圆锥的体积公式列方程求高，进而求母线长，再应用圆锥侧面积公式求侧面积.
【详解】设该圆锥的高、母线长分别为h，l，由题知 ，则 ，
所以 ，则该圆锥的侧面积 .
故选：D
6．B
根据已知，应用分组求和、等比数列前n项和公式求 .
【详解】由题知
.
故选：B
7．C
利用导数求函数的极值即可.
【详解】由题知 ， ，
由 在 时取得极大值，∴ ，解得 或 ，
经检验，当 时， ，
由 ， ，所以 在 上单调递减；
由 ， ，所以 在 上单调递增；
此时 在 时取得极大值，满足题意，故 ，
当 时， ，则 在 上单调递增，不符合题意，故舍去 ；
∴ ，将 代入 ，解得 ，所以 .
故选：C.
8．C
根据椭圆定义求出 ， 后，再利用余弦定理解三角形计算即可求解.
【详解】设 为 的右焦点，连接 ， ，如图，则四边形 为平行四边形，
∴ ，由椭圆定义知， ，
∴ ， .
在 中， ，
∴ .
在 中， .
故选：C.
9．ACD
本题考查余弦型函数的图象与性质，由题可知 ，所以可知 ，再根据解析式
逐项分析即可.
【详解】由题知， ，所以最小正周期 ，故A正确；当 时， ，令 ，则 在区间 上单调递减，在区间
上单调递增，故 在区间 上先减后增，故B错误；
为奇函数.故C正确；
令 ，得 ， ，∴ ， ，当 时， ，当
时， ，均是 在区间 上的零点，故D正确.
故选：ACD.
10．ABD
利用等差数列的定义可判断A选项；取 可判断B选项；分析可知当 时， ，当 时，
，可判断C选项；化简 的表达式，结合二次函数的基本性质可判断D选项.
【详解】∵ ，∴ ，
，
则 为等差数列，故A正确；
∵ ， ，∴ ，故B正确；
∵当 时， ，当 时， ，∴当 时， 最大，故C错误；
∵ ，， ，
∴当 时， ，当 或 时， ，
的最大值为 ，故D正确.
故选：ABD.
11．BCD
分情况讨论函数单调性，利用导数求出函数的最值，画出图像，找出相切情况，进而可得出答案.
【详解】解析 由题知，不等式 对任意 恒成立，
设 ，则 ，当 时， ，当 时， ，∴ 在区间
上单调递减，在区间 上单调递增，
当 时， ，当 时， ，
当 时， ， ，∴当 时 .直线 恒过点 ，
设直线 与 的图像相切时，切点为 ，∴ ，解得
或 ，
∴直线 与 的图象相切时，切线斜率分别为 ， ，
在同一坐标系中作出函数 的图象与直线 ，由图知，要使 对 恒成立，
则 ，
故选：BCD.12．
先求导函数，再求得导函数及原函数在1处的函数值，得到切线的斜率及切点坐标，利用点斜式写出切线
方程.
【详解】由题知， ， ，切线的斜率 ，
∴切线方程为 ，即 .
故答案为： .
13．
先根据投影向量定义得 ，再根据向量垂直得到 ，再由向量夹角的求法求解即可.
【详解】因为 在 上的投影向量为 ，所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，所以
，因为 ，所以 .
故答案为：
14．2或由已知和双曲线的定义，可得 ， ， ， ，在
中， ，在 中，利用余弦定理表示出 ，利用
，列出方程，化简可得关于 的齐次式，进而求出C的离心率.
【详解】
设C的半焦距为 ，D为线段 的中点，连接 .
∵ ，∴ ，
∴ 是线段 的垂直平分线，∴ ， ，
由双曲线的定义知， ，
∵ ，∴ ，
∴ .
∵ ， ，
在 中， ，
在 中， ，∴ ，
化简得 ，解得 或 .
故答案为：2或 .
15．(1)
(2)
（1）设出等差数列的公差，结合等差数列通项及前n项和列出方程求解即可.
（2）由（1）的结论，利用裂项相消法求和即可.
【详解】（1）设 的公差为d，依题意， ，解得 ， ，
所以 的通项公式 .
（2）由（1）知， ，
所以
.
16．(1)
(2)
（1）利用 关系，化简计算可得数列为等比数列，即可得到答案；
（2）由（1）可得 ，再利用错位相减法求和，即可得到答案；【详解】（1）∵ ， ，①
∴当 时， ，
当 时， ，②
①-②，得 ，
∴ ，
又 ，∴ 是首项为1，公比为3的等比数列，
∴ .
（2）由（1）知， ，
∴ ，③
∴ ，④
③-④，得
，
∴ .
17．(1)答案见解析；
(2)证明见解析.
（1）对函数求导，应用分类讨论研究导数的符号确定区间单调性；
（2）问题化为证明 ，构造 并利用导函数研究不等式恒成立，即可证.
【详解】（1）由 的定义域为 ，，
若 ，则 ， 在 内单调递增，
若 ，当 时 ， 在 内单调递减，
当 时， ，在 内单调递增.
综上，当 时， 在 上单调递增，
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
（2）当 时，由 ，得 ，
设 ，则 ，
设 ，则 ，则 即 在 内单调递增，
∵ ， ，
∴存在 ，使得 ，即 ，即 ， ，
当 时， ， 在 内单调递减，
当 时， ，在 内单调递增，
∴ ，
∵当 ，即 时， ，上式取不到等号，
∴ 时， .
18．(1)证明见解析(2)
(3)
（1）设O为 的中点，连接 ， ，由勾股定理逆定理可证得 ， ，可证
平面 ，利用线面垂直的性质即可证得结果；
（2）以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算，即可求得直线 与平面
所成角的正弦值；
（3）设三棱锥 的外接球的球心为 ，半径为 ，由 ，列出方程组，
解出 ，由 ,利用坐标运算求出 ，利用球的表面积公式即可求出结果.
【详解】（1）
设O为 的中点，如图，连接 ， ，
∵ ，
则 ，∴ ，
∵P是 的中点，∴ ， .
又 ，
则 是边长为2的正三角形，∴ ， ，
∴ ，∴ .
∵ ， 平面 ， 平面 ，平面 ，
∵ 平面 ，∴平面 平面 .
（2）由（1）知， 两两垂直，
以O为坐标原点， ， ， 的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系 ，如图，
因为P，Q分别是 ， 的中点， ，
则 ， ， ， ， ， ，
∴ ， ， .
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ，得 ，
∴平面 的一个法向量为 .
设直线 与平面 所成的角为 ，
则 ，
∴直线 与平面 所成角的正弦值为 .
（3）设三棱锥 的外接球的球心为 ，半径为 ，则 ，
即 ，解得 ， ， ，所以 ，
则 ，
∴ ，
∴三棱锥 的外接球的表面积为 .
19．(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）由题知，数列 是 关于函数 的一个对称数列.
理由如下：
由题知， ，定义域为 ，
∵对任意 ， ， ， ，
， ，
∴ ，
∴数列 是 关于函数 的一个对称数列.
（2）由题知， ，
∴ ，∴ ，即 ，
∵ ，∴ ，
∴ .
（3）由题知 ， ，
当 时， ，当 时， ，
∴ 在区间 内单调递减，在区间 内单调递增.
由题知， ， ， ，
不妨令 ，则一定有 ，
要证 ，即证 ，即 ，
又 在区间 内单调递减，
∴只需证 ，即证 ，
即证 ，即证 .
设 ，即证 ，
∵ 在区间 内单调递增，∴只需证 ，
两边取对数得 ，设 ，则当 时， ，
∴ 在区间 内单调递增，∴ ，
∴ ，
