文档内容
重庆市高 2024 届高三第三次质量检测
数 学 试 题
命审单位：重庆南开中学
注意事项：
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1.已知集合U={−2,0,1,3,5},A={ −2,3,5},B={0,2,4},则(C A)∪B=
U
A.{ -2,0,2,4} B.{ -2,0,1,2,4}
C.{0,1,2,4} D. {0,2,4}
2.已知i为虚数单位,则复数(2+i)(1−i)的虚部为
A. i B. −i C.1 D. -1
3.已知向量 ⃗a=(2,−1),⃗b=(−3,3),⃗c=(3,m),且 (⃗a+⃗c)⊥⃗b,则m=
A.4 B.6 C. -4 D. -6
( π)
4.已知 α∈ 0, ,且5cos 2α+cosα+3=0,则 tanα=
2
2 √21 √21
A.√21 B. C. D.
5 5 2
5.已知等比数列{a }的前n项和为S ，公比为2，且a₂,a₃+3,a₄成等差，则 S₅=
n n
A.62 B.93 C.96 D.64
6.已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)f(x−2)=4,f(x)>0 ，f(2024) =1.则 ∑❑ 2023f (i)=
i=1
A.4545 B.4552 C.4553 D.4554
10
7. 若数列{a n }满足 a n+1 = 9−2a ,则使得“对任意 n∈N*，都有 aₙ₊₁>aₙ"成立的一个充分条件是
n
( 5)
A.a₁∈(0,2) B.a ∈ 2,
1 2
(5 9) (9 )
C.a ∈ , D.a ∈ ,5
1 2 2 1 2
2π
8.已知函数f(x) =Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象如图所示，其中 A= ,
ω
点C是f(x)图象的一个对称中心，点 P在C左侧的图象上，是与C相邻的最高点，
直线l经过点C且与f(x)交于B，D两点，已知直线l的斜率k≥4,若 ⃗PB⋅⃗PD的最小
值为8，则ω=
π π π π
A. B. C. D.
6 4 3 2
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部
第 1 页 共 18 页选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.
9. 已知非零向量⃗a，⃗b ，⃗c下列命题正确的是
A.若⃗a∥⃗b，⃗b∥⃗c，则⃗a∥⃗c
⃗a
B.与向量⃗a共线的单位向量是
|⃗a|
C.“⃗a·⃗b ＞0”是 “⃗a与⃗b的夹角是锐角”的充分不必要条件
D.若 ⃗a,⃗b是平面的一组基底，则 ⃗a+⃗b,⃗a−⃗b也能作为该平面的一组基底
10.已知z是复数，z是其共轭复数，则下列命题中正确的是
A.z2=|z| 2
B.若|z|=1,则|z﹣1﹣i|的最大值为 √2+1
C.若 z=(1−2i)²,，则复平面内z对应的点位于第二象限
D.若1−3i是关于x的方程 x²+px+q=0(p,q∈R)的一个根,则q=−9
π 5√3
11.已知△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c, B= ,sin(A−C)= ,则下列说法正确的是
3 14
A.△ABC为锐角三角形
B. tan A =3tan C
3√3
C.若 b=√7,则△ABC的面积为
2
D.若H为△ABC 的垂心,则6⃗HA+2⃗HB+⃗HC=0⃗
x
12.已知函数f(x) =xex+ a(a∈R),g(x)= 下列说法正确的是
ex
A.若x ≠x₂,g(x₁)=g(x₂),则 x₁+x₂>2
1
B.若a=0,则 “x₁+x₂=0”是‘ f (x₁)+g(x₂)=0”的充要条件
2 1
C.若不等式f(x)0),其离心率 e= ,点 F₁,F₂分别是椭圆C 的左
a2 b2 2
右焦点，点A 是椭圆上任意一点，且 |⃗AF +⃗AF |的最大值为4.
1 2
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点 F₁作直线l与C交于P，Q两点，点M是线段PQ的中点，过点M 作直线 l的垂线交x轴于点
√6
N,若 |MN|= ,求直线l的方程.
5
21.(本小题满分12分)某校为了解高三年级 1000名学生对“高中语文必背篇目”的掌握情况，举行了一次“古
诗文”测试.现随机抽出 100名学生，对其测试成绩(满分：100分)进行统计，得到样本的频率分布直方图，
如图所示.若测试成绩低于平均分，则视为“不合格”，若测试成绩排名进入前 15%，则可获得“优秀奖”
第 3 页 共 18 页(1)请根据样本数据，估计全年级的平均分和获得“优秀奖”的划线成绩；
(2)甲、乙、丙三位同学因测试结果不理想，组成互助学习小组，通过挑战游戏的方式加强练习，挑战游
戏规则如下：游戏共有3轮，每轮由一位同学出一道“背诵”或“默写”题，另外两位同学同时独立答
题，若两位同学都答对或两位同学都答错，原出题的同学继续出题，游戏进入下一轮；若两位同学中仅
有一位同学答对，则答对的同学出下一道题，另两位同学作答；游戏进入下一轮.每答对一道“默写”
题得10分，每答对一道“背诵”题得5分，答错和出题均不得分，第一轮由甲开始出题.
1 1 1
现已知出题时，甲、乙、丙出“默写”题的概率分别为 , , ，当答题时，甲、乙、丙答对
2 3 4
“背诵”题和“默写”题的概率如下表所示：
甲 乙 丙
背 1 2 1
诵 2 3 3
默 1 1 2
写 2 3 3
①求第一轮结束时，乙的得分X的分布列和期望；
②求第三轮仍由甲出题的概率.
22.(本小题满分12分)设函数f(x) =sin x−xcos x.
(1)当x∈[−π,π]时,求函数f(x)的最值;
(2)函数g(x)=ln(x+1)−f '(x),其中f '(x)为函数f(x)的导函数,试讨论函数g(x)在( −1,2π)的零点
个数.
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