文档内容
重庆市高 2024 届高三第三次质量检测
数 学 试 题
命审单位：重庆南开中学
注意事项：
1.本试卷满分 150分，考试时间 120分钟。
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1.已知集合 ={ 2,0,1,3,5}, ={ 2,3,5}, ={0,2,4},则( ) =
� − � − � ��� ∪�
A.{-2,0,2,4} B.{-2,0,1,2,4}
C.{0,1,2,4} D.{0,2,4}
2.已知 为虚数单位,则复数(2+)(1 )的虚部为
� � −�
A. B. C.1 D.-1
3.已知� 向量 = 2 1,−�= 33, = 3 ,且 + ,则 =
� − � − � � � � ⊥� �
A.4 B.6 C.-4 D.-6
4.已知 0 ,且 5 2 + +3=0,则 =
�2
�∈ �2� � �� �21 푡� �21
A. 21 B. C. D.
5 5 2
5.已知等比数列{ }的前 n项和为 ，公比为 2，且 , +3, 成等差，则S =
₂ ₃ ₄ ₅
� � � � �
A.62 B.93 C.96 D.64
6.已知定义在 上的偶函数 ( )满足 ( ) ( 2)=4, ( )>0， (2024)=1.则 2023 =
=1
� � � � � � �− � � � ∑ � � �
A.4545 B.4552 C.4553 D.4554
10
7. 若数列{ }满足 = ,则使得“对任意n N*，都有 ₊ > "成立的一个充分条件是
+1 9 2 ∈ ₁
A.
�
0
2
� − �
B. 2
5 � �
₁ 1 2
� ∈ � ∈
59 9
C. D. 5
1 1
22 2
� ∈ � ∈
8.已知函数 ( )= ( + )( >0, >0)的部分图象如图所示，其中 =
2 ,点 C是� �( )图�象 的� 一휔个�对称�中心�，点휔 P在 C左侧的图象上，是与 C相邻的�最
�
휔 � �
高点，直线 l经过点 C且与 ( )交于 B，D两点，已知直线 的斜率 4,若
� � � �≥ 푃�⋅
的最小值为 8，则ω=
푃 A. π B. C. π D. π
6 �4 3 2
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全
部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错得 0 分.
9.已知非零向量 ， ， 下列命题正确的是
� � �
A.若 ∥ ， ∥ ，则 ∥
� � � � � �
第1页共4页
小B.与向量 共线的单位向量是
|�|
�
�
C. ＞0 是 与 的夹角是锐角”的充分不必要条件
“�·� ” “� �
D.若 , 是平面的一组基底，则 + , 也能作为该平面的一组基底
10.已知�是�复数， 是其共轭复数，�则下�列�命−题�中正确的是
A. 2�= 2 �
� �
B.若| |=1,则| ﹣1﹣|的最大值为 2+1
� � �
C.若 = 1 2 ,，则复平面内 对应的点位于第二象限
²
� − � �
D.若 1 3是关于 的方程 + + =0 的一个根,则 = 9
²
− � � � 푝� � 푝�∈ � � 5−3
11.已知 ABC中,角 A,B,C的对边分别为 a,b,c, = , = ,则下列说法正确的是
△ �3 14
� � �−�
A. ABC为锐角三角形
△
B.tan A=3tanC
33
C.若 = 7,则 ABC的面积为
△ 2
�
D.若 H为 ABC的垂心,则 6 +2 + =0
△
퐻� 퐻� 퐻�
12.已知函数 f(x)= +a(a R),g(x)= 下列说法正确的是
� ∈ �
� �
A.若
1
x₂,g(x₁)=g(x₂),则
₁
+
₂
>2
� ≠ � �
B.若 a=0,则 + =0 是‘ +g =0 的充要条件
₁ ₂ ₁ ₂
C.若不等式 ( “� )< � ( )恰有 ” 3个 � 整 � 数解，则实 � 数 a的 ” 取值范围是［ 2 －2 2, 1 )
e2
D.若不等式 � ( � )< � ( � )恰有 2023个整数解
1
,
2
,
2023
,则
−=
02
1
3 + − 20
=
2
1
3 =2023
� � � � � � ⋯� ∑ � � �� ∑ � � �� �
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.已知等差数列{ },{b }的前 项和分别为 , ,且 = 2 5 ,则 6= .
� 4 +−3 �6
� � � � � 3 1
14.已知 ABC中,M为边BC上一个动点,若 = +3 ,则 + 的最小值为 .
△
� ��� ���
� �
15.已知 F是抛物线 : =4 的焦点，直线 l与抛物线 C交于不同的两点 A,B,且
²
� � �
= 4,过F作FD AB于D,则|FD|的最大值等于 .
⊥
푂� 16 ⋅ .如图, 푂 在 � 锐角 − ABC 中, =2, = ,点 D 为 ACB 外角平分线上一
△ �3 ∠
�� ∠���
点，且 AD平分 CAB,则|AD|的取值范围是 .
∠
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 2
:
17.(本小题满分 10分)如图,正三棱锥 P-ABC中, = =6,,E,F为棱PC的三等分点.
．
푃� ��
(1)求异面直线 AE,BF夹角的余弦值；
(2)求三棱锥 A-BEF的体积.
第2页共4页18.(本小题满分 12分)已知数列 满足
1
=4,2
+1
= 3( ,λ为常数).
∗
� � � −� �⋅ ∈�
(1)若λ=-1,求证:数列 3为等比数列；
ⁿ
� −
(2)若λ≠0且{an}为等比数列,求数列 1 的前 2n项和 .
ⁿ ₃ ₂
− ��� � �
19.(本小题满分 12分)在锐角 ABC中,已知角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,且 ＋
△ ² ²
� −� � �
=0
² ²
� − � � �
(1)求角 C的值;
(2)若 = 3,求 2 + 的取值范围.
� � �
2 2 3
20.(本小题满分 12分)已知椭圆 : + =1 >0),其离心率 = ,点 , 分别是椭圆 C
�2 �2 2 ₁ ₂
� � � � � � �
的左右焦点，点 A是椭圆上任意一点，且| 1 + 2 |的最大值为 4.
�� ��
(1)求椭圆 C的方程；
(2)过点 F₁作直线 与 C交于 P，Q两点，点 M是线段 PQ的中点，过点 M 作直线 l的垂线交 轴
于点 N,若| � |= 6 ,求直线 的方程. �
5
� �
21.(本小题满分 12分)某校为了解高三年级1000名学生对“高中语文必背篇目”的掌握情况，举行了一次“古诗
文”测试.现随机抽出 100名学生，对其测试成绩(满分：100分)进行统计，得到样本的频率分布直方图，如
图所示.若测试成绩低于平均分，则视为“不合格”，若测试成绩排名进入前15%，则可获得“优秀奖”
(1)请根据样本数据，估计全年级的平均分和获得“优秀奖”的划线成绩；
(2)甲、乙、丙三位同学因测试结果不理想，组成互助学习小组，通过挑战游戏的方式加强练习，挑战游
戏规则如下：游戏共有 3轮，每轮由一位同学出一道“背诵”或“默写”题，另外两位同学同时独立答题，
若两位同学都答对或两位同学都答错，原出题的同学继续出题，游戏进入下一轮；若两位同学中仅有一
位同学答对，则答对的同学出下一道题，另两位同学作答；游戏进入下一轮.每答对一道“默写”题得 10
第3页共4页分，每答对一道“背诵”题得 5分，答错和出题均不得分，第一轮由甲开始出题.
1 1 1
现已知出题时，甲、乙、丙出“默写”题的概率分别为 , , ，当答题时，甲、乙、丙答对“背
2 3 4
诵”题和“默写”题的概率如下表所示：
甲 乙 丙
1 2 1
背诵
2 3 3
1 1 2
默写
2 3 3
求第一轮结束时，乙的得分 X的分布列和期望；
①
求第三轮仍由甲出题的概率.
②
22.(本小题满分 12分)设函数 ( )= .
� � � �−��� �
(1)当 [ , ]时,求函数 ( )的最值;
于(2)函�数∈ g(−)�=�( +1) �'�( ),其中 '( )为函数 ( )的导函数,试讨论函数 g( )在( 1,2 )的零点个
数. � � � −� � � � � � � − �
第4页共4页
