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２５届高三数学试题参考答案
１．Ｃ 存在量词命题的否定为全称量词命题．
２．Ａ 因为犃＝（－槡３，槡３），犅＝（－１，２），所以犃∩犅＝（－１，槡３）．
２ １
３．Ｄ 依题意，狓＜０，狉＝｜犗犘｜＝槡狓２＋４，其中，犗为坐标原点，则ｓｉｎα＝ ＝ ，所以狓
槡狓２＋４ ３
＝－４槡２．
４．Ａ 由犳（狓）＝（狓－２）狀，得犳′（狓）＝狀（狓－２）狀－１，则当狀＝２犽＋１，犽∈犖时，犳（狓）＝（狓－２）狀
是增函数，故“狀＝１”是“犳（狓）是增函数”的充分不必要条件．
烄 ９８
狊 －２狋－ ＋５０，狋＜８，
５．Ｂ 由题意，新设备生产的产品可获得的年平均利润狔＝ ＝烅 狋
狋
烆－狋２＋１０狋－２，狋≥８．
９８ ９８
当狋＜８时，２狋＋ ≥２８，当且仅当狋＝７时，等号成立，则－２狋－ ＋５０≤２２．当狋≥８时，－狋２
狋 狋
＋１０狋－２＝－（狋－５）２＋２３≤１４，当且仅当狋＝８时，等号成立．故当新设备生产的产品可获得
的年平均利润最大时，新设备运行的时间狋＝７．
（ π １）
６．Ｂ （方法一）因为犳（狓）的图象关于点 － ， 对称，所以犳（－狓）＋犳（－π＋狓）＝１，
２ ２
又犳（狓）＋犳（－狓）＝１，所以犳（狓）＝犳（－π＋狓），所以犳（狓）是周期为π的周期函数，所以
（１１９π） （ π） （ π） （π） ３
犳 ＝犳１０π－ ＝犳 － ＝１－犳 ＝ ．
１２ １２ １２ １２ ４
１ １ （１１９π） １ １ １１９π １ １ （
（方法二）取犳（狓）＝ － ｓｉｎ２狓满足题意，得犳 ＝ － ｓｉｎ ＝ － ｓｉｎ２０π
２ ２ １２ ２ ２ ６ ２ ２
π） １ １ π ３
－ ＝ ＋ ｓｉｎ ＝ ．
６ ２ ２ ６ ４
７．Ｂ 因为０＜狓＜π，所以０＜ω狓＜ωπ，令犳（狓）＝ｓｉｎω狓＋１＝０，则方程ｓｉｎω狓＝－１有２个
７π １１π ７ １１ （７ １１］
根，所以 ＜ωπ≤ ，解得 ＜ω≤ ，则ω的取值范围是 ， ．
２ ２ ２ ２ ２ ２
８．Ｄ 令犵（狓）＝犳（狓）－１＝狓３＋３狓，则犵′（狓）＝３狓２＋３＞０恒成立，则犵（狓）在犚上单调递增，
且犵（狓）是奇函数．由犳（ｓｉｎ狓）＋犳（犿＋ｃｏｓ狓）＝２，得犳（ｓｉｎ狓）－１＝－［犳（犿＋ｃｏｓ狓）－１］，
即犵（ｓｉｎ狓）＝犵（－犿－ｃｏｓ狓），从而ｓｉｎ狓＝－犿－ｃｏｓ狓，即犿＝－ｓｉｎ狓－ｃｏｓ狓＝
（ π）
－槡２ｓｉｎ狓＋ ∈［－槡２，槡２］．
４
２狓 ２
９．ＡＤ 对于Ａ，当狓＞０时， ＝ ≤１，Ａ正确．
狓２＋１ １
狓＋
狓
对于Ｂ，若犪＝１，犫＝－１，犮＝－１，犱＝－２，则犪犮＝－１，犫犱＝２，此时犪犮＜犫犱，Ｂ错误．
（ １ １ ） １－犪２ 犪２＋１
＋ （犪２＋１＋１－犪２） ２＋ ＋
１ １ 犪２＋１ １－犪２ 犪２＋１ １－犪２
对 于 Ｃ， ＋ ＝ ＝ ≥
犪２＋１ １－犪２ ２ ２
【高三数学·参考答案 第 １页（共５页）】
２５－７３犆
书书书１－犪２ 犪２＋１
２＋２槡 ·
犪２＋１ １－犪２
＝２，当且仅当犪＝０时，等号成立，Ｃ错误．
２
对于Ｄ，因为犪＞犫＞１＞犮＞０，所以犫犮－１＞犪犮－１，故犪犫犮＞犫犪犮，Ｄ正确．
π π ２π π
１０．ＡＤ 由图可知，犳（狓）的最小正周期犜＝ ＝ ，则ω＝２， －φ＝ ＋犽π，犽∈犣，由０＜φ
ω ２ ３ ２
π １ （ π） 槡３ （７π ）
＜π，得 φ＝ ，即犳（狓）＝ ｔａｎ２狓－ ，则犳（０）＝－ ．由犳（狓）的图象关于点 ，０
６ ２ ６ ６ １２
７π
对称，可得函数狔＝｜犳（狓）｜的图象关于直线狓＝ 对称．
１２
１１．ＡＣＤ 犪＝２ ｌｏｇ４１ １ ００＝２ ｌｏｇ２１ １ ０＝ １ ，犫＝ｌｎ １０ ＝－ｌｎ ９ ＝－ｌｎ （ １－ １） ，犪－犫＝ １ ＋ｌｎ （ １－ １） ．
１０ ９ １０ １０ １０ １０
１ －狓
令犳（狓）＝狓＋ｌｎ（１－狓），狓∈（０，１），则犳′（狓）＝１－ ＝ ＜０，犳（狓）在（０，１）上单调
１－狓 １－狓
（１） 槡１０ １０ ９ １０
递减，所以犳 ＜犳（０）＝０，即犪＜犫．因为犮＝ ＝槡 －槡 ，所以犫－犮＝ｌｎ －
１０ ３０ ９ １０ ９
１０ ９ １ １ １ １
槡 ＋槡 ．令犺（狓）＝ｌｎ狓－槡狓＋ ，狓∈（１，＋∞），则犺′（狓）＝ － － ＝
９ １０ 槡狓 狓 ２槡狓 ２槡狓３
２槡狓－狓－１ －（槡狓－１）２ （１０）
＝ ＜０，犺（狓）在（１，＋∞）上单调递减，所以犺 ＜犺（１）＝０，即犫
３ ３ ９
２狓２ ２狓２
＜犮．
２７＋２５－４４
１２．１２ 由题可得这两个竞赛都参加的学生有 ＝４人，所以这两个竞赛都没参加的
２
学生有６０－（４４＋４）＝１２人．
π （ π） 槡２ （ π ）
１３．－ 由ｃｏｓ２α＝ｃｏｓα＋ ，得ｃｏｓ２α－ｓｉｎ２α＝ （ｃｏｓα－ｓｉｎα）．因为α∈ － ，０ ，所
１２ ４ ２ ２
槡２ （ π） １ （ π ） π
以ｃｏｓα－ｓｉｎα≠０，则ｃｏｓα＋ｓｉｎα＝ ，则ｓｉｎα＋ ＝ ．由α∈ － ，０ ，得α＋ ∈
２ ４ ２ ２ ４
（ π π） π π π
－ ， ，则α＋ ＝ ，解得α＝－ ．
４ ４ ４ ６ １２
犳（狓） 犳（狓）
１４．８ 因为狓，狓∈（１，＋∞），且狓＜狓，恒有 １ ＜ ２ ，
１ ２ １ ２ 狓 狓
２ １
所以狓犳（狓）＜狓犳（狓）在狓∈（１，＋∞）上恒成立．
１ １ ２ ２
ｅ３狓 狓犪＋１
设犵（狓）＝狓犳（狓）＝ － ，狓∈（１，＋∞），
３ 犪＋１
ｅ３狓 狓犪＋１
可得函数犵（狓）＝ － 在狓∈（１，＋∞）上单调递增，
３ 犪＋１
所以犵′（狓）＝ｅ３狓－狓犪≥０在狓∈（１，＋∞）上恒成立，故３狓≥犪ｌｎ狓．
３狓
当狓∈（１，＋∞）时，犪≤ 恒成立．
ｌｎ狓
３狓 ３（ｌｎ狓－１）
设犺（狓）＝ ，狓∈（１，＋∞），则犺′（狓）＝ ，
ｌｎ狓 （ｌｎ狓）２
【高三数学·参考答案 第 ２页（共５页）】
２５－７３犆令犺′（狓）＝０，得狓＝ｅ，当狓∈（１，ｅ）时，犺′（狓）＜０，犺（狓）单调递减，
当狓∈（ｅ，＋∞）时，犺′（狓）＞０，犺（狓）单调递增，
所以犺（狓） ＝犺（ｅ）＝３ｅ≈８．２，又因为犪∈犖，所以犪的最大值为８．
ｍｉｎ
１５．解：（１）因为命题狆：狓∈［０，π］，ｓｉｎ狓－犪≤ｃｏｓ狓为假命题，所以瓙狆：狓∈［０，π］，ｓｉｎ狓－
犪＞ｃｏｓ狓为真命题．………………………………………………………………………… ３分
由ｓｉｎ狓－犪＞ｃｏｓ狓，得ｓｉｎ狓－ｃｏｓ狓＞犪， ……………………………………………… ４分
（ π） π ［ π ３π］
ｓｉｎ狓－ｃｏｓ狓＝槡２ｓｉｎ狓－ ，因为狓∈［０，π］，所以狓－ ∈ － ， ，
４ ４ ４ ４
（ π）
所以犪＜槡２ｓｉｎ狓－ ，即犪＜－１．
４
所以犃＝｛犪｜犪＜－１｝．……………………………………………………………………… ７分
（２）因为“犪∈犃”是“犪∈犅”的必要不充分条件，所以集合犅是集合犃的真子集， …… ９分
则犅＝｛犪｜犪＜－２｝符合题意（答案不唯一）．…………………………………………… １３分
１６．解：（１）因为（２犮＋犫）ｃｏｓ犃＋犪ｃｏｓ犅＝０，所以２犮ｃｏｓ犃＋犫ｃｏｓ犃＋犪ｃｏｓ犅＝０．
由正弦定理得ｓｉｎ犃ｃｏｓ犅＋ｃｏｓ犃ｓｉｎ犅＝－２ｓｉｎ犆ｃｏｓ犃，……………………………… ２分
则ｓｉｎ（犃＋犅）＝－２ｓｉｎ犆ｃｏｓ犃， ………………………………………………………… ３分
即ｓｉｎ犆＝－２ｓｉｎ犆ｃｏｓ犃．………………………………………………………………… ４分
１
在△犃犅犆中，ｓｉｎ犆≠０，故ｃｏｓ犃＝－ ．………………………………………………… ６分
２
２π
因为犃∈（０，π），所以犃＝ ．……………………………………………………………… ７分
３
１５槡３ １ ２π １５槡３
（２）因为△犃犅犆的面积为 ，所以 犫犮ｓｉｎ ＝ ，得犫犮＝１５． ………………… ９分
４ ２ ３ ４
由余弦定理得犪２＝犫２＋犮２－２犫犮ｃｏｓ犃，则犪２＝（犫＋犮）２－犫犮．………………………… １２分
又犪＋犫＋犮＝１５，所以犪２＝（１５－犪）２－１５，解得犪＝７．………………………………… １５分
１７．解：（１）因为犪＝４，所以犳（狓）＝狓２－４ｌｎ（狓＋１），狓＞－１，……………………………… １分
４ ２（狓＋２）（狓－１）
则犳′（狓）＝２狓－ ＝ ．………………………………………………… ３分
狓＋１ 狓＋１
当狓∈（－１，１）时，犳′（狓）＜０，犳（狓）单调递减；当狓∈（１，＋∞）时，犳′（狓）＞０，犳（狓）单调
递增．
故犳（狓）的极小值点为１，无极大值点．…………………………………………………… ５分
犪 ２狓２＋２狓－犪
（２）由犳（狓）＝狓２－犪ｌｎ（狓＋１），狓＞－１，得犳′（狓）＝２狓－ ＝ ．……… ６分
狓＋１ 狓＋１
１ －１＋槡１＋２犪
若犪＞－ ，即４＋８犪＞０，则方程２狓２＋２狓－犪＝０的解为狓 ＝ ，狓 ＝
２ １ ２ ２
－１－槡１＋２犪
．……………………………………………………………………………… ７分
２
１ （ －１－槡１＋２犪）
若０＜１＋２犪＜１，即－ ＜犪＜０，则狓 ＞狓 ＞－１．当狓∈ －１， ∪
２ １ ２ ２
（－１＋槡１＋２犪 ） （－１－槡１＋２犪 －１＋槡１＋２犪）
，＋∞ 时，犳′（狓）＞０，当狓∈ ， 时，犳′（狓）＜０，
２ ２ ２
【高三数学·参考答案 第 ３页（共５页）】
２５－７３犆（ －１－槡１＋２犪） （－１＋槡１＋２犪 ）
则犳（狓）的单调递增区间为 －１， 和 ，＋∞ ，单调递减区间为
２ ２
（－１－槡１＋２犪 －１＋槡１＋２犪）
， ．………………………………………………………… １１分
２ ２
（ －１＋槡１＋２犪）
若１＋２犪≥１，即犪≥０，则狓 ≤－１＜狓．当狓∈ －１， 时，犳′（狓）＜０，当狓∈
２ １ ２
（－１＋槡１＋２犪 ） （－１＋槡１＋２犪 ）
，＋∞ 时，犳′（狓）＞０，则犳（狓）的单调递增区间为 ，＋∞ ，单
２ ２
（ －１＋槡１＋２犪）
调递减区间为 －１， ．…………………………………………………… １５分
２
１８．（１）解：由题可得犳′（狓）＝－２ｃｏｓ狓ｓｉｎ狓·ｃｏｓ２狓＋ｃｏｓ２狓·（－２ｓｉｎ２狓）＝－２ｓｉｎ狓ｃｏｓ狓·
（４ｃｏｓ２狓－１）＝－２ｓｉｎ狓ｃｏｓ狓（２ｃｏｓ狓－１）（２ｃｏｓ狓＋１）．………………………………… ２分
π π ２π
令犳′（狓）＝０在狓∈（０，π）上的根为狓＝ ，狓＝ ，狓＝ ，………………………… ３分
１ ３ ２ ２ ３ ３
（ π） （π π）
当狓∈ ０， 时，犳′（狓）＜０，犳（狓）单调递减，当狓∈ ， 时，犳′（狓）＞０，犳（狓）单调递增，
３ ３ ２
（π ２π） （２π ）
当狓∈ ， 时，犳′（狓）＜０，犳（狓）单调递减，当狓∈ ，π 时，犳′（狓）＞０，犳（狓）单调递增．
２ ３ ３
（ π） （π ２π） （π π） （２π ）
综上，犳（狓）在 ０， 和 ， 上单调递减，在 ， 和 ，π 上单调递增． …… ６分
３ ２ ３ ３ ２ ３
（２）解：因为犳（狓＋π）＝ｃｏｓ２（狓＋π）ｃｏｓ２（狓＋π）＝ｃｏｓ２狓ｃｏｓ２狓＝犳（狓），
所以犳（狓）的一个正周期为π． …………………………………………………………… ８分
（π） １ （π） （２π） １
根据（１）中结论，犳（０）＝１，犳 ＝－ ，犳 ＝０，犳 ＝－ ，犳（π）＝１，……… ９分
３ ８ ２ ３ ８
１
所以犳（狓）的最大值为１，最小值为－ ． ……………………………………………… １０分
８
（３）证明：ｃｏｓ狓ｓｉｎ３３狓犳（狓）犳（２狓）犳（４狓）…犳（２狀狓）＝ｓｉｎ３３狓ｃｏｓ３狓ｃｏｓ３２狓ｃｏｓ３４狓…ｃｏｓ３２狀狓·
ｃｏｓ２狀＋１狓≤｜ｓｉｎ３３狓ｃｏｓ３狓ｃｏｓ３２狓ｃｏｓ３４狓…ｃｏｓ３２狀狓｜，…………………………………… １２分
又ｓｉｎ３狓＝ｓｉｎ狓ｃｏｓ２狓＋ｃｏｓ狓ｓｉｎ２狓＝ｓｉｎ狓（１－２ｓｉｎ２狓）＋２ｓｉｎ狓（１－ｓｉｎ２狓）＝３ｓｉｎ狓－
４ｓｉｎ３狓，……………………………………………………………………………………… １３分
所以｜ｓｉｎ３狓｜｜ｃｏｓ狓ｃｏｓ２狓ｃｏｓ４狓ｃｏｓ８狓…ｃｏｓ２狀狓｜
＝｜３－４ｓｉｎ２狓｜｜ｓｉｎ狓｜｜ｃｏｓ狓ｃｏｓ２狓ｃｏｓ２２狓…ｃｏｓ２狀狓｜
｜ｓｉｎ２狀＋１狓｜ ３
≤３｜ｓｉｎ狓｜｜ｃｏｓ狓ｃｏｓ２狓ｃｏｓ４狓…ｃｏｓ２狀狓｜≤３· ≤ ，
２狀＋１ ２狀＋１
２７
所以ｃｏｓ狓ｓｉｎ３３狓犳（狓）犳（２狓）犳（４狓）…犳（２狀狓）≤ ，得证．………………………… １７分
２３狀＋３
（１ ） １ １
１９．（１）解：（ⅰ）因为点犃 ，狔 在曲线犳（狓）＝槡狓上，所以狔＝槡＝ ．…………… １分
４ １ １ ４ ２
１ （１）
由犳（狓）＝槡狓，得犳′（狓）＝ ，则犳′ ＝１，………………………………………… ２分
２槡狓 ４
１
则曲线狔＝犳（狓）在点犃处的切线方程为狔＝狓＋ ．…………………………………… ３分
４
【高三数学·参考答案 第 ４页（共５页）】
２５－７３犆（ⅱ）由犳（狓）＝槡狓，得犵（狓）＝狓２（狓≥０）． ……………………………………………… ４分
（１ １）
根据对 称 性 可 设 犃，犇 关 于 直 线狔＝狓 对 称，可 得 犇 ， ，则｜犃犇｜＝
２ ４
１ １
－
（１ １）２ （１ １）２ 槡２ ４ ２
槡 － ＋ － ＝ ，犽 ＝ ＝－１．…………………………………… ５分
２ ４ ４ ２ ４ 犃犇 １ １
－
２ ４
１
若犃犅⊥犃犇，则直线犃犅的方程为狔＝狓＋ ，与曲线狔＝犳（狓）相切，不符合题意．… ６分
４
烄狔＝狓２，
１ １＋槡２
若犃犆⊥犃犇，则直线犃犆的方程为狔＝狓＋ ，联立方程组烅 １ 解得狓＝ 或狓
４ 狔＝狓＋ ， ２
烆 ４
１－槡２
＝ （舍去），…………………………………………………………………………… ７分
２
（１＋槡２ ３＋２槡２） （１＋槡２ １）２ （３＋２槡２ １）２ ４＋槡２
则犆 ， ，｜犃犆｜＝槡 － ＋ － ＝ ，……… ８分
２ ４ ２ ４ ４ ２ ４
槡２ ４＋槡２ ２槡２＋１
则该“关联矩形”的面积犛＝｜犃犇｜｜犃犆｜＝ × ＝ ．……………………… ９分
４ ４ ８
（２）证明：由犳（狓）＝ｌｎ狓，得犵（狓）＝ｅ狓．………………………………………………… １０分
显然犳（狓）－犵（狓）＜０，根据对称性可设犃，犇关于直线狔＝狓对称，犅，犆关于直线狔＝狓对
称，且犃犅⊥犃犇．设犃（狓，ｌｎ狓），犅（狓，ｌｎ狓），犆（狓，ｅ 狓３），犇（狓，ｅ 狓４），其中狓＜狓，狓＜
１ １ ２ ２ ３ ４ １ ２ ４
狓，且狓＝ｌｎ狓，狓＝ｌｎ狓． …………………………………………………………… １１分
３ ４ １ ３ ２
因为“关联矩形”是正方形，所以｜犃犅｜＝槡２（狓 －狓）＝槡２（ｌｎ狓 －ｌｎ狓），｜犅犆｜＝槡２（狓 －
２ １ ２ １ ２
狓）．由｜犃犅｜＝｜犅犆｜，得狓＝狓＝ｌｎ狓．……………………………………………… １２分
３ １ ３ ２
由ｌｎ狓－ｌｎ狓＝狓－狓，可得ｅ 狓１－２狓＋ｌｎ狓＝０．………………………………… １３分
２ １ ２ ３ １ １
１ １
令犺（狓）＝ｅ狓－２狓＋ｌｎ狓，则犺′（狓）＝ｅ狓＋ －２≥狓＋１＋ －２＞０，则犺（狓）在（０，＋∞）上
狓 狓
（１） １
单调递增．由犺 ＝槡ｅ－１－ｌｎ２＜０，可得狓＞ ． ………………………………… １４分
２ １ ２
犛＝｜犃犅｜２＝２（狓－狓）２＝２（ｅ 狓１－狓）２． ……………………………………………… １５分
２ １ １
令
φ
（狓）＝ｅ狓－狓，则 φ′（狓）＝ｅ狓－１，当狓∈（０，＋∞）时， φ′（狓）＞０，
φ
（狓）单调递增，则
φ （狓 １ ）＝ｅ 狓１－狓 １ ＞槡ｅ－ １ ２ ＞０，…………………………………………………………… １６分
从而犛＝２（ｅ 狓１－狓）２＞２ （ 槡ｅ－ １）２ ．…………………………………………………… １７分
１ ２
【高三数学·参考答案 第 ５页（共５页）】
２５－７３犆
