数学1120答案_2024-2025高三（6-6月题库）_2024年11月试卷_1124内蒙古赤峰市2024-2025学年高三11月模拟考试（全科）_内蒙古赤峰市2024-2025学年高三11月模拟考试数学试卷

 赤峰市 2024 年高三 11 20 模拟测试 参考答案与评分细则 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C D A C A B C 题号 9 10 11 答案 ABD AD ACD 1 3 12. [ ,1] 13. 2025 14. 3 6 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分） 已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，且acosC+ 3asinC−b−c=0. （1）求A； （2）若a =2 3，△ABC的面积为2 3，求b,c. 【详解答案】 （1）由正弦定理可将acosC+ 3asinC−b−c=0 化为sin AcosC+ 3sin AsinC−sinB−sinC =0， ………………（2分） 其中sinB=sin(A+C)=sin AcosC+cosAsinC， 可得 3sin AsinC−cosAsinC−sinC =0， ………………（4分）  1 在△ABC中，sinC 0，可得 3sin A−cosA−1=0，由辅助角公式可得sin(A− )= ， （6分） 6 2  可得A= . ………………（7分） 3 1 1 3 （2）△ABC的面积为S = bcsinA= bc =2 3，可得bc=8， ………………（9分） 2 2 2 b2 +c2 −a2 由余弦定理cosA= ，可得b2 +c2 =20， ………………（11分） 2bc 综上b=2,c=4或b=4,c=2. ………………（13分） 第1页 / 共6页 {#{QQABZYIAggiAABBAAQgCEQHiCEEQkhACCYgGAAAIIAAAiBNABCA=}#}16.（本小题满分15分） 1 已知幂函数 f(x)的图象过点(3,9)，g(x)=( )x −k. 2 （1）求 f(x)的解析式； （2）记 f(x),g(x)在区间[1,2)上的值域分别为A,B，若xA是xB的必要条件，求实数k 的取 值范围； f(x)+2kx+k （3）设h(x)= ，对x [0,1]，x (−，0)使得g(x )≤h(x )成立，求正实数k的 x 1 2 1 2 最小值. 【详解答案】 （1）设幂函数 f(x)= xm，由题意3m =9，即m=2， 即函数 f(x)的解析式为 f(x)= x2. ………………（2分） （2）由题意 f(x)= x2在区间[1,2)上的值域为[1,4)， ………………（3分） 1 1 1 而函数g(x)=( )x −k区间[1,2)上的值域为( −k, −k]， ………………（4分） 2 4 2 1 1 xA xB 由 是 的必要条件可知( −k, −k][1,4)， ………………（6分） 4 2 1 1 7 3 即 −k≥1且 −k 4，解得− k≤− . ………………（8分） 4 2 2 4 f(x)+2kx+k x2+2kx+k k （3）由题意h(x)= = = x+2k+ （k 0）， ………………（9分） x x x 对x [0,1]，x (−，0)使得g(x )≤h(x )成立，可得g(x) ≤h(x) ， ………………（11分） 1 2 1 2 max max 1 在区间[0,1]上，g(x)=( )x −k的最大值为1−k， ………………（12分） 2 k 在区间(−,0)上，h(x)= x+2k+ 的最大值为2k−2 k ， ………………（13分） x 1 令1−k≤2k−2 k ，可得3k−2 k −1≥0，解得 k ≤− （舍）或 k ≥1， 3 即k≥1，即正实数k的最小值为1. ………………（15分） 第2页 / 共6页 {#{QQABZYIAggiAABBAAQgCEQHiCEEQkhACCYgGAAAIIAAAiBNABCA=}#}17.（本小题满分15分） x 1 3 已知函数 f(x)= 3acos2 + asinx− a（0，a0）在一个周期内的图象如图所示， 2 2 2 其中点A为图象上的最高点，点B，C为图象与x轴的两个相邻交点，且△ABC是边长为4的正三角形. （1）求ω与a的值； 4 1 （2）将函数 f(x)的图象向右平移 个单位长度，再把横坐标变为原来的 （纵坐标不变），得到函数 3 2 3 1 π y = g(x)的图象；若g(2)= ，(0, )，求cos(− )的值. 3 2 3 【详解答案】  T 2  （1）由已知可得 f(x)=asin(x+ )BC = = 4T =8= = ， …………（3分） 3 2 8 4 3 由题图可知，正三角形ABC的高即为函数 f(x)的最大值a，则a= BC =2 3. …………（6分） 2   4 （2）由（1）可知 f(x)=2 3(sin x+ )，由函数 f(x)的图象向右平移 个单位长度， 4 3 3 1  再把横坐标变为原来的 ，得 y = g(x)图象可知：g(x)=2 3sin x， ………………（10分） 2 2 3 1 由g(2)= 得，sin= ， ………………（11分） 3 6 1  由（0，）得，（0，）， 2 2 35 从而cos= 1−sin2= ， ………………（13分） 6    35 1 1 3 35+ 3 故cos(− )=coscos +sinsin =  +  = . ………………（15分） 3 3 3 6 2 6 2 12 第3页 / 共6页 {#{QQABZYIAggiAABBAAQgCEQHiCEEQkhACCYgGAAAIIAAAiBNABCA=}#}18.（本小题满分17分） 某同学设计了如图2所示的徽章图案，其由三块全等的矩形经过如图1所示的方式折叠后拼接而成. 已 知矩形ABCD的周长为8cm，设其中较长边AD为x，将△BCD沿BD向△ABD折叠，BC折过后交AD于 点E. （1）用x表示图1中△BAE的面积； （2）现决定按此方案制作一枚徽章，要求将徽章的六个直角（如图2阴影部分）双面镀金（厚度忽 略不计）. 已知镀金的价格是2元/cm2，试求将这枚徽章镀金所需的最大费用. 【详解答案】 （1）因为AD= x，所以AB=4−x， 又因为AD为较长边，所以4−x  x  4，即2 x  4. ………………（3分） 设ED=a，则AE = x−a 因为CED =AEB，DCE =EAB，AB = DC 所以Rt△BAE  Rt△DCE,所以BE =ED=a， ………………（5分） 在Rt△BAE中，由勾股定理得BA2 + AE2 = BE2， x2 −4x+8 即(4−x)2 +(x−a)2 =a2，解得a = ， ………………（7分） x 4x−8 8 所以AE = x−a = = 4− ， ………………（8分） x x 1 1 8 8 所以△BAE的面积S = ABAE = (4−x)(4− )=12−2(x+ )（2 x4）（单位：cm2） 2 2 x x ………………（10分） （2）设一枚徽章的镀金费用为 y元，则 8 y =6S 22=24[12−2(x+ )] ………………（13分） △BAE x 8 8 由基本不等式可知：x+ ≥4 2，当且仅当x = ，即x =2 2时等号成立， …………（15分） x x 8 y =24[12−2(x+ )]≤24(12−8 2)=96(3−2 2) x 所以当AD=2 2时，一枚徽章的镀金部分所需的最大费用为9（6 3−2 2）元. …………（17分） 第4页 / 共6页 {#{QQABZYIAggiAABBAAQgCEQHiCEEQkhACCYgGAAAIIAAAiBNABCA=}#}19.（本小题满分17分） 2024年9月25日，我国向太平洋发射了一发洲际导弹，我国洲际导弹技术先进，飞行轨迹复杂，飞 行时需要导弹上的计算机不断计算导弹飞行轨迹的弯曲程度，导弹的陀螺仪才能引导导弹精准命中目标. 为此我们需要刻画导弹飞行轨迹的弯曲程度. 如图所示的光滑曲线C： y = f(x)上的曲线段AB，其弧长为s，当动点从A沿曲线段AB运动到B 点时，A点的切线l 也随着转动到B点的切线l ，记这两条切线之间的夹角为（它等于l 的倾斜角与l A B B A 的倾斜角之差）. 显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则 Δ 弯曲程度越大，因此可以定义K = 为曲线段AB的平均曲率；显然当B越接近A，即s越小，K就越 Δs Δ y K = lim = 能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义 Δs→0 Δs 3 （若极限存在）为曲线C在点 (1+y2)2 A处的曲率. （其中 y， y分别表示 y = f(x)在点A处的一阶、二阶导数） （1）求函数 f(x)= x2−3x−4在点(−1,0)处的曲率； （2）已知函数g(x)=sinx+cosx，求函数g(x)的曲率K的最大值； a 3 1 （3）设函数h(x)=x2lnx− x3− x2，a(0, )，若存在x ,x 使得h(x)的曲率为0，求证： 3 2 e 1 2 8 2lnx +lnx  . 1 2 3 【详解答案】 （1） f ( x ) = x2 −3x−4， f( x ) =2x−3， f( x ) =2， f( −1 ) =−5， f( −1 ) =2，…（2分） 2 所以函数 f ( x ) = x2 −3x−4在点 ( −1,0 ) 处的曲率为 K = 3 . ………………（3分） 262 （2）g ( x ) =sinx+cosx，g( x ) =cosx−sinx，g( x ) =−sinx−cosx， 由K定义知K为非负数，由题意得， g( x )2 =cos2x+sin2x−2sinxcosx=1−sin2x，g( x )2 =sin2x+cos2x+2sinxcosx=1+sin2x， g( x )2 1+sin2x ∴K2 = = ， ………………（5分） ( 1+  g( x )2 )3 ( 2−sin2x )3 1+u 1+u 令u =sin2x  −1,1  ，∴ K2 = ，令F ( u ) = ， ………………（6分） ( 2−u )3 ( 2−u )3   ( 2−u )3 − −3 ( 2−u )2 ( 1+u ) 5+2u 则F( u ) = = 0在  −1,1  上恒成立， ………………（8分） ( 2−u )6 ( 2−u )4 1+u F ( u ) = 在  −1,1  上单调递增，即 ( K2 ) = F ( u ) = F ( 1 ) =2， ( 2−u )3 max max K = 2，当且仅当u =sin2x=1时取到，所以曲率K的最大值为 2 . ………………（9分） max （3）证明：由题意可得h( x ) =2xlnx−ax2 −2x，h( x ) =2lnx−2ax， lnx 若h ( x ) 曲率为0，则h( x ) =0，即lnx−ax=0，即a = ， ………………（10分） x 第5页 / 共6页 {#{QQABZYIAggiAABBAAQgCEQHiCEEQkhACCYgGAAAIIAAAiBNABCA=}#}lnx 1−lnx 令 ( x ) = ，则( x ) = =0，得x=e， ………………（11分） x x2 1 所以在 ( 0,e ) 上，( x ) 0， ( x ) 单调递增，且 ( x )  ( e ) = ； e 1 在 ( e,+ ) 上，( x ) 0， ( x ) 单调递减，且0 ( x )  . e  1 又a0, ，所以a= ( x ) 有两个解.  e 设为x ，x ，0 x e x ， ………………（13分） 1 2 1 2 lnx lnx lnx −ax =0 lnx x 又a= 1 = 2 ，所以 1 1 ，可设 1 = 1 =t，t ( 0,1 ) ， x x lnx −ax =0 lnx x  1 2 2 2 2 2 lnx lntx 所以 1 = 2 =t，t ( 0,1 ) ，lnt+lnx =tlnx ， lnx lnx 2 2 2 2 lnt tlnt 化简可得lnx = ，则lnx = . ………………（15分） 2 t−1 1 t−1 ( ) 8 2t+1 lnt 8 要证2lnx +lnx  ，即证  ， 1 2 3 t−1 3 ( ) ( ) 8 t−1 8 t −1 需要证lnt  ，即证lnt − 0， ………………（16分） ( ) ( ) 3 2t+1 3 2t +1 ( ) 8 t −1 ( ) 令H t =lnt − ， ( ) 3 2t +1 1 8 ( 2t +1 )2 −8t ( 2t −1 )2 H( t ) = − = = 0 t ( 2t +1 )2 t ( 2t +1 )2 t ( 2t +1 )2 ( ) ( ) 所以H t 在 0,1 上单调递增， ( ) ( ) 所以H t  H 1 =0，得证. ………………（17分） 第6页 / 共6页 {#{QQABZYIAggiAABBAAQgCEQHiCEEQkhACCYgGAAAIIAAAiBNABCA=}#}