文档内容
2024——2025 学年高二下学期第一次月考
数学试题
一、单项选择题（8小题，每题5分，共40分）
1.下列函数的求导不正确的是（ ）
A． (x−2) ′ =−2x−3
B． (xcosx) ′=cosx−xsinx
1
C． (ln10) ′=
10
D． (2ex) ′ =2ex
2.如图，已知函数 f(x)的图象在点 P(2,f(2))处的切线为1，则 f(2)+f′ (2)=（ ）
A． −2 B． −1 C．0 D．2
x4 x3
3.函数 f(x)= − 的极值点为（ ）
4 3
A． 0 B． 1 C． 0或 1 D． −1
lim f(1)−f(1−Δx)
4.设函数 f(x)存在导函数，且满足 Δx→0 =−1，则曲线 y=f(x)在点 (1,f(1))处切线
2Δx
的斜率为（ ）
A． 2 B． −1 C． 1 D． −2
5.已知点 P在曲线 y=2x2−lnx上，点 Q在直线 y=3x−2上，则 |PQ|的最小值为 ( )
√13 √10 1
A． B．1 C． D．
13 10 4
6.已知直线 y=x−1与曲线 y=ex+a相切，则实数a的值为（ ）
A． −2 B． −1 C．0 D．2
7.已知 f (x)是定义在 (−∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数， f′(x)是 f (x)的导函数；当 x<0时，有
f (x)
xf′(x)−2f (x)>0恒成立，且 f (−1)=1，则不等式 >x的解集是（ ）
x
A． (−∞,−1)∪(1,+∞) B． (−1,0)∪(1,+∞)
C． (−1,0)∪(0,1) D． (−∞,−1)∪(0,1)
1 11
8.已知 a=sin0.1，b=0.09，c= ln ，则（ ）
2 9
A．c>a>b B．a>c>b C．b>c>a D．a>b>c
二、多项选择题（3小题，每题6分，共18分）
9.下列命题正确的是（ ）
A．若 f (x)=xsinx−cosx，则 f′(x)=sinx−xcosx+sinx
B．设函数 f (x)=xlnx，若 f′ (x )=2，则 x =e
0 0
C．已知函数 f (x)=3x2ex，则 f′(1)=12e
9
D．设函数 f (x)的导函数为 f′(x)，且 f (x)=x2+3xf′(2)+lnx，则 f′(2)=−
4
10.
lnx
已知 f(x)= ，下列说法正确的是（ ）
x
A． f (x)在 x=1处的切线方程为 y=x−1
B．单调递减区间为 (e,+∞)
1
C． f (x)的极小值为-
e
D．方程 f (x)=−1有两个不同的解
11.
x2
已知函数 f (x)=alnx+ +bx有极值点，下列结论正确的是（ ）
2
A． b2−4a<0
B．若 a<0，则 f (x)有且仅有一个极值点
C．若 f (x)有两个极值点，则 ab<0
D．若 x=1是 f (x)的极大值点，则 a>1
三、填空题（3小题，每题5分，共15分）
12.
函数 f (x)=(x−1)ex的极小值为 ．
13.
π
已知函数 f(x)是奇函数，当 x<0时， f(x)=sinx−1，则函数 f(x) 在 x= 处的切线方程
2
为 ．
14.
已知函数 f (x)=ex−ax2有三个零点，则实数 a的取值范围是 .
四、解答题（5小题，77分）
15.已知函数 f(x)=ax3+bx2+1(a∈R)，当 x=2时， f (x)取得极值 −3．
（1）求 f (x) 的解析式；
（2）求函数 f (x) 的单调区间；
（3）求 f (x) 在区间 [−2，3] 上的最值．
16.
已知函数 f (x)=x2+alnx．（1）讨论 f (x)的单调性；
2
（2）若 g(x)=f (x)+ 在 [1，+∞)上是单调增函数，求实数 a的取值范围．
x
17.已知函数 f (x)=2lnx+x2−ax．
（1）当 a=1 时，求 f (x) 的单调区间；
f (x )−f (x )
（2）若对任意 01 ，求 a 的取值范围．
1 2 x −x
2 1
1
18.已知 f (x)= x2−ln(x+1)+ax(a∈R).
2
（1）当 a=2 时，求函数 f (x) 在点 (0,0) 处的切线方程；
1
（2）求证：
x2+x≥ln(x+1)
；
2
（3）若 f (x)≥0 在 x∈[0,+∞) 恒成立，求 a 的取值范围 .
19.
(2 (2))
已知函数 f (x)=(x+1)eax (a≠0)在点 ,f 处的切线斜率为0．
a a
（1）求a的值；
（2）求 f (x)在 [t−1,t+1]上的最大值；
2 3
（3）设 g(x)=f (x)+2x+3xlnx，证明：对任意 x ,x ∈(0,1)都有 |g(x )−g(x )|< + +1．
1 2 1 2 e3 e2024——2025 学年高二下学期第一次月考
数学参考答案
【答案】
1.C
【答案】
2.C
【答案】
3.B
【答案】
4.D
【答案】
5.C
【答案】
6.A
【答案】
7.B
【答案】
8.A
9.【答案】
BD
10.【答案】
AB
11.【答案】
BCD
12.【答案】
−1
13.【答案】
y=2
14.【答案】
(e2
)
,+∞
4
15.【答案】
（1） f(x)=x3−3x2+1
（2）单调递增区间为 (−∞,0),(2,+∞)，单调递减区间为 (0,2)
（3）最大值为1，最小值为 −19
16.（ 1 ）函数 f (x)=x2+alnx ，则函数 f(x) 的定义域为 (0,+∞) ．a 2x2+a
f′(x)=2x+ = .
x x
①当 a≥0时， f′(x)>0,故函数 f (x)在 (0,+∞)上单调递增；
( √−a) ( √−a)
②当 a<0时，在 x∈ 0, 有 f′(x)<0,故 f (x)在 0, 单调递减；
2 2
[√−a ) [√−a )
在 x∈ ,+∞ 有 f′(x)>0,故 f (x)在 ,+∞ 上单调递增．
2 2
综上所述：当 a≥0时，函数 f (x)在 (0,+∞)上单调递增；
( √−a) [√−a )
当 a<0时，函数 f (x)在 0, 上为单调递减，在 ,+∞ 上为单调递减增
2 2
2 a 2
（2）由 g(x)=x2+alnx+ ，得 g′ (x)=2x+ − ．
x x x2
若函数 g(x) 为 [1，+∞)上的单调增函数，则 g′ (x)≥0在 [1，+∞)上恒成立，
a 2 2
即不等式 2x+ − ≥0在 [1，+∞)上恒成立．也即 a≥ −2x2 在 [1，+∞)上恒成立．
x x2 x
2 2
令 φ(x)= −2x2 ，则 φ′ (x)=− −4x ．
x x2
2
当 x∈[1，+∞)时， φ′ (x)=− −4x<0，
x2
2
∴ φ(x)= −2x2 在 [1，+∞)上为减函数，则 φ (x)=φ(1)=0
x max
所以 a≥0，即 a的取值范围为 [0，+∞)．
17.【答案】
（1）单调增区间为 (0,+∞)，无单调减区间
（2） (−∞,3]
18.
1 1
（1）解：当 a=2时， f (x)= x2−ln(x+1)+2x，则 f′(x)=x− +2，
2 x+1
则 f (0)=0， f′(0)=1，
所以，函数 f (x)在点 (0,0)处的切线方程为 y=x.
1
（2）解：当 a=1时， f (x)= x2+x−ln(x+1)，该函数的定义域为 (−1,+∞)，
2
1 (x+1) 2−1 x(x+2)
则 f′(x)=x+1− = = ，
x+1 x+1 x+1
当 −10时， f′(x)>0，此时函数 f (x)单调递增，
1
所以， f (x)≥f (0)=0，即 x2+x≥ln(x+1).
2
1 1
（3）解： f (x)= x2+ax−ln(x+1)，则 f′(x)=x+a− ，且 f (0)=0，
2 x+1
由题意可知，对任意的 x≥0， f (x)≥f (0)=0.
1 1
令 g(x)=x+a− ，其中 x≥0，则 g′(x)=1+ >0，
x+1 (x+1) 2
所以，函数 g(x)在 [0,+∞)上单调递增，所以， g(x) =g(0)=a−1.
min①当 a−1≥0时，即当 a≥1时， f′(x)≥f′(0)=a−1≥0，
此时函数 f (x)在 [0,+∞)上单调递增，
故当 x≥0时， f (x)≥f (0)=0，合乎题意；
1
②当 a−1<0时，即当 a<1时，由 f′(x)=0可得 x+a= ，即 x2+(a+1)x+a−1=0，
x+1
此时 Δ=(a+1) 2−4(a−1)=a2−2a+5>0，
−(a+1)−√a2−2a+5 −(a+1)+√a2−2a+5
解得 x = ， x = ，则 x 0， x>− 时， f ′(x)<0，
3 3
2 2
∴f(x)在 (−∞,− )上单调递增，在 (− ， +∞)上单调递减，
3 3
2 5
当 t+1⩽− ，即 t⩽− 时， f(x)在 [t−1， t+1]上递增，
3 3
f(x) =f(t+1)=(t+2)e−3(t+1)，
max
2 5 1 2 e2
当 t−1<− 0，
∴m ′(x)>m ′(0)=0，即 m (x)在 (0,1)上是增函数．
1 1 1
2
∴10，得 x>0，由 m ′(x)<0，得0， x< ，
2 2 2 e
1 1
∴m (x)在 (0, )上递减，在 ( ， 1)上递增，
2 e e
3
∴− ⩽m (x)<0，
e 2
3 2
∴1−
