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2025 年 1 月“八省联考”考前猜想卷 02
数学·参考答案与评分标准
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
C B A A A D B A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 10 11
ABD AC ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．240或3840 13． 14．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
【详解】（1）学生甲恰好答对3道题有以下两种情况：
第一种情况是学生甲答对 组的2道题和 组的1道题，
其概率 ；...........................................................................（2分）
第二种情况是学生甲答对 组的l道题和 组的2道题，
其概率 ．
故学生甲恰好答对3道题的概率 ．.............................................（5分）
（2）由题意可知 的所有可能取值为 ．
，
学科网（北京）股份有限公司，
，
，...........................................................................................（9分）
由（1）可知 ，
则 的分布列为
0 1 2 3 4
故 ．............................................................（13
分）
16．（15分）
【详解】（1）证明：由三棱柱的性质可知 ．
因为 平面 ，所以 平面 ．
因为 平面 ，所以 ．........................................................................（2分）
因为 为 的中点，且 是等边三角形，所以 ．
因为 平面 ，且 ，
所以 平面 ．.....................................................................................................（6分）
（2）取 的中点 ，连接 ．由题意可得 两两垂直，故以 为坐标原点，
的方向分别为 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．设 ，则 ，
故 ．...................................（8
分）
设平面 的法向量为 ，
则 令 ，得 ．
设平面 的法向量为 ，
则 令 ，得 ．
设平面 与平面 所成的锐二面角为 ，
则 ，
即平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ．............................................（15
分）
17．（15分）
【详解】（1） ， ，
学科网（北京）股份有限公司， ，
所以在点(1,f (1))处的切线方程为 ，
整理得： ；..........................................................................................（4分）
（2）函数 定义域为(0,+∞)， ..........................（6分）
当 时，f'(x)≥0，此时 在(0,+∞)上单调递增；
当 时，令 ，得 ，
此时在 上f'(x)<0， 在 单调递减，
在 上f'(x)>0， 在 单调递增，
综上：
时， 的递增区间为(0,+∞)，无递减区间；
时， 的递减区间为 ，递增区间为 ；..........................................（9分）
（3）由（2）可知，当 时， 才有两个不相等的实根，且 ，
则要证 ，即证 ，即证 ，
而 ，则 ，否则方程不成立），
所以即证 ，化简得 ，................................................................（11
分）
令 ，则 ，
当 时， ，所以 在(0,1)单调递减，
当 时， ，所以 在(1,+∞)单调递增，...........................................（13分）所以 ，而 ，所以 ，
所以 ，得证．...................................................................................................（15分）
18．（17分）
【详解】（1）设动圆的半径为r，圆 的圆心 ，半径 ，
显然点 在圆 内，则 ，
于是 ，
因此动点M的轨迹C是以 ， 为焦点，长轴长为4的椭圆，.................................（2分）
长半轴长 ，半焦距 ，则短半轴长 ，
所以轨迹C的方程为 .........................................................................................（4
分）
（2）（i）设 ， ， ，由（1）知 ， ，
显然 ， ，而 ，则 .（7
分）
，又 ，即 ，
所以 ，为定值............................................................................（11
学科网（北京）股份有限公司分）
（ii）由 消去x得 ，
，
由（i）得 ，又 ，......................................（14
分）
则
，解得 ，满足 ，
因此直线PQ的方程为 ，
所以直线PQ过定点 .................................................................................................（17分）
19．（17分）
【详解】（1）由 ，且 为“2数列”，得 ，即 ，...........（2
分）
则 ，
，
，
．.............................................................（5分）
（2）设数列{b }的公比为 ，
n
由 ，得 ，....................................................................................（6分）即 ，
则 ．
两式相减得 ，
即 ．
因为 是首项为2的“ 数列”，所以 ，....................................................（8
分）
即 ，
所以 ，
即 对任意的 恒成立．
因为 ， ，
则 ，即 ，
解得 ， ．.........................................................................................................（11
分）
又由 ，即 ，得 ，所以 ．
检验可知 符合要求，故数列{b }的通项公式为 ．..................................（12
n
分）
（3）因为 为“ 数列”，所以 ，
即 对任意的 恒成立，
因为 ， ，所以 ．
再结合 ， ， ，反复利用 ，
可得对任意的 ， ．
设函数 ，则 ．.....................................................................（15
分）
由 ，得 ．
当 时，f'(x)<0，所以 在(1,+∞)上单调递减．
学科网（北京）股份有限公司所以当 时， ，即 ．
又 ，所以 ．
可得 ， ， ， ，
累加可得 ，
即 ，即 ，
所以 ．.............................................................................................................（17
分）
