文档内容
2023-2024 学年高二数学期末模拟卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符
合题目要求的．
1．两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的决定系数 如下，其中拟合效果最
好的模型是（ ）
A．模型1（决定系数 为0.97） B．模型2（决定系数 为0.85）
C．模型3（决定系数 为0.40） D．模型4（决定系数 为0.25）
2．已知随机变量 服从二项分布 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．已知函数 ，则 （ ）
A．1 B． C．2 D．
4．已知变量x与y的回归直线方程为 ，变量y与z负相关，则（ ）
A．x与y负相关，x与z负相关 B．x与y正相关，x与z正相关
C．x与y正相关，x与z负相关 D．x与y负相关，x与z正相关
5．某校5名同学到A、B、C三家公司实习，每名同学只能去1家公司，每家公司至多接收2名同学.若同
学甲去A公司，则不同的安排方法共有（ ）
A．18种 B．30种 C．42种 D．60种
6．在正项等比数列 中， 为其前 项和，若 ，则 的值为（ ）
A．10 B．20 C．30 D．40
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司7．袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量 为其中白球
的个数，随机变量 为其中黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量 为取
出4个球的总得分，则 （ ）
A． B． C． D．
8．已知 ，若对任意两个不等的正实数 ，都有 恒成立，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．设 、 是一个随机试验中的两个事件，若 ， ， ，则下列选项一定正
确的是（ ）
A． B． C． D．
10．设 ，这两个正态曲线如图所示.则（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数 ，则（ ）
A． 有两个极值点 B．点 是曲线 的对称中心
C． 有一个零点 D．直线 是曲线 的切线
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司12．对具有线性相关关系的变量 有一组观测数据 ，其经验回归方程
，则在样本点 处的残差为 .
13． 的展开式中 的系数为 （用数字作答）
14．某班组织开展知识竞赛，抽取四名同学，分成甲、乙两组：每组两人，进行对战答题．规则如下：每
次每名同学回答6道题目，其中有1道是送分题（即每名同学至少答对1题）．若每次每组对的题数之和
为3的倍数，则原答题组的人再继续答题；若对的题数之和不是3的倍数，就由对方组接着答题，假设每
名同学每次答题之间相互独立，且每次答题顺序不作考虑，第一次由甲组开始答题，则第7次由甲组答题
的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知函数 .
(1)若 ，求曲线 在 处的切线方程；
(2)求函数 在 上的单调区间和最小值.
16．（15分）若 ，请求值：
(1) ；
(2) ；
(3) .
17．（15分）某学校举办数学建模知识竞赛，每位参赛者要答3道题，第一题分值为40分，第二、三题
分值均为30分，若答对，则获得题目对应分值，若答错，则得0分，参赛者累计得分不低于70分即可获
奖．已知甲答对第一、二、三题的概率均为 ，乙答对第一、二、三题的概率分别为 ， ， ，且甲、
乙每次答对与否互不影响．
(1)求甲的累计得分 的分布列和期望；
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(2)在甲、乙两人均获奖的条件下，求甲的累计得分比乙高的概率．
18．（17分）2024年初，冰城哈尔滨充分利用得天独厚的冰雪资源，成为2024年第一个“火出圈”的网
红城市，冰城通过创新营销展示了丰富的文化活动，成功提升了吸引力和知名度，为其他旅游城市提供了
宝贵经验，从2024年1月1日至5日，哈尔滨太平国际机场接待外地游客数量如下：
（日） 1 2 3 4 5
（万
45 50 60 65 80
人）
(1)计算 的相关系数 （计算结果精确到0.01），并判断是否可以认为日期与游客人数的相关性很强；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 关于 的线性回归方程；
(3)为了吸引游客，在冰雪大世界售票处针对各个旅游团进行了现场抽奖的活动，具体抽奖规则为：从该旅
游团中随机同时抽取两名游客，两名游客性别不同则为中奖．已知某个旅游团中有5个男游客和
个女游客，设重复进行三次抽奖中恰有一次中奖的概率为 ，当 取多少时， 最大？
参考公式： ， ， ，
参考数据： ．
19．（17分）记集合 无穷数列 中存在有限项不为零， ，对任意 ，设
．定义运算 若 ，则 ，且
．
(1)设 ，用 表示 ；
(2)若 ，证明： ：
(3)若数列 满足 ，数列 满足 ，设
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