文档内容
宁波市 期末九校联考 高二数学试题
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的
1. 下列求导正确的（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用导数加法运算法则判断 A；根据复合函数的导数判断 B；根据导数除法运算法则判断 C；根据
导数乘法运算法则判断 D.
【详解】 ，A 不正确；
，B 不正确；
，C 不正确；
，D 正确.
故选：D.
2. 直线 的倾斜角的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题可得直线斜率，即可得直线倾斜角.
【详解】由题 ，则直线的斜率为 ，
第 1页/共 25页
学科网（北京）股份有限公司因斜率角范围为大于等于 小于 ， ，则倾斜角为 .
故选：A
3. 已知函数 在 处有极大值，则 的值为（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】由题可得 或 ，然后分别验证可得答案.
【详解】由题 ，
因函数 在 处有极大值，则 或 .
若 ， ， ，
，则 在 上递增，在 上递减，
此时 在 处有极小值，故 不满足题意；
若 ， ， ，
，则 在 上递增，在 上递减，
此时 在 处有极大值，故 满足题意.
故选：C
4. 已知 是空间的一个基底，则下列向量中与向量 ， 能构成空间基底的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用空间向量基本定理依次判断各选项中的向量是否与向量 ， 共面即可，不共面的则
可作为平面的一个基底.
【详解】对于 A，因 ，
第 2页/共 25页
学科网（北京）股份有限公司即 与向量 ， 共面，故不能构成基底，即 A 错误；
对于 B，因 ，
即 与向量 ， 共面，故不能构成基底，即 B 错误；
对于 C，不妨设 ，
则有 ，方程组无解，即 与向量 ， 不共面，故可构成基底，故 C 正确；
对于 D，因 ，
即 与向量 ， 共面，故不能构成基底，即 D 错误.
故选：C.
5. 已知正项数列 的前 项积为 ，满足 ，则 时的 的最小值为（ ）
A. 2026 B. 2025 C. 2024 D. 2023
【答案】B
【解析】
【分析】先令 求出 ，当 时，利用 和 两式相除，经过适
当的变形得出数列 是公差为 的等差数列，进而求出 ，最后解不等式即可得出答案.
【详解】由题意 ，当 时，则 ，
当 时， ①可得 ②，① ②得：
，
所以数列 是公差为 的等差数列，故 ，
令 ，又 ，所以 的最小值为 .
故选：B
第 3页/共 25页
学科网（北京）股份有限公司6. 已知双曲线 ： 的左右焦点分别为 ，过点 作垂直于 轴的直线交双曲线 于
两点， 的内切圆圆心分别为 ，则 的周长是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先得到 的内切圆与 轴的切点为双曲线右焦点，并求出 ，由双曲线定义得到
，利用 的面积得到方程，求出其内切圆半径，并得到 ，再由 的面积得
到方程，求出其内切圆半径，并由勾股定理得到 ，由对称性得到 ，求出三角形
周长.
【详解】由题意得 ，解得 ，故 ，
设 的内切圆与 轴的切点为 ，
由切线长定理得 ，
由双曲线定义知， ，
即 ，
设 ，则 ， ，
故 ，故 ，解得 ，
故 为双曲线 的右顶点，
第 4页/共 25页
学科网（北京）股份有限公司中，令 得 ，故 ，
故 ，解得 ，
则 Rt 的面积为 ，
设 的内切圆半径为 ，
则 ，即 ，
解得 ，即 ，
由对称性可知， 关于 轴对称，设 与 轴交点为 ，
则 ，故 ，
设 的内切圆半径为 ，
又 ， ，
故 ，
即 ，解得 ，
由对称性可知， 平分 ，
故 内切圆圆心在 轴上，且与 切于点 ，
其中 ，
故 ， ，
由勾股定理得 ，
故 ，则 的周长为 .
故选：C
【点睛】结论点睛：双曲线焦点三角形的内切圆的圆心的横坐标为 或 .
第 5页/共 25页
学科网（北京）股份有限公司7. 在如图所示的试验装置中，正方形框 的边长为 2，长方形框 的长 ，且它们所
在平面形成的二面角 的大小为 ，活动弹子 分别在对角线 和 上移动，且始终保
持 ，则 的长度最小时 的取值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】作出点 在线段 上的投影，利用空间向量运算求出 长的函数关系，进而求出最小值.
【详解】在正方形 内过 作 于 ，则 ， ， ，
在矩形 内过 作 于 ，则 ， ， ，
，由二面角 的大小为 ，
得 ，又 ，
因此
，当且仅当 时取等号，
所以当 的长度最小值时， .
故选：A
第 6页/共 25页
学科网（北京）股份有限公司8. 已知 ，方程 有实数根，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【 分 析 】 化 简 方 程 得 ， 接 着 利 用 柯 西 不 等 式
得
，再利用导数求出函数 在 上的 即可得解.
【详解】由题得 ，
所以 ，
所以由柯西不等式得 ，
所以 ，所以 ，
又 在 上恒成立，
所以 在 上单调递增，所以 ，
所以 及 的最小值为 .
故选：B
第 7页/共 25页
学科网（北京）股份有限公司【点睛】关键点睛：本题解题的关键是利用柯西不等式得到不等式 .
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 已知函数 ，则下列选项中正确的是（ ）
A. 函数 在区间 上单调递增
B. 函数 在的值域为
C. 函数 在点 处的切线方程为
D. 关于 的方程 有 2 个不同的根当且仅当
【答案】BC
【解析】
【分析】A 通过判断 在 上是否恒大于等于 0 可得选项正误；B 利用导数求出 在 上
的单调性，据此可得值域；C 由导数知识可得在点 处的切线；D 将问题转化为 图象与直线
有两个交点.
【详解】对于 A， ， ，则 在 上单调递减，故 A 错误；
对于 B，由 A 分析， ，则 在 上单调递增，
则 ，
故函数 在 上的值域为 ；
对于 C，由题， ，
则点 处的切线方程为 ，故 C 正确；
对于 D，即 图象与直线 有两个交点，由上述分析可得 大致图象如下，
则要使 图象与直线 有两个交点， ，故 D 错误.
第 8页/共 25页
学科网（北京）股份有限公司故选：BC
10. 已知椭圆 ： （ ）的左、右焦点分别为 ， ，下列命题正确的是（ ）
A. 若椭圆 上存在一点 使 ，则椭圆离心率的取值范围是
B. 若椭圆 上存在四个点 使得 ，则 的离心率的取值范围是
C. 若椭圆 上恰有 6 个不同的点 ， 使得 为等腰三角形，则椭圆 的离心率的取值范围是
D. 若任意以椭圆 的上顶点为圆心的圆与椭圆 至多 3 个公共点，则椭圆 的离心率的取值范围是
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于 A，设 ， ，根据椭圆的定义和结合余弦定理得到 ，
利用均值不等式得到 ，即可作出判断；对于 B，由 得， ，故若
为直径的圆与椭圆有 4 个交点，则 ，即可求 的取值范围；对于 C，分等腰三角形 以 为底
或一腰两种情况讨论，在第一种情况下，直接确定点 为椭圆短轴的端点，在第二种情况下，分析可知，
在每个象限内均存在点 ，使得 或 ，设点 在第一象限，结合两点间的
距离公式可得出关于 、 的不等式，即可求出该椭圆离心率的取值范围；对于 D， ，先假设圆与
第 9页/共 25页
学科网（北京）股份有限公司椭圆的公共点有 个，利用对称性及已知条件知 轴左侧的椭圆上有两个不同的点 ， ，满足
，由此求得 ，得到 的取值范围，进而可得任意以点 为圆心的圆与椭圆至多
有 个公共点时椭圆离心率 的取值范围．
【详解】对于 A，设 ， ，则 ， ，
即 ， ，即 ，当且仅当 时等号成立，
故 ，即 ， .故 A 正确；
对于 B，由 得， ，若存在点四个点 使得 ，以 为直径的圆
与椭圆有 4 个交点，∴ ，即 ，∴ ，即 ，故 B 不正确；
对于 C，（1）当点 与椭圆短轴的顶点重合时， 是以 为底边的等腰三角形，
此时，有 个满足条件 等腰 ；
（2）当 构成以 为一腰的等腰三角形时，
则 或 ，此时点 在第一或第四象限，
由对称性可知，在每个象限内，都存在一个点 ，使得 是以 为一腰的等腰三角形，
不妨设点 在第一象限，则 ，其中 ，
则 ，
或 ，
由 可得 ，所以， ，解得 ，
由 可得 ，所以， ，解得 ，
综上所述，该椭圆的离心率的取值范围是 .
第 10页/共 25页
学科网（北京）股份有限公司对于 D，椭圆 上顶点为 ,假设圆与椭圆的公共点有 个，由对称性可设 轴左侧的椭圆上有两个不同
的点 ， ，满足 ．
记直线 ， 的斜率分别为 ， ，且 ， ， ．
由 得 ，故 ， ．
因此 ，
同理 .
故 ，即
所以
由于 ， ， 得，
因此 ， ①
因为①式关于 ， 的方程有解的充要条件是 ，
所以 ，则 ，
因此，任意以点 为圆心的圆与椭圆至多有 个公共点的充要条件为离心率的取值范围为
．故 D 正确.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
第 11页/共 25页
学科网（北京）股份有限公司（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得 、 的值，根据离心率的定义求解离心率 的值；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于 、 的齐次方程，然后转化为关于 的方程求解；
（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.
11. 已知定义域为 上的函数 满足 ，且 ，记 ，则
下列选项中正确的有（ ）
A.
B. 当 时，
C. 当 时，
D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】令 ，可求出 ，再令 ，可得 .对于 A，由裂项求和法可判断
选项正误；对于 B，由 可判断选项正误；对于 C，通过举反例可完成判断；对
于 D，利用 ，结合裂项相消法可得答案.
【详解】令 ，则 ，
再令 ，则 ，
即 为以 1 为首项，公差为 1 的等差数列，则 .
对于 A，因 ，则
，故 A 正确；
第 12页/共 25页
学科网（北京）股份有限公司对于 B， 时， ，
因 ，则 ，故 B 正确；
对于 C，当 时， ，
因 ，则 ，故 C 错误；
对于 D，由题 ，下证 ，即证 ，
由基本不等式这显然成立，则 ，对于任意 成立，当且仅当 取等号.
故
，注意到 ，
则 ，故 D 正确.
故选：ABD
【点睛】关键点睛：对于函数与数列综合题目，赋值法是有力工具；对于数列不等式的证明，放缩是常用
手段.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 已知 和 分别是等差数列 与等比数列 的前 项和，且 ， ， ，
则 _____．
【答案】9 或 18
【解析】
【分析】根据等比数列定义求得公比，再利用两数列各项之间的关系计算可得结果.
【详解】设等比数列 的公比为 ，
由 ， 可得 ，即 ，
解得 或 ；
第 13页/共 25页
学科网（北京）股份有限公司当 时，可得 ，又 ，所以 ；
此时 ；
当 时，，可得 ，又 ，所以 ；
此时 ；
综上可得， 或 18.
故答案为：9 或 18
13. 已知底面重合的两个正四面体 和 ， 为 的重心，记 ，
则向量 用向量 表示为_____
【答案】
【解析】
【分析】利用空间向量的加减法结合正三棱锥的几何特征求解即可.
【详解】设 H 为 BC 的中点，连接 AD，交平面 OBC 与 I，
由题意得
第 14页/共 25页
学科网（北京）股份有限公司故答案 ： .
14. 已知函数 ，对任意 ， 恒成立，则实数 的取值范围是_____.
【答案】
【解析】
【分析】首先可得 ，依题意可得 对任意 恒成立，从而得到 对任
意 恒成立，则 对任意 恒成立，利用导数求出 ，即可求出参数的取值
范围.
【详解】因为 对任意 恒成立，显然 ，
所以 对任意 恒成立，
即 对任意 恒成立，
即 对任意 恒成立，
令 ， ，
则 ，所以 在 上单调递增，
所以 对任意 恒成立，
又当 时 ，当 时 ， ，
当 时 ， ，显然满足 对任意 恒成立，
当 时不等式 对任意 恒成立，
等价于 对任意 恒成立；
综上可得，即 对任意 恒成立，
即 对任意 恒成立，
第 15页/共 25页
学科网（北京）股份有限公司令 ， ，则 ，
所以当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，则 ，即实数 的取值范围是 .
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题关键是同构得到 对任意 恒成立，从而得到 对
任意 恒成立.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在平面直角坐标系 中，圆心为 的圆 C 与 y 轴相切，动直线 过点 .
（1）当 时，直线 被圆所截得的弦长为 ，求直线 的方程；
（2）圆 C 上存在点 满足 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1） 或 .
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用弦长公式求得圆心 到直线 的距离，然后根据直线 的斜率存在与不存在分类讨论，
利用点到直线距离公式列出关于 k 的方程，求解即可；
（2）设 ，由题意利用数量积的坐标运算求得 M 的轨迹方程，然后利用两圆有公共点列不等式求解
即可.
【小问 1 详解】
当 时，圆心 为 ，圆 的方程 ，
则圆心 到直线 的距离为 .
若直线 的斜率不存在时，则 ，此时直线 与圆 相切，不符合题意；
若直线 的斜率存在，可设直线 的方程为 ，即 .
第 16页/共 25页
学科网（北京）股份有限公司则 ，得 ，解得 ，
所以直线 的方程为 或 .
【小问 2 详解】
记圆 的半径为 ，因为 ，则 ，
设 ，由 得 ，
化简得： ，即 ，
所以 的轨迹为圆，记圆心为 ，半径为 ，
圆 上存在点 满足 ，即圆 和圆 有公共点，
所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，解得 ，因为 ，所以 ，
所以实数 的取值范围为 .
16. 已知数列 的前 项和 满足 ，令 .
（1）证明：数列 为等比数列；
（2）求数列 的前 项和 .
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用 与 的关系式，结合题意可得 ，从而得证；
（2）利用分组求和法与错位相减法可得答案.
【小问 1 详解】
第 17页/共 25页
学科网（北京）股份有限公司当 时，
当 时， ，
两式相减可得： ，
又 ，
则当 时， ，
是等比数列；
【小问 2 详解】
由（1）有 是等比数列，且公比为 2，首项为 ，
，
则 ，
记 ，则 ，
两式相减得，
，
，
数列 的前项和为 .
17. 如图五面体 中，四边形 是菱形， 是以角 为顶角的等腰直角三角形，点 为棱
的中点，点 为棱 的中点
第 18页/共 25页
学科网（北京）股份有限公司（1）求证： 平面
（2）若点 在平面 的射影恰好是棱 的中点，点 是线段 上的一点且满足 ，求平
面 与平面 所成角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2） .
【解析】
【分析】（1）取 的中点 ，利用线面平行的判定定理分别证明 平面 与 平面 ，
再结合面面平行的判定定理证得平面 平面 ，因 平面 ，即可证得 平面 ；
（ 2） 由 已 知 结 合 投 影 性 质 与 等 腰 直 角 三 角 形 性 质 ， 可 得 直 线 两 两 互 相
垂 直 ， 且
，建立空间直角坐标系，求得平面 与平面 的法向量，即可代入公式求解答案.
【小问 1 详解】
证明：取 的中点 ，连接 ，如图所示，
是 的中点，点 为棱 的中点，
，
而 平面 ， 平面 ，
平面 ,
菱形 ， ， ，
第 19页/共 25页
学科网（北京）股份有限公司又 分别是 的中点，
四边形 是平行四边形
，而 平面 ， 平面 ，
平面 ，
又 ， 平面 ,
平面 平面 ，而 平面 ，
平面 .
【小问 2 详解】
因为点 在平面 的射影恰好是棱 的中点，所以取 的中点 ，
连接 ，则 平面 ，因为 是以角 为顶角的等腰直角三角形，所以 .
故以 点为坐标原点， 分别为 轴建立空间直角坐标系 ，如图所示.
根据 ，可得 ，不妨设 ，
则 ，
，所以 ，
，
,
平面 的法向量为 ，
设平面 法向量为 ，
第 20页/共 25页
学科网（北京）股份有限公司， ,
设平面 与平面 所成角 ，则
则 ，
所以平面 与平面 所成角的余弦值为 .
18. 已知 是抛物线 的焦点，过焦点的最短弦长为 ．
（1）求抛物线 的方程；
（2）过动点 作抛物线 的两条切线，切点为 ， ，直线 与抛物线交于
（ 在第一象限）．
①求证：点 在定直线上；
②记 的面积分别为 ，当 时，求点 的坐标．
【答案】（1）
（2）①证明见解析；②
【解析】
【分析】（1）根据条件可得 ，即可求解；
（2）①设 ，利用导数的几何意义，求得两切线方程为 ，
，进而可得到直线 的方程为 ，再结合条件，即可求解；②利用①中结果，
可得直线 ，直线 ，联立抛物线方程，利用韦达定理得到 ， 间的关
系，再结合条件 ，得到 ，再联立方程，即可求解.
【小问 1 详解】
第 21页/共 25页
学科网（北京）股份有限公司由题知抛物线中过焦点最短的弦长为通径，即 ，得到 ，
故抛物线 的标准方程为 .
【小问 2 详解】
①设 ，由 ，得到 ，所以 ，
得到 ，即 ，同理， ，
又点 在线上，所以 ，故直线 的方程为 ，即 ，
因为 ，所以 ，又 ，所以 ，得到 ，
所以点 在定直线 上.
② ，由①有直线 ，过点 ，直线 ，
联立 ，消 得到 ，所以 ，
又由 ，消 得到 ，所以 ，
又因为 ，
因为 在第一象限，所以 ，
第 22页/共 25页
学科网（北京）股份有限公司又 ，且 ， ，得到 ，两式相乘可得
，
又 ，所以 ，得到 ，
所以 ，即 ，
由 ，解得 或 ，
当 时， ，当 时， ，
又 ，所以 ，得到 .
【点睛】关键点点晴，本题的关键在于第（2）问中的①：利用导数的几何意义，求出过点的切线方程；②
根据条件得到 ，再联立直线 与抛物线方程及联立 与抛物线方程，
用方程思想求解即可.
19. 对定义在数集 上的可导函数 ，若数列 满足 ，其中 为 的导
函数，则称 为 在 上的“牛顿列”．
（1）若 为 的“牛顿列”， ，求 的通项公式；
（2）若 为 的“牛顿列”，其中 ， ，求证： ，
；
（3）若 为 的“牛顿列”，求证： 且 ， ，其中 为
的唯一零点．
【答案】（1）
第 23页/共 25页
学科网（北京）股份有限公司（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意可知 为等差数列，公差为 ，即可得结果；
（2）根据题意可得 ，利用反证法可知对 ， ，可得 ，利
用累积法分析证明；
（3）根据题意可得 ，根据零点可知 ，且 ，根据正弦函数有
界性以及三角恒等变换分析证明.
【小问 1 详解】
由题意可知： ，
则 ，可知 等差数列，公差为 ，
所以 .
【小问 2 详解】
由题意可知： ，
则 ，可知 ， 同号，
且 ，所以 ， ，
又因为 ，则 ．
假设存在 ， ，则 ，
这与 矛盾，可知对 ， ，
可得 ，
所以 .
第 24页/共 25页
学科网（北京）股份有限公司【小问 3 详解】
由题意可知： ，
则 ，且 在 上单调递增，
且 ， ，则 在 上有唯一零点 ，且 ，
则
，
因为 ，
可得 ，
又因为 ，
所以 ．
【点睛】方法点睛：对于新定义问题，根据“牛顿数列”的定义，可得 与 关系，根据递推关系研究数
列的性质，进而分析问题.
第 25页/共 25页
