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江苏省海安中学 2025 届高三年级学习测试
数学试卷
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选
项是正确的
1.已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.命题“ ”的否定为（ ）
A. B.
C. D.
3.已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 是偶函数 B. 是增函数
C. 是周期函数 D. 的值域为
4.若 ，则（ ）
A. B.
C. D.
5.已知函数 ，则 的图象大致是（ ）
A. B.C. D.
6.如图，矩形 的三个顶点 分别在函数 的图像上，且矩形的
边分别平行于两坐标轴.若点 的纵坐标为2，则点 的坐标为（ ）
A. B. C. D.
7.已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
8.已知 ，则（ ）
A. B.
C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求､全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分
9.下列函数中，在区间 上单调递减的函数是（ ）
A. B.C. D.
10.下面的结论中正确的是（ ）
A.若 ，则
B.若 ，则
C.若 ，则
D.若 ，则
11.已知函数 ，下列结论中正确的是（ ）
A. 的图像关于 中心对称
B. 的图像关于 对称
C. 的最大值为
D. 既是奇函数，又是周期函数
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知 分别是定义在 上的奇函数和偶函数，且 ，则
__________.
13.某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为 ，第二年的增长率为 ，则该市这两年生产总值
的年平均增长率为__________.
14.若存在实数 ，对任意的 ，不等式 成立，则整数 的最大值为
__________.（参考数据： ）
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本题13分）如图1，在等腰直角三角形 中， 分别是 上的点，
为 的中点.将 沿 折起，得到如图2所示的四棱锥 ，其中
.
（1）求证： 平面 ；
（2）求点 到平面 的距离.
16.（本题15分）设数列 的各项均为正整数.
（1）数列 满足 ，求数列 的通项公式；
（2）若 是等比数列，且 是递减数列，求公比 .
17.（本题15分）已知函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
设 为曲线 的对称中心.
（1）求 的值；
（2）记 的角 对应的边分别为 ，若 ，求 边上的高 长的
最大值.
18.（本题17分）已知函数 .
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）当 时，求证 .19.（本题17分）在平面内，若直线 将多边形分为两部分，多边形在 两侧的顶点到直线 的距离之和相
等，则称 为多边形的一条“等线”，已知 为坐标原点，双曲线 的左､右焦
点分别为 的离心率为2，点 为 右支上一动点，直线 与曲线 相切于点 ，且与 的渐近
线交于 两点，当 轴时，直线 为 的等线.
（1）求 的方程；
（2）若 是四边形 的等线，求四边形 的面积；
（3）设 ，点 的轨迹为曲线 ，证明： 在点 处的切线 为 的等线
江苏省海安中学 2025 届高三年级学习测试
数学试卷答案
解析人：福佑崇文阁
一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分在每小题提供的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1 2 3 4 5 6 7 8
B C D C B A D B
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9 10 11
AC ACD ABD
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.1 13. 14.2
四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.【详解】（1）解：（1）连接 ，
在 中， ，
同理得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
因为
所以
所以
又因为 平面 平面
所以 平面 ；
（2）取 中点 ，则 以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴，建立空间
直角坐标系
则 ，
设平面 的一个法向量为 ，
又 ，所以 ，令 ，则 ，
则 ，
又 ，
所以点B到平面 的距离为 .
16.【详解】（1）因为 ，①
所以当 时， ，②
由①-②得， ，
所以 ，
经检验，当 时， ，符合题意，
所以
（2）由题设知 .
若 ，则 是递减数列，符合题意.
若 ，则当 时， ，不为正整数，不合题意.
若 ，则 ，当 ，即 时， ，这与 是递
减数列相矛盾，不合题意.
故公比 .
17.【详解】（1）因为 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 且 ，所以 ，可知 ，
又由 ，可知 ，所以 ，故 ，
由 ，可得 ，即 .
（2） ，
化简得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
又 ，所以 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，
所以 ，故 长的最大值为 .
18.【详解】（1）当 ，
所以 ，而 ，
切线方程为 ，
即所求切线方程为 ；
（2） 得定义域为 ，设 ，则 ，故 是增函数，
当 时， 时， ，
所以存在 ，使得 ①，
且 时， 单调递减，
时， 单调递增，
故 ②，由①式得 ③，
将①③两式代入②式，结合
得： ，
当且仅当 时取等号，结合（2）式可知，此时 ，
故 恒成立.
19.【详解】（1）由题意知 ，显然点 在直线 的上方，
因为直线 为 的等线，所以 ，
解得 ，所以 的方程为
（2）设 ，切线 ，代入 得：
故 ，
该式可以看作关于 的一元二次方程 ，所以 ，即 方程为
当 的斜率不存在时，也成立
渐近线方程为 ，不妨设 在 上方，
联立得 ，故 ，
所以 是线段 的中点，因为 到过 的直线距离相等，
则过 点的等线必定满足： 到该等线距离相等，
且分居两侧，所以该等线必过点 ，即 的方程为 ，
由 ，解得 ，故 .
所以 ，
所以 ，
所以 ，所以
（3）设 ，由 ，所以 ，
故曲线 的方程为
由（*）知切线为 ，也为 ，即 ，即
易知 与 在 的右侧， 在 的左侧，分别记 到 的距离为 ，
由（2）知 ，
所以
由 得
因为 ，
所以直线 为 .等线.
