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2024-2025 学年湖北省重点高中智学联盟高二下学期 5 月联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数f(x)=ln(2x)−f ′(1)x，则f ′(1)=( )
1
A. 1 B. −1 C. D. 2
2
2.若 ，则 ( )
Cx =C3x+3 (x∈N∗) Ax=
11 11 5
A. 5 B. 20 C. 60 D. 120
3.已知等差数列{a }的前n项和为S ，且a =2，S >0，S <0，则{a }的公差d的取值范围为( )
n n 2 6 7 n
4 4 3 4
A. (−2,− ) B. (− ,2) C. (−2,− ) D. (− ,−1)
3 3 4 3
4.咸宁马拉松活动中，将5名志愿者分配到4个服务点参加志愿工作，每人只去1个服务点，每个服务点至
少安排1人，则不同的安排方法共有( )
A. 60种 B. 120种 C. 240种 D. 360种
5.我国农历用“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”这12种动物按顺序轮流代表各年的
生肖年号 已知 年是蛇年，那么 年后是( )
. 2025 (1111+2)
A. 羊年 B. 马年 C. 龙年 D. 兔年
1
6.(2x+ −2) 4展开式中x2项系数为( )
x
A. 32 B. 64 C. 96 D. 128
a −a a
7.已知数列{a }满足a =10， n+1 n=2，则 n的最小值为( )
n 1 n+1 n
11 20
A. B. C. 7 D. 4√2+1
2 3
8.已知曲线y=x2与y=e2x+a恰好存在两条公切线，则实数a的取值范围( )
A. (−2,+∞) B. [−2,+∞) C. (−∞,−2] D. (−∞,−2)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 集合{a,b,c,d,e}的子集共有32个
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1 1B. 若把英文“small”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有59种
C. 3封信投入5个信箱，不同方法数有35种
D. 6个三好学生名额分给3个班，每个班至少一个名额，不同方法数有10种
10.杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉
算法》.杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的
.杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究，则下列结论正确的是( )
A. 第20行中最大的数是第11个数
B. 第20行中从左到右第18个数与第19个数之比为6:1
20
C. 记第 行的第 个数为 ，则
20 i a ∑2i−1a =320
i i
i=1
D. 第四斜行的数： ， ， ， ， ，，构成数列 ，则数列 的前 项和为
1 4 10 20 ⋯ {a } {a } n C4
n n n+3
11.已知定义在R上的奇函数f(x)连续，函数f(x)的导函数为f ′(x).当x>0时，
，其中 为自然对数的底数，则( )
f ′(x)(ex+e−x )−f(x)(ex−e−x )>f ′(x) e
A. 当x<0时，f(x)>0 B. f(x)在R上有且只有1个零点
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2 1C. f(1)>f(−1) D. f(x)在R上为增函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.从1，2，⋯，10中取三个不同的数，按从小到大的顺序排列，组成的数列是等比数列的概率为 ．
13.欧拉函数 的函数值等于所有不超过正整数 ，且与 互素的正整数的个数，例如 时，
φ(n)(n∈N∗) n n n=9
满足的为 ， ， ， ， ， ，则 数列 满足 ，则 的前 项和 ．
1 2 4 5 7 8 φ(9)=6. {a } a =φ(3n ) {a } n S =
n n n n
x3 f(x)+g(x)+|f(x)−g(x)|
14.已知函数f(x)=ax+eax−lnx，g(x)= ，设φ(x)= .若φ(x)≥x在
9 2
(0,+∞)上恒成立，则实数a的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
2025年这个寒假，国产AI助手DeepSeek在全球掀起一场科技风暴，其中文名“深度求索“反映了其探索
深度学习的决心。在测试DeepSeek时，如果输入问题没有语法错误DeepSeek的回答被采纳的概率为80%，
当出现语法错误时，DeepSeek的回答被采纳的概率为50%.现已知输入的问题中出现语法错误的概率为
10%．
(1)求DeepSeek的回答被采纳的概率;
(2)现已知DeepSeek的回答被采纳，求该问题的输入语法没有错误的概率．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=lnx−ax．
(1)讨论函数y=f(x)的单调性;
当 时，曲线 在点 处的切线与曲线 只有一个公共点，
(2) a=−1 y=f(x) (1,1) y=mx2+(2m+3)x+1(m≠0)
求实数m的值．
17.(本小题15分)
已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，
{a } n S S =4S a =2a +1(n∈N∗).
n n 4 2 2n n
(1)求数列{a }的通项公式;
n
(2) 若 b =
{a
n
−2,n为奇数,
，设数列 {b } 的前 n 项和为 T ，求 T ．
n 2a +8,n为偶数, n n 2n
n
18.(本小题17分)
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3 1已知函数f (x)=x(x+1)(x+2)(x+3)⋯(x+k)，其中k为正整数．
k
(1)当k=2时，求f (x)在R上极值点;
2
f′ (0)
(2) 当 1≤n≤k=100 时，记数列 a = k ，有限数列 {b } 是首项为 1 ，公差为 2 的等差数列 . 求数
n f′ (0)f′ (0) n
n k−n
列{a b }的前100项和(化成最简形式)．
n n
19.(本小题17分)
n+2
已知f(x)=ex−ax−1，数列a
n
=
n(n+1)2n+1
．
(1)若f(x)≥0在x≥0上恒成立，则实数a的取值范围;
(2)求数列{a }的前n项和S ;
n n
已知数列 满足： ， ，证明： ．
(3) {b } b =1 b =(1+a )b b <√e
n 1 n+1 n n n
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4 1参考答案
1.C
2.B
3.D
4.C
5.B
6.D
7.B
8.D
9.ABD
10.ABD
11.BCD
1
12.
30
13.3n−1
1
14.[ ,+∞)
e
15.解：(1)记事件A:DeepSeek中输入的语法无错误;事件B:DeepSeek中输入的语法有错误;事件
C:DeepSeek的回答被采纳．
依题意：P(A)=0.9，P(B)=0.1，P(C|A)=0.8，P(C|B)=0.5，
所以P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)=0.9×0.8+0.1×0.5=0.77；
P(AC) P(A)P(C|A) 0.9×0.8 72
(2)P(A|C)= = = = ．
P(C) P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B) 0.9×0.8+0.1×0.5 77
1 1−ax
16.解：(1)f(x)的定义域为(0,+∞)，f′ (x)= −a= ，
x x
当a≤0时，f ′(x)>0恒成立，故f(x)在(0,+∞)上单调递增;
1 1
当a>0时，令f ′(x)>0，得x∈(0, );令f ′(x)<0，得x∈( ,+∞)，
a a
1 1
故f(x)在(0, )上单调递增，在( ,+∞)上单调递减．
a a
综上，当a≤0时，f(x)在(0,+∞)上单调递增;
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5 11 1
当a>0时，f(x)在(0, )上单调递增，在( ,+∞)上单调递减．
a a
1
(2)由f(x)=lnx+x，可得f ′(x)= +1.f ′(1)=2．
x
所以f(x)=lnx+x在点(1,1)处的切线为y−1=2(x−1)，即y=2x−1
因为切线 与曲线 只有一个公共点，
y=2x−1 y=mx2+(2m+3)x+1(m≠0)
所以由{ y=2x−1 消去 得 ，由 得 1
y mx2+(2m+1)x+2=0(m≠0) Δ=0 m=
y=mx2+(2m+3)x+1 2
1
综上，实数m的值为 ;
2
17.解： 设等差数列 的首项为 ，公差为 ．
(1) {a } a d
n 1
因为 ， ，
S =4S a =2a +1(n∈N∗)
4 2 2n n
所以{ 4a 1 +6d=4(2a 1 +d) ，化简得{d=2a 1 ，
a +(2n−1)d=2[a +(n−1)d]+1 d=a +1
1 1 1
所以a =1，d=2，所以数列{a }的通项公式为a =2n−17
1 n n
(2)由a =2n−1，
n
{2n−3,n为奇数,
得b =
n 4n+6,n为偶数,
则
(−1+4n−5)⋅n (14+8n+6)⋅n
T =(b +b +⋯+b )+(b +b +⋯+b )=[−1+3+⋯+(4n−5)]+[14+22+⋯+(8n+6)]= + =6n2+7n
2n 1 3 2n−1 2 4 2n 2 2
18.解： ，
(1)f (x)=x(x+1)(x+2)=x3+3x2+2x
2
√3
令f ′(x)=3x2+6x+2=0，解之得，x=−1±
2 3
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6 1√3
当x∈(−∞,−1− )时，f ′(x)>0，f (x)单调递增;
3 2 2
√3 √3
当x∈(−1− ,−1+ )时，f ′(x)<0，f (x)单调递减;
3 3 2 2
√3
当x∈(−1+ ,+∞)时，f ′(x)>0，f (x)单调递增;
3 2 2
√3 √3
故f (x)的极大值点为−1− ，极小值点为−1+
2 3 3
(2)f ′(x)=x′[(x+1)(x+2)(x+3)⋯(x+k)]+x[(x+1)(x+2)(x+3)⋯(x+k)]′
k
故f ′(0)=(0+1)(0+2)(0+3)⋯(0+k)=k!
k
k!
则a = =Cn=Cn ，
n n!(k−n)! k 100
又{b }是首项为1，公差为2的等差数列，故b =2n−1
n n
则 ，其中
a b =(2n−1)Cn 1≤n≤100
n n 100
T=a b +a b +a b +⋯+a b =1⋅C1 +3C2 +5C3 +⋯+199C100
1 1 2 2 3 3 100 100 100 100 100 100
则考虑
S=T−1=−1⋅C0 +1⋅C1 +3C2 +5C3 +⋯+199C100
100 100 100 100 100
则
S=199⋅C0 +197⋅C1 +195C2 +193C3 +⋯+(−1)C100
100 100 100 100 100
则
2S=198⋅C0 +198⋅C1 +198C2 +198C3 +⋯+198C100
100 100 100 100 100
2S=198(C0 +C1 +C2 +C3 +⋯+C100 )=198×2100
100 100 100 100 100
故S=99×2100
故
T=a b +a b +a b +⋯+a b =S+1=99×2100+1
1 1 2 2 3 3 100 100
19.解： ， ，
(1)f(x)=ex−ax−1 f ′(x)=ex−a
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7 1①a≤1，f ′(x)≥0，f(x)在x∈[0,+∞)上单调递增，f(x)≥f(0)=0恒成立；
②a>1，f ′(x)=0，x=lna>0，当x∈(0,lna)时，f ′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈(lna,+∞)时，f ′(x)>0f(x)单调递增，
f(x)≥f(lna)=a−alna−1≥0，g(a)=a−alna−1，g′(a)=−lna<0，g(a)
