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⾼⼆数学 ⽉⽉考
12
⼀、单选题：本⼤题共8⼩题，共40分.
1. 已知直线 过点（2，0），且与直线 平⾏，则 （ ）
A.1 B.2 C.-2 D.-1
2. 圆 与圆 的位置关系为（ ）
A. 外切 B. 内切 C. 相交 D. 相离
3. 已知椭圆 ，则不随参数 变化⽽变化的是（ ）
A. 顶点坐标 B. 离⼼率 C. 焦距 D. ⻓轴⻓
4. 已知直线 和圆 ，若直线 与圆 相切，则 （ ）
A B. C. 或 D. 或
5. ⼀条光线从点 射出，经直线 反射后，与圆 相切于点M，则光线
从P到M经过的路程为（ ）
A 4 B.5 C. D.
6. 设 为坐标原点，直线 与抛物线C： 交于 ， 两点，若 ，则 的
焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
7. 双曲线C: 的 ⼀条渐近线的倾斜⻆为130°，则C的离⼼率为
A.2sin40° B.2cos40° C. D.
8. 椭圆 的焦点在 轴上，则它的离⼼率的取值范围（ ）
A. B. C. D.
⼆、多选题：本⼤题共3⼩题，共18分.
第1⻚/共4⻚
学科⽹（北京）股份有限公司9. 已知点 是双曲线 的左､右焦点， 是双曲线右⽀上的⼀点，且 ，
，则（ ）
A.
B. 的⾯积为
C. 双曲线的离⼼率为
D. 直线 是双曲线的⼀条渐近线
10. 已知 是椭圆 的两个焦点，点 在 上且不在 轴上，则（ ）
A. 椭圆 的⻓轴⻓为10
B. 椭圆 的离⼼率为
C. 椭圆 的焦距为4
D. 的周⻓为18
11. 已知抛物线 的焦点为F，直线的斜率为 且经过点F，直线l与抛物线C交于点
A，B两点（点A在第⼀象限）、与抛物线的准线交于点D，若 ，则以下结论正确的有（ ）
A. B.F为 中点
C. D.
三、填空题：本⼤题共3⼩题，共15分.
12. 若圆 被直线 平分，则圆C的半径为______．
13. 如果 分别是双曲线 的左、右焦点， 是双曲线左⽀上过点 的弦，且 ，
则 的周⻓是____
14. 已知 是椭圆C的⼀个焦点，B是短轴的⼀个端点，线段BF的延⻓线交C于点D，且 ，
则C的离⼼率为________________
第2⻚/共4⻚
学科⽹（北京）股份有限公司四、解答题：本⼤题共5⼩题，共77分.
15. （1）已知曲线 .若曲线 是焦点在 轴上的椭圆，求 的取值范
围；
（2）求满⾜下列条件的椭圆的标准⽅程：经过两点 ， .
16. 已知直线 经过点 ，与直线 和 分别交于 ， 两点，⽽且线段
被点 平分．
（1）求直线 的⽅程；
（2）若圆 的圆⼼在 上，与直线 相切，且直线 被此圆截得弦⻓为 ，
试求圆 的⽅程．
17. 已知椭圆 过点 ，且焦距 ．
（1）求椭圆 的标准⽅程；
（2）设过点 的直线 与椭圆 交于不同的两点，求直线 的斜率 的取值范围．
18. 已知点 ， ，直线 ， 相交于 ，且它们的斜率之积为 ．
（1）求动点 的轨迹⽅程；
（2）若过点 的直线 交点 的轨迹于 ， 两点，且 为线段 的中点，求直线 的⽅程．
19. 已知点 为抛物线 的焦点，过点 的动直线 与抛物线C交于 , 两点，如图．
当直线 与 轴垂直时， ．
（1）求抛物线C的⽅程；
（2）已知点 ,设直线PM 斜率为 ，直线PN的斜率为 ．请判断 是否为定值，若是，写
第3⻚/共4⻚
学科⽹（北京）股份有限公司出这个定值，并证明你的结论；若不是，说明理由．
第4⻚/共4⻚
学科⽹（北京）股份有限公司⾼⼆数学 ⽉⽉考
12
⼀、单选题：本⼤题共8⼩题，共40分.
1. 已知直线 过点（2，0），且与直线 平⾏，则 （ ）
A.1 B.2 C.-2 D.-1
【答案】D
【解析】
【分析】利⽤两条直线平⾏的特点即可求出.
【详解】由直线 过点 ，得 ，即 ，
由直线 与直线 平⾏，得 ，即 ，
所以 ．
故选： .
2. 圆 与圆 的位置关系为（ ）
A. 外切 B. 内切 C. 相交 D. 相离
【答案】A
【解析】
【分析】分别求得 和 的圆⼼坐标和半径，结合圆与圆的位置关系的判定⽅法，即可求解.
【详解】将圆 的⽅程化为标准⽅程为 ，圆⼼为 ，半径 ，
圆 的⽅程化为标准⽅程为 ，圆⼼为 ，半径 ，
由 ，且 ，可得 ，
所以圆 和 外切.
故选：A.
3. 已知椭圆 ，则不随参数 的变化⽽变化的是（ ）
A. 顶点坐标 B. 离⼼率 C. 焦距 D. ⻓轴⻓
【答案】C
【解析】
第1⻚/共15⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【分析】根据给定条件，求出椭圆的⻓短半轴⻓、半焦距、离⼼率即可判断得解.
详解】椭圆 中，⻓半轴⻓ ，短半轴⻓ ，半焦距
，
显然顶点坐标 随 的变化⽽变化，离⼼率 随 的变化⽽变化，
⻓轴⻓ 随 的变化⽽变化，ABD不是；
焦距 不随 的变化⽽变化，C是.
故选：C
4. 已知直线 和圆 ，若直线 与圆 相切，则 （ ）
A. B. C. 或 D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】由直线与圆相切，可得圆⼼到直线的距离等于半径，列⽅程可求出 的值.
【详解】圆 ，则圆⼼为 ，半径为 ，
因为直线 即 和圆 相切，
所以 ，平⽅得 ，解得 或 .
故选：C
5. ⼀条光线从点 射出，经直线 反射后，与圆 相切于点M，则光线
从P到M经过的路程为（ ）
A.4 B.5 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出 关于直线 的对称点 ，然后计算点 引出的切线⻓即可.
【详解】设 关于直线 的对称点为 ，则光线反射后经过的路径所在的直线即为直线
第2⻚/共15⻚
学科⽹（北京）股份有限公司.
根据 的定义，有 到直线的距离相等，且其连线与其垂直，
故 ， .
从⽽ ， ，故 ，即 或 .
但 不重合，故 ，所以 ，从⽽ ，即 .
⽽ ， ，故 .
根据对称性，光线经过的路程即为 .
故选：C.
6. 设 为坐标原点，直线 与抛物线C： 交于 ， 两点，若 ，则 的
焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题中所给的条件 ，结合抛物线的对称性，可知 ，从⽽可以确
定出点 的坐标，代⼊⽅程求得 的值，进⽽求得其焦点坐标，得到结果.
【详解】因为直线 与抛物线 交于 两点，且 ，
根据抛物线 对称性可以确定 ，所以 ，
代⼊抛物线⽅程 ，求得 ，所以其焦点坐标为 ，
故选：B.
【点睛】该题考查 是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，
点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题⽬.
7. 双曲线C: 的 ⼀条渐近线的倾斜⻆为130°，则C的离⼼率为
A.2sin40° B.2cos40° C. D.
第3⻚/共15⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【答案】D
【解析】
【分析】由双曲线渐近线定义可得 ，再利⽤ 求双曲线的
离⼼率．
【详解】由已知可得 ，
，故选D．
【点睛】对于双曲线： ，有 ；对于椭圆
，有 ，防⽌记混．
8. 椭圆 的焦点在 轴上，则它的离⼼率的取值范围（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据椭圆 1的焦点在x轴上，确定a的范围，表示出椭圆的离⼼率，利⽤基本不
等式，可得结论．
【详解】∵椭圆 1的焦点在x轴上，
∴5a＞4a2+1
∴
∵椭圆的离⼼率为 （当且仅当 ，即a
时取等号）
第4⻚/共15⻚
学科⽹（北京）股份有限公司∴椭圆的离⼼率的取值范围为（0， ]
故选：C．
【点睛】本题考查椭圆的标准⽅程与离⼼率，考查基本不等式的运⽤，考查学⽣的计算能⼒，属于基础题．
⼆、多选题：本⼤题共3⼩题，共18分.
9. 已知点 是双曲线 的左､右焦点， 是双曲线右⽀上的⼀点，且 ，
，则（ ）
A.
B. 的⾯积为
C. 双曲线 离⼼率为
D. 直线 是双曲线的⼀条渐近线
【答案】ACD
【解析】
【分析】由双曲线定义可以判断A；借助于 ，直接求 判断B选项；焦点三⻆形中借助勾
股定理得到 关系可判断C；借助于 ，求渐近线⽅程判断D.
【详解】
由双曲线的定义可得 ， ， ，故A正确；
因为 ，故 的⾯积为 ，故B错误；
第5⻚/共15⻚
学科⽹（北京）股份有限公司由勾股定理得 ，即 ，所以 ，故C正确；
因为 ，所以 ，即 ，所以双曲线的渐近线⽅程为 ，故D正确，
故选：ACD.
10. 已知 是椭圆 的两个焦点，点 在 上且不在 轴上，则（ ）
A. 椭圆 的⻓轴⻓为10
B. 椭圆 的离⼼率为
C. 椭圆 的焦距为4
D. 的周⻓为18
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据椭圆⽅程写出⻓轴⻓、焦距、离⼼率，结合椭圆的定义求焦点三⻆形的周⻓，即可得答案.
【详解】由椭圆⽅程知： ，
所以椭圆⻓轴⻓为 ，焦距 ，离⼼率 ，A、B对，C错；
的周⻓为 ，D对.
故选：ABD
11. 已知抛物线 的焦点为F，直线的斜率为 且经过点F，直线l与抛物线C交于点
A，B两点（点A在第⼀象限）、与抛物线的准线交于点D，若 ，则以下结论正确的有（ ）
A. B.F为 中点
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】作 准线于 ， 轴于 ， 准线于 ，计算得到 ， 为 中点，
第6⻚/共15⻚
学科⽹（北京）股份有限公司， ，得到答案.
【详解】如图所示：作 准线l于点C， 轴于M， 准线l于点E．直线的斜率为 ，
所以
∴ ，
故 ，代⼊抛物线，得 （ 舍去）； ，所
以 ，故F为 中点；
⼜ ，故 ；
， ，故 ．
故选：BCD．
三、填空题：本⼤题共3⼩题，共15分.
12. 若圆 被直线 平分，则圆C的半径为______．
【答案】
【解析】
【分析】⾸先根据条件确定圆⼼在直线上，代⼊求 后，即可求圆的半径．
【详解】若圆 被直线 平分，则直线过圆⼼，
圆 的圆⼼为 ，
即 ，
解得： ，
则圆 ，则圆 的半径为 ．
第7⻚/共15⻚
学科⽹（北京）股份有限公司故答案为： ．
13. 如果 分别是双曲线 的左、右焦点， 是双曲线左⽀上过点 的弦，且 ，
则 的周⻓是____
【答案】28
【解析】
【分析】本题涉及到双曲线上的点和两焦点构成的三⻆形问题，可⽤定义处理，由定义知 ①，
②，两式相加再结合已知 即可求解.
【详解】解：由题意知： ，故 .
由双曲线的定义知 ①， ②，
①＋②得： ，所以 ，
所以 的周⻓是 .
故答案为：28.
【点睛】本题考查双曲线的定义的应⽤，涉及到双曲线上的点和两焦点构成的三⻆形问题，⼀般⽤定义处
理.
14. 已知 是椭圆C的⼀个焦点，B是短轴的⼀个端点，线段BF的延⻓线交C于点D，且 ，
则C的离⼼率为________________
【答案】
【解析】
【详解】设椭圆C的焦点在x轴上，如图所示，则B(0，b)，F(c,0)，D(x ，y )，则 ＝(c，－b)， ＝
D D
(x －c，y )，
D D
∵ ＝2 ，∴
第8⻚/共15⻚
学科⽹（北京）股份有限公司∴
∴ ＋ ＝1，即e2＝ ，∴e＝ ．
四、解答题：本⼤题共5⼩题，共77分.
15. （1）已知曲线 .若曲线 是焦点在 轴上的椭圆，求 的取值范
围；
（2）求满⾜下列条件的椭圆的标准⽅程：经过两点 ， .
【答案】（1） ；（2） ＋ ＝1.
【解析】
【分析】（1）由题意，将曲线 转化为 ，再根据曲
线 表示焦点在 轴上的椭圆，列出关于 的不等式，即可求出结果.
（2）⽅法⼀：分别根据焦点在 ， 轴上，设椭圆的标准⽅程，代⼊点，即可求出结果；
⽅法⼆：设椭圆的⼀般⽅程为 ，即可求出结果.
【详解】由 ，得 .
第9⻚/共15⻚
学科⽹（北京）股份有限公司因为椭圆的焦点在 轴上，
所以
解得
