文档内容
2025 学年第一学期杭州 S9 联盟期中联考
高二年级数学学科试题
考生须知：
1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟；
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号并填涂相应数字.
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；
4.考试结束后，只需上交答题纸.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 在复平面内，复数 对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. “ ”是“直线 与直线 平行”的（ ）
A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要
3. 已知 是空间直角坐标系 中一点，与点 关于 平面对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，在平行六面体 中， ， ，
则 （ ）A. B. C. D.
5. 已知 是正实数，直线 平分圆： 所围成的面积，则
的最小值为（ ）
.
A 12 B. 10 C. 8 D. 25
6. 函数 的图象向右平移 个单位长度后，其图象关于 轴对称，
则 （ ）
A. B. C. D.
7. 若直线 在 轴上的截距为 ，且它的倾斜角是直线 的倾斜角的2倍，则
的值为（ ）
A. B. 1 C. D. 7
8. ，过定点 的动直线 和过定点 的动直线 交于点 （
与 不重合， 为坐标原点），则以下结论：（1） 为定值；（2） 的面积的最
大值为 ；（3） 的最大值为5；（4） 的最大值为 .其中正确的结论有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知直线 ，不同的平面 ，下列命题中正确的是（ ）
A. 若 ，且 ，则
.
B 若 ，且 ，则C. 若 ，且 ，则
D. 若 ，且 ，则
10. 以下四个命题表述正确的是（ ）
A. 过点 ）且在 轴、 轴上截距相等的直线方程为
B. 圆 上有且仅有3个点到直线 的距离都等于1
C. 圆 与圆 恰有三条公切线，则
D. 已知圆 ，过点 向圆 引两条切线 为切点，则直线 方程为
11. 棱长为2的正方体 中，点 在棱 上运动，点 是棱 的中点，则下列说法
正确的是（ ）
A. 若 是棱 的中点，则 平面
B. 存在点 使
C. 若 与平面 所成的角记为 ，则
D. 点 到直线 的距离最小值为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在空间直角坐标系中，已知 ，则 的最小值是__________.
13. 圆心在直线 上且与直线 相切于点 的圆的方程是________．
14. 已知直线 与圆心在原点的圆 相切，函数 过定点 ，过点作圆 的两条互相垂直的弦 ，则四边形 面积的最大值为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
的
15. 在锐角 中，内角 对边分别为 ，且 .
（1）求角 的大小；
（2）若 ，求 的面积.
16. 已知两直线 .
（1）求过两直线的交点且与直线 平行的直线方程.
（2）已知两点 ，动点 在直线 运动，求 的最小值.
的
17. 如图，在四棱锥 中，四边形 是边长为2 菱形， ，
，点 分别为棱 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）若直线 与平面 所成角的大小为 ，求二面角 的余弦值.
18. 公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯（Apollonius）在《平面轨迹》一书中，研究了众多的平面轨
迹问题，其中有如下著名结果：平面内到两个定点A，B距离之比为 （ 且 ）的点P的轨迹为
圆，此圆称为阿波罗尼斯圆.已知两定点 ， ，若动点P满足 ，动点P轨迹为圆C.
（1）求圆C的方程；（2）过点 的直线l与圆C交于D、E两点，若弦长 ，求直线l的方程；
（3）若Q是x轴上的动点， ， 与圆C相切，切点分别为F，G，试问直线 是否恒过定点？若
是，求出定点坐标：若不是，请说明理由.
19. 在空间直角坐标系 中，定义：过点 ，且方向向量为 的直线
的点方向式方程为 ；
过点 ，且法向量为 的平面的点法向式方程为
，将其整理为一般式方程为 ，其中 ．
（1）已知直线 的点方向式方程为 ，平面 的一般式方程为 ，求
直线 与平面 所成角的余弦值；
（2）已知平面 的一般式方程为 ，平面 的一般式方程为 ，平面
的一般式方程为 ，若 ，证明： ；
（3）已知斜三棱柱 中，侧面 所在平面 经过三点
，侧面 所在平面 的一般式方程为 ，侧面 所在平面 的
一般式方程为 ，求平面 与平面 夹角的余弦值．
