2007年湖南高考文科数学真题及答案_数学高考真题试卷_旧1990-2007·高考数学真题_1990-2007·高考数学真题·PDF_湖南

2007 年湖南高考文科数学真题及答案 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择）题两部分，满分150分.考试用时120分钟. 参考公式: 如果事件A、B互斥，那么P(AB) P(A)P(B) 如果事件A、B相互独立，那么P(AB)  P(A)P(B) 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的 概率是P (k)CkPk(1P)nk n n 4 球的体积公式 V  R3,球的表面积公式S 4R2，其中R表示球的半径 3 第Ⅰ卷（选择题） 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1．不等式x2  x的解集是 A．,0 B. 0,1 C. 1, D. ,01, 2．若O、E、F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是       A．EF OF OE B. EF OF OE       C. EF OF OE D. EF OF OE 3. 设 p:b2 4ac0a 0，q:关于x的方程ax2 bxc0a0有实根，则 p是q 的 A．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 1 4．在等比数列a  nN 中，若a 1,a  ，则该数列的前10项和为 n 1 4 8 1 1 1 1 A． 2 B. 2 C. 2 D. 2 28 29 210 211 5．在1xn nN 的二项展开式中，若只有x5的系数最大，则n A．8 B. 9 C. 10 D.11 6．如图1，在正四棱柱 ABCDABC D 中，E、F 1 1 1 1 第1页 | 共12页分别是AB、BC 的中点，则以下结论中不成立的是 1 1 A．EF与BB垂直 B. EF与BD垂直 1 C. EF与CD异面 D. EF与AC异面 1 1 图1 7．根据某水文观测点的历史统计数据，得到某条河流水位的频率分布直方图（如图2），从 图中可以看出，该水文观测点平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是 A．48米 B. 49米 C. 50米 D. 51米  4x4 x1 8．函数 f(x) 的图象和函数g(x)log x的图象的交点个数是 x2 4x3 x1 2 A．1 B.2 C.3 D. 4 x2 y2 9．设F、F 分别是椭圆  1a b0的左、右焦点，P是其右准线上纵坐标为 1 2 a2 b2 3c（c为半焦距）的点，且 FF  F P ，则椭圆的离心率是 1 2 2 31 1 51 2 A． B. C. D. 2 2 2 2 10. 设集合 M 1,2,3,4,5,6， S、S 、 、S都是M 的含两个元素的子集，且满 1 2  k 足 ： 对 任 意 的 S a ,b,S   a ,b  i  j,i、j1,2,3, ,k ， 都 有 i i i j j j  a b  a b  min i , i min j , j   minx,y表示两个数x、y中的较小者 .则k的最大值  b i a i   b j a j  是 A．10 B.11 C. 12 D. 13 第2页 | 共12页二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在横线上. 11. 圆心为1,1且与直线x y 4相切的圆的方程是 .  12. 在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a 1,c 3,C  ，则 3 A= . 2 4 13. 若a0,a3  ,则log a . 9 2 3 14. 设集合A x,y| y|x2|,x0  ,B x,y| yxb  ,AB ， （1）b的取值范围是 . （2）若x,yAB,且x2y的最大值为9，则b的值是 . 15.棱长为1的正方形ABCDABC D 的8个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积 1 1 1 1 是 ；设E、F分别是该正方形的棱AA、DD的中点，则直线EF被球O截得的线段 1 1 长为 . 三．解答题：本大题共６小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分１２分）       已知函数 f x12sin2  x  2sin  x  cos  x .求：  8   8   8  (Ⅰ)函数 f x的最小正周期； （Ⅱ）函数 f x的单调增区间. 17.（本小题满分１２分） 某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下 岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训.已知参加过财会培训的有60%， 参加过计算机培训的有75%.假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相 互之间没有影响. (Ⅰ)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率； (Ⅱ)任选3名下岗人员，求这3人中至少有2人参加过培训的概率. 18.（本小题满分１4分） 第3页 | 共12页如图 3 ，已知直二面角PQ， APQ， B， C， CACB， BAP  45，直线CA和平面所成的角为30. (Ⅰ)证明BC  PQ； (Ⅱ)求二面角BACP的大小. 19.（本小题满分13分） 已知双曲线x2  y2 2的右焦点为F，过点F的动直线与双曲线相交与A、B两点，点 C的坐标是（1，0）.   （Ｉ）证明CACB为常数；     （Ⅱ）若动点M满足CM CACBCO（其中O为坐标原点）， 求点M 的轨迹方程. 第4页 | 共12页20.（本小题满分13分） 设S 是数列  a  (nN*)的前n项和，a  a，且S 2 3n2a S 2 ，a  0， n n 1 n n n1 n n  2,3,4, 。  （Ⅰ）证明数列a a (n2)是常数数列； n2 n （Ⅱ）试找出一个奇数a，使以18为首项，7为公比的等比数列b  nN 中的所有项 n 都是数列a 中的项，并指出b 是数列a 中的第几项. n n n 21.（本小题满分13分） 1 1 已知函数 f x x3 ax2 bx在区间1,1,1,3内各有一个极值点. 3 2 （Ⅰ）求a2 4b的最大值； （Ⅱ）当a2 4b8时，设函数y  f x在点A  1, f 1 处的切线为l，若在点A处穿 过y  f x的图象（即动点在点A附近沿曲线y  f x运动，经过点A时，从l 的一侧进入另一侧），求函数 f x的表达式. 参考答案 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分． 1.D 2.B 3.A 4.B 5.C 6.D 7.C 8.C 9.D 10.B 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分24分． 第5页 | 共12页 11.(x1)2 (y1)2 2 12. 13.3 6 9   14.（1） 2, （2） 15.3， 2 2 三、解答题   16.解： f(x) cos(2x )sin(2x ) 4 4     2sin(2x  )  2sin(2x )  2cos2x 4 4 2 2 (Ⅰ) 函数 f x的最小正周期是T   2  （Ⅱ）当2k 2x  2k，即k  x  k（kZ ）时， 2 函数 f(x)  2cos2x是增函数，  故函数 f x的单调增区间是[k ,k]（kZ ） 2 17. (Ⅰ)解法一 任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是 P  P(AB) P(A)P(B)0.40.250.1 1 所以该人参加过培训的概率是1P 10.10.9 1 解法二 任选1名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是 P  P(AB AB) P(AB)P(AB)0.60.250.40.750.45 2 该人参加过两项培训的概率是P  P(AB) P(A)P(B)0.60.750.45 3 所以该人参加过培训的概率是P P 0.450.450.9 2 3 (Ⅱ) 解法一 任选3名下岗人员，这3人中只有2人参加过培训的概率是 P C20.920.10.243 4 3 3人都参加过培训的概率是P C30.93 0.729 5 3 所以3人中至少有2人参加过培训的概率是P P 0.2430.7290.972 4 5 解法二 任选3名下岗人员，这3人中只有1人参加过培训的概率是 P C10.90.12 0.027 6 3 3人都没有参加过培训的概率是P 0.13 0.001 7 所以3 人中至少有2 人参加过培训的概率是1P P 10.0270.0010.972 6 7 第6页 | 共12页18. (Ⅰ)证明：在平面内过点C作CO⊥PQ于点O，连结OB， 因为，  PQ，所以CO   又因为CA=CB，所以OA=OB， 而BAO  45， 所以ABO  45，AOB 90， 从而BO⊥PQ，又CO⊥PQ， 所以PQ⊥平面OBC， 因为BC 平面OBC，故BC  PQ (Ⅱ)解：解法一 由(Ⅰ)知，BO⊥PQ，又，  PQ，BO ，所以BO   过点O作OH⊥AC于点H，连结BH，由三垂线定理知：BH⊥AC， 故BHO是二面角BACP的平面角。 由(Ⅰ)知，CO ，所以CAO是CA和平面所成的角，即CAO 30 3 不妨设AC=2，则AO  3，OH  AOsin30 2 在RtOAB中，ABO BAO  45，所以BO  AO  3 BO 3 于是在RtBOH 中，tanBHO    2 OH 3 2 故二面角BACP的大小为arctan2 解法二 由(Ⅰ)知：OC OA，OC OB，OAOB， 故可以O为原点，分别以直线OB、OA、OC为x轴、y轴、 z轴建立空间直角坐标系（如图）。 因为CO ，所以CAO是CA和平面所 成的角，即CAO 30， 不妨设AC=2，则AO  3，CO 1 在RtOAB中，ABO BAO  45， 所以BO  AO  3 则相关各点的坐标分别是O(0,0,0)，B( 3,0,0)，A(0, 3,0)，C(0,0,1) 所以AB ( 3, 3,0)，AC (0, 3,1) 第7页 | 共12页 n AB 0   3x 3y 0 设n (x,y,z)是平面ABC的一个法向量，由 1 得： 1   n AC 0   3y z 0 1 取x1，得n (1,1, 3)。易知n (1,0,0)是平面的一个法向量 1 2 设二面角BACP的平面角为，由图可知， n ,n 1 2 n n 1 5 所以cos 1 2   n  n 51 5 1 2 5 故二面角BACP的大小为arccos 5 19. 解：由条件知F(2,0)，设A(x ,y )，B(x ,y ) 1 1 2 2 （Ｉ）当AB与x轴垂直时，可设点A、B的坐标分别为(2, 2)、(2, 2)，   此时CACB (1, 2)(1, 2)  1 当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是y  k(x2) (k  1) 代入x2  y2 2，有(1k2)x2 4k2x(4k2 2) 0 4k2 4k2 2 则x ，x 是上述方程的两实根，所以x  x  ，x x  1 2 1 2 k2 1 1 2 k2 1   于是CACB (x 1)(x 1) y y (x 1)(x 1)k2(x 2)(x 2) 1 2 1 2 1 2 1 2 (k2 1)x x (2k2 1)(x  x )4k2 1 1 2 1 2 (k2 1)(4k2 2) 4k2(2k2 1)   4k2 1 k2 1 k2 1 (4k2 2)4k2 1 1   综上所述，CACB为常数1 （Ⅱ）解法一 设M(x,y)，则CM (x1,y)，CA(x 1,y )，CB (x 1,y )， 1 1 2 2 CO (1,0)，由CM CACBCO得： 第8页 | 共12页x1 x  x 3 x  x  x2 1 2 1 2  ，即 y  y  y y  y  y   1 2 1 2 x2 y 于是AB的中点坐标为( , ) 2 2 y y  y 2 y y 当AB不与x轴垂直时， 1 2   ，即y  y  (x x ) x x x2 x2 1 2 x2 1 2 1 2 2 2  x 2  y 2  2 1 1 又因为A、B两点在双曲线上，所以 ，两式相减得 x 2  y 2  2  2 2 (x x )(x  x ) (y  y )(y  y )，即(x x )(x2) (y  y )y 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 y 将y  y  (x x )代入上式，化简得x2  y2  4 1 2 1 2 x2 当AB与x轴垂直时，x  x  2，求得M(2,0)，也满足上述方程 1 2 所以点M 的轨迹方程是：x2  y2  4 x  x  x2 1 2 解法二 同解法一得  ① y  y  y  1 2 4k2 当AB不与x轴垂直时，由（Ｉ）有x  x  ② 1 2 k2 1 4k2 4k y  y  k(x  x 4)  k( 4)  ③ 1 2 1 2 k2 1 k2 1 4k2 4k 由①②③得：x2 ， ④ y  ⑤ k2 1 k2 1 x2 当k  0时，y  0，由④、⑤得：  k，将其代入⑤有 y x2 4 y 4y(x2) y   ，整理得：x2  y2  4 (x2)2 (x2)2  y2 1 y2 当k 0时，点M的坐标为(2,0)，满足上述方程 当AB与x轴垂直时，x  x  2，求得M(2,0)，也满足上述方程 1 2 第9页 | 共12页故点M 的轨迹方程是：x2  y2  4 20. 解：（Ⅰ）当n  2时，由已知得S2 S2 3n2a n n1 n a S S 0，S S 3n2 ①  n n n1 n n1 于是S S 3(n1)2 ② n1 n 由②—①得：a a 6n3 ③ n1 n 于是a a 6n9 ④ n2 n1 由④—③得： a a 6 ⑤ n2 n 即数列a a (n2)是常数数列。 n2 n （Ⅱ）由①有S S 12，所以a 122a 2 1 2 由③有a a 15，所以a 32a 3 2 3     而⑤表明：数列 a 和 a 分别是以a 、a 为首项，6为公差的等差数列， 2k 2k1 2 3 所 以 a  a (k 1)66k 2a6， a  a (k 1)6 6k 2a3， 2k 2 2k1 3 kN* 由题设知，b 187n1 n   当a为奇数时，a 为奇数，而b 为偶数，所以b 不是数列 a 中的项，b 只可能是 2k1 n n 2k1 n   a 中的项。 2k   若b 18是数列 a 中的第k 项，由186k 2a6得a 3k 6， 1 2k 0 0 0 取k 3得：a 3，此时a 6k ，由b  a 得187n1 6k ， 0 2k n 2k k 37n1N*，从而b 是数列  a  中的第67n1项。 n n   （注：考生取满足 a 3k 6， k N*的任一奇数，说明 b 是数列 a 中的第 0 0 n n 2a 67n1  2项即可） 3 1 1 21. 解：（Ⅰ）因为函数 f x x3 ax2 bx在区间1,1,1,3内分别有一个极值点， 3 2 所以 f(x) x2 axb在区间1,1,1,3内分别有一个实根。 第10页 | 共12页设两实根为x ，x （x