文档内容
2025 年 11 月 A 佳教育高二期中联考
数学
班级： 姓名： 准考证号：
(本试卷共19题，考试用时120分钟，全卷满分150分)
注意事项：
1.答题前，先将自己的班级、姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上，并
将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上相应题目的答
案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在
试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后，将答题卡上交。
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A={x|x为不小于1的正整数}，集合B={x|x-5≤0},则A∩B=
A.{2,3,4} B.{1,2,3,4} C. {3,4,5} D.{1,2,3,4,5}
z+i
2.若复数z满足
=1-i2,则z
=
z
A. i B. 1 C. - i D. - 1
3. 已知直线l过点P(0,l), Q(1,a2+2)(a∈R),则直线l的倾斜角的取值范围为
[ π) [π π)
A. 0, B. ,
4 4 2
[π π) (π ) [ π) [3π )
C. , ∪ ,π D. 0, ∪ ,π
4 2 2 4 4
4.已知直线l₁: ax+y-1=0, l₂: ax-y+1=0,则“a=1”是“l₁⊥l₂”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.如图，在空间四面体 ABDC 中，已知 AC⟂AB,BD⟂AB,AB=2,AC=3, BD=4,CD=❑√17,
则异面直线AC与BD所成角是
A. 30° B. 45°
C. 60° D.120°
6.与圆 x2+ y2+4x+3=0及圆 (x-2) 2+ y2=36都内切的圆的圆心在
A.双曲线上 B.直线上 C.圆上 D.椭圆上x2 y2
7.双曲线 - =1(a⟩0,b>0)的左、右焦点分别为 F₁，F₂. P是双曲线右支上一点，且直线
a2 b2
PF₂的斜率为2.△PF₁F₂为直角三角形且其内切圆半径为( (3-❑√5),则双曲线的方程为
y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2
A.x2- =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1
4 8 4 4 2 4 8
8.已知点集 分别表示曲线 Γ
1
,Γ
2
,则Γ₁，Γ₂的公
共点的个数为
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分.
9. 已知A(1,1,0), B(2,1,2), C(4,3,1),下列说法正确的是
A.|AB|=5
B.⃗AC=(3,2,1)
C. AB⊥BC
D. 平面ABC的一个法向量是(-4,5,2)
( π)
10. 函数 f (x)=2sin 2x- -1,则下列结论正确的为
6
[ π π)
A.函数f(x)的单调增区间为 kπ- ,kπ+ (k∈Z)
6 3
(π )
B.函数f(x)的图象关于 ,1 对称
3
π
C.函数f(x)的图象关于 x= 对称
3
[ π )
D. 若 x∈ - ,0 ,则函数f(x)的值域为[-2,0]
2
1
11.如图，在棱长为1 的正方体. ABCD-A B C D 中，E 在线段BD上，且 BE= BD,动点
1 1 1 1 3
F 满足： ⃗B F=λ⃗B C(λ∈[0,1)),下列说法正确的是
1 1
❑√6
A.直线EF与平面 BB C C所成角的余弦值的最大值为
1 1 3
B. 存在λ, 使C₁, D, E, F 四点共面
C. 存在λ, 使 EF⟂B C
1❑√3
D. EF的最小值为
3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.过点(3，3)，垂直于y轴的直线方程为 .
13.若直线3x-4y-12=0与圆. x2+ y2-2ax+4 y+4=0只有一个公共点，则a= .
x2 y2
14. 已知A, B为双曲线Γ: - =1上关于原点O对称的两点(异于顶点 )，点C在双曲线上
a2 b2
且 满 足 直 线 AC ， AB 的 斜 率 之 积 为 -6 ， 设 直 线 BC 与 x 轴 的 交 点 为 P ， 若
∣⃗OP∣ 2+3⃗OA⋅⃗OP=0, 则双曲线Γ的离心率为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)在平面直角坐标系 xOy中，已知点 F (-2,0),F (2,0),‖M F ∣-∣M F ‖=2,点M
1 2 1 2
的轨迹为C.
(1)求C的方程;
(2)以F₁F₂为直径的圆与 C 的一条渐近线相交于 M，N两点，求四边形MF₂NF₁的面积.
16.(15 分 ) 已 知 △ ABC 的 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a,b,c, ❑√2cosC=sin A,
(a+c)(a-c)=b(b-❑√2c).
(1)求角C;
(2)若 ac=2❑√6,求AC边上的高.17.(15分)如图,在四边形ABCD中, AB=8, CD=4, 且AB∥CD, AD=BC, AB与CD间的距离为6，O
为AB的中点，以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系.
(1)求等腰梯形ABCD 的外接圆E的方程；
(2)已知直线l: ❑√3x- y+12=0,过直线l上的动点 P 作圆的两条切线交圆E 于M，N，求
当四边形PMEN的面积取得最小值时，直线 MN的方程.
18.(17分)如图, 在正四棱锥 P-ABCD 中, 底面ABCD 是边长为2的正方形, E是棱PA的中点.
(1)证明PC∥平面BDE;
(2)设该四棱锥外接球的体积为 V，当V取最小值时，求：
(i) 四棱锥 P-ABCD 的体积;
(ii)平面BDE与平面 PCD夹角的余弦值.
x2 y2
19.(17分)已知椭圆 C: + =1(a⟩b>0),椭圆C的左、右焦点分别是F₁，F₂，
a2 b2
❑√2
∣F F ∣=2,离心率为 .
1 2 2
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过F₂的直线与椭圆C交于A，B两点.
(i)若OA⊥OB, 记线段AB的中点为M, 求M的坐标;
(ii)若点A在第一象限，直线AF₁交椭圆C于另一点D，设r₁，r₂分别是
△AF₁B, △AF₂D的内切圆半径, 求 r -r 的最大值.
1 2
