高二数学参考答案
)!
!!#!直线"$#%&’(的倾斜角是 !
*
+!,!在直线$上取非零向量!!把与向量!平行的非零向量称为直线$的方向向量!-错误!
方向相同且模相等的两个向量是相等向量!.错误!
空间中任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底!#错误!
##" ##" * + (%!
)!#!%&’"+!!!)#!%’’"*!+!(%!#!因为%!&!’三点共线!所以 ’ ’ !解
+ ! )
得(’/!
*!.!与事件$甲分得红球%互为对立事件的是$甲分得白球或蓝球%!
"!-!若书放在上层用$上%表示!放在中层用$中%表示!放在下层用$下%表示!则样本空间!’
&上上!上中!上下!中上!中中!中下!下上!下中!下下’!共0种情况!放在同一层书架的情况
) !
为&上上!中中!下下’!共)种情况!故所求概率为 ’ !
0 )
&!-!斜率) ’(!斜率) ’+!直线$的斜率的取值范围为((!+)!
’* ’+
/!#!建立如图所示的空间直角坐标系!则,"(!(!"#!-")!(!(#!*"(!)!
##" ##" ##" ##"
(#!."(!(!)#!,-’")!(!%"#!*.’"(!%)!)#!123*,-!*.+’
##" ##"
,-,*. "槡!/
##" ##" ’% !所以直线*. 与直线,- 所成角的余弦值
$,-$$*.$ )*
"槡!/
为 !
)*
4!,!对于,!"!!!!!#不在过点"(!(!(#!"!!!!(#!"!!(!(#的平面上!所以"!!!!!#%!!,
正确-
对于-!"!!!!!#在过点"(!(!(#!"!!!!(#!"(!(!!#的平面上!所以"!!!!!#&!!-错误-
对于#!"!!!!!#在过点"(!(!(#!"!!!!(#!"+!+!+#的平面上!所以"!!!!!#&!!#错误-
对于.!不确定"!!!!!#是不是在过点"(!(!(#!"!!!!(#!"+!+!(#的平面上!.错误!
0!,.!令/"/%/#$&’(!解得/’!或/’&!当/’!时!$ 与$ 重合-当/’&时!$’$!
! + ! +
故$’$ 时!/’&!,正确!-错误!
! +
*+
若$($!则/%&"/%/#’(!解得/’ !.正确!#错误!
! + "
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!(!-.!因为’"*#’’"+#’’"-#’ !’".#’ !’"*+#’ !’"+-#’’"*-#’ !
+ 4 4 *
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’"+.#’ !所以’"*+#)’"*#’"+#!’"+-#’’"+#’"-#!’"*-#’’"*#’"-#!
4
’"+.#)’"+#’".#!故+与-相互独立!*与-相互独立!*与+不相互独立!+与.
不相互独立!
!高二数学"参考答案!第!!!!!页#共"页$%
!"#$%&
书书书!!!,.#!连接+0!因为六边形*+-.10是正六边形!四边形+-23是矩形!所以10’
+-’32!10’+-’32!所以四边形0123是平行四边形!因为+-(+3!+-(+0!所
以+-(平面+03!所以+-(03!所以10(03!所以四边形0123是矩形!,正确!
连接-1!该七面体可分成三棱锥*4+30!三棱锥.4-12!三棱柱+304-21三部分!且
! !
三棱锥*4+30和三棱锥.4-12的体积相等!三棱锥*4+30的体积为 5 5+槡)5
) +
!
槡)5!’!!三棱柱+304-21的体积为 5+槡)5槡)5+’&!所以该七面体的体积为!5
+
+$&’4!-错误!
记该七面体外接球的半径为5!该七面体外接球球心到平面*+-.10的距离为"!则"+$
*!5) )+!
++’"槡)%"#+$!’5+!解得"’(!5’+!所以该七面体外接球的体积为 ’ !#正确!
) )
连接*.!与+0交于点6!以6为坐标原点!6+!6.!63所
在直线分别为"!#!7轴建立如图所示的空间直角坐标系!则
*"(!%!!(#!+"槡)!(!(#!3"(!(!槡)#!0"%槡)!(!(#!
##" ##" ##"
1"%槡)!+!(#!*+’"槡)!!!(#!*3’"(!!!槡)#!03’"槡)!(!
##"
槡)#!01’"(!+!(#!设平面*+3的法向量为"’""!#!7#!
! ! !
##"
+",*+’槡)"$#’(!
! !
则* 取"’"!!%槡)!!#!
##"
,",*3’#$槡)7’(!
! !
设平面0123的法向量为#’""!#!7#!
+ + +
##"
+#,03’槡)"$槡)7’(!
+ +
则* 取#’"!!(!%!#!
##"
,#,01’+#’(!
+
",#’(!所以平面*+3(平面0123!.正确!
* "+#+ *
!+! !这两局比赛都是甲赢的概率为 ’ !
+" " +"
! ##" ##" ##" ! ##" ##" !##" ##" !##" ##" !##" ##" !
!)! !+*,-1’+*, "-*$-.#’ +*,-*$ +*,-.’ +*,-*’ !
* + + + + *
!*!槡"!由题意可得+"!!(!槡+#!所以+’’槡"+%!#+$"+%(#+$"槡+%槡+#+’槡"!
)" /
!"!解."!#8的估计值为 ’ !////////////////////////"分
*( 4
/ )"
"+#这&人中对照组的人数为&5 ’!!实验组的人数为&5 ’"!////&分
/$)" /$)"
记这名对照组的受试者为*!这"名实验组的受试者为9!:!;!<!=!
样本空间!’&"*!9#!"*!:#!"*!;#!"*!<#!"*!=#!"9!:#!"9!;#!"9!<#!"9!=#!":!;#!
":!<#!":!=#!";!<#!";!=#!"<!=#’!共!"个样本点! /////////////4分
设事件%’$这+人来自同一个组别%!则%’&"9!:#!"9!;#!"9!<#!"9!=#!":!;#!":!
!高二数学"参考答案!第!!!!+页#共"页$%
!"#$%&<#!":!=#!";!<#!";!=#!"<!=#’!共!(个样本点! //////////////!(分
!( +
故所求概率为’"%#’ ’ !//////////////////////!)分
!" )
*%(
!&!解."!#直线*+的斜率为 ’+!///////////////////!分
!%"%!#
!
边*+上的高所在直线的斜率为% !////////////////////+分
+
!
边*+上的高所在直线的方程为#%+’% ""%"#!即"$+#%0’(!//////"分
+
"+#记*+的中点为.!.的坐标为"(!+#!///////////////////分
直线-.的斜率为(!///////////////////////////0分
边*+上的中线所在直线的方程为#’+!//////////////////!(分
!
")#边*+的垂直平分线的方程为#’% "$+!即"$+#%*’(!///////!"分
+
!/!解.作’1(*.!垂足为1!连接-1! ////////////////////!分
’.+$*.+%’*+ 槡+ 槡+
在-’*.中!123.’.*’ ’ !367.’.*’ !
+’.,*. + +
! !
, ’ ’.,*.367.’.*’ *.,’1!解得’1’+!///////////)分
-’*. + +
*1’槡’*+%’1+’!!.1’*.%*1’+!所以*1’+-!四边形*+-1是正方形!//
///////////////////////////////////*分
"!#证明.因为四边形*+-1是正方形!所以-1(*.!
因为-1/’1’1!所以*.(平面’-1!
因为’-0平面’-1!所以*.(’-!////////////////////&分
"+#因为四边形*+-1是正方形!所以*+’-1!
因为*+0平面’*+!所以-1’平面’*+!//////////////////分
若-%’平面’*+!因为-1/-%’-!所以平面-1%’平面’*+!///////4分
因为平面’*./平面-1%’1%!平面’*./平面’*+’’*!所以1%’’*!/0分
’% *1 ! +槡+
所以 ’ ’ !因为’%$%.’+槡+!所以’%’ !//////////!(分
%. 1. + )
")#以1为坐标原点!1-!1.!1’所在直线分别为"!#!7轴
建立如图所示的空间直角坐标系!则+"!!%!!(#!-"!!(!(#!
##" ##"
."(!+!(#!’"(!(!+#!则’-’"!!(!%+#!+-’"(!!!(#!
##"
-.’"%!!+!(#!////////////////!+分
设平面’+-的法向量为"’""!#!7#!
! ! !
!高二数学"参考答案!第!!!!)页#共"页$%
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&",’-’"%+7’(!
! !
则 取"’"+!(!!#! /////////////////!)分
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",+-’#’(!
!
设平面’-.的法向量为#’""!#!7#!
+ + +
##"
&#,’-’"%+7’(!
+ +
则 取#’"+!!!!#!/////////////////!*分
##"
#,-.’%"$+#’(!
+ +
+5+$! 槡)( 槡&
123*"!#+’ ’ !367*"!#+’ !即二面角+4’-4.的正弦值为
槡++$!5槡++$!$! & &
槡&
!//////////////////////////////////!"分
&
+ ) &
!4!解."!#若第+局甲轮空!第)局乙轮空!其概率为 5 ’ !//////////+分
" " +"
) ) 0
若第+局乙轮空!第)局甲轮空!其概率为 5 ’ !/////////////*分
" " +"
& 0 )
故所求概率为 $ ’ !/////////////////////////"分
+" +" "
"+#分三种情况!
第一种情况.甲第+局轮空!则其他)局都参与了!
因为甲第+局轮空!所以第)局一定有甲参与!且由甲开球!而要参与第*局!则第)局
甲胜!
+ ) &
其概率为 5 ’ !////////////////////////////分
" " +"
第二种情况.甲第)局轮空!则其他)局都参与了!
因为甲第)局轮空!所以第*局一定有甲参与!且第+局甲负!
) ) 0
其概率为 5 ’ !///////////////////////////0分
" " +"
第三种情况.甲第*局轮空!则其他)局都参与了!
) + ) !4
其概率为 5 5 ’ !////////////////////////!!分
" " " !+"
& 0 !4 0)
故所求概率为 $ $ ’ !/////////////////////!+分
+" +" !+" !+"
")#第*局是甲0乙对打!则第)局是甲0丙对打或乙0丙对打!//////////!)分
因为第!局是甲0乙对打!所以第+局只能是甲0丙对打或乙0丙对打! //////!*分
若第)局是甲0丙对打!则第+局只能是乙0丙对打-//////////////!"分
若第)局是乙0丙对打!则第+局只能是甲0丙对打!//////////////!&分
+ ) ) ) ) ) 0
故所求概率为 5 5 $ 5 5 ’ !////////////////!/分
" " " " " " +"
!高二数学"参考答案!第!!!!*页#共"页$%
!"#$%&+"%#%7%)’(!
!0!解."!#"由*
# 7$)
///////////////////////!分
"’ ’ !
, + )
解得"’#’(!7’%)!所以直线$与平面"的交点坐标为"(!(!%)#! //////)分
#平面"."%#%7%)’(的一个法向量为"’"!!%!!%!#!//////////*分
# 7$)
直线$."’ ’ 的一个方向向量为#’"!!+!)#! /////////////"分
+ )
",# !%+%) +槡*+
123*"!#+’ ’ ’% !///////////&分
$"$$#$ 槡!$!$!5槡!$++$)+ +!
+槡*+
所以直线$与平面"所成角的正弦值为 ! /////////////////分
+!
"+#平面*+-.的一个法向量为$’"!!%!!%!#!平面+--+ 的一个法向量为%’"+!>!
! !
!#!///////////////////////////////////4分
因为平面*+-.(平面+--+!所以$,%’+%>%!’(!解得>’!! //////0分
! !
直线**(平面*+-.!所以直线**的一个方向向量为$’"!!%!!%!#!所以直线
! !
**的方程为"’%#$)’%7! /////////////////////!(分
!
+"’+!
&"’%#$)’%7!
由 解得*#’!! 即*"+!!!%+#!
"%#%7%)’(!
,7’%+!
** ’槡++$"!%)#+$"%+#+’+槡)! ///////////////////!+分
!
由 直 线 *+ ( 平 面 +--+!同 理 可 得 + "% +!+!% !#!*+ ’
! ! ! ! ! ! !
槡"%+#+$"+%)#+$"%!#+’槡&!/////////////////////!)分
+ #%)
+"’%+!
"’ ’%7!
由* + 解得*#’%!!即- "%+!%!!+#!+- ’槡"%!%+#+$"+$!#+’
! ! !
,+"$#$7$)’(! ,7’+!
)槡+!//////////////////////////////////!"分
长方体*+-.4*+-. 的体积为** ,*+,+-’+槡)5槡&5)槡+’)&!///
! ! ! ! ! ! ! ! !
//////////////////////////////////!/分
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