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赤峰第四中学 2025-2026 学年第一学期月考试题
高二数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 抛物线 的焦点到准线的距离是
A. 2 B. 4 C. D.
2. 已知 ，且 ，则实数 的值为（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 5
3. 直线 ，则“ ”是“ ”的（ ）条件
A. 必要不充分 B. 充分不必要 C. 充要 D. 既不充分也不必要
4. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，短轴长为 ，离心率为 ，过点
的直线交椭圆于 ， 两点，则 的周长为
A. 4 B. 8 C. 16 D. 32
5. 过点 作直线 与圆 相切，斜率的最大值为 ，若 ， ，
，则 的最小值是（ ）
.
A 12 B. 9 C. D.
6. 已知抛物线 的焦点为F，点P在抛物线上运动，点Q在圆 上运动，则
的最小值为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
7. 如图所示，在正三棱柱 中， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（
）
A. B. C. D.
8. 设 ， 是双曲线 的左，右焦点， 是坐标原点，过点 作 的一条渐
近线的垂线，垂足为 ．若 ，则 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 到两定点的距离差的绝对值等于常数的点的轨迹是双曲线.
B. 方程 表示双曲线.
C. 到定点的距离等于到定直线的距离的点的轨迹为抛物线
D. 椭圆的离心率e越大，椭圆就越扁
10. 已知双曲线C： 的左右焦点分别为 ，且 ，A、P、B为双曲线
上不同的三点，且A、B两点关于原点对称，直线 与 斜率的乘积为1，则下列正确的是（ ）
A. 双曲线C的实轴长为
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学科网（北京）股份有限公司B. 双曲线C的离心率为
C. 若 ，则三角形 的周长为
D. 的取值范围为
11. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，短轴长为 ，离心率为 ， 是椭
圆 上异于长轴端点 的一动点，点 与点 关于原点对称，则（ ）
A. 的面积最大值为
B. 的最小值为
C. 若以 为直径的圆经过 两点，则 点的轨迹方程为
D. 椭圆 上存在点 ，使得
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 已知圆 ： 和圆 ： ，则两圆公共弦所在直线的方程为__________.
13. 已知双曲线 ，过点 作直线与双曲线交于 两点，且点 恰好是线段 的中点，
则直线 的方程是____________．
14. 已知点P是椭圆 上一动点，过点P作 的切线PA、PB，切点分别为
A、B，当 最小时，线段AB的长度为________________．
四、解答题：本题共5小题．共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图所示，四棱锥 的底面 是矩形， 底面 ， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司， ．
（1）证明： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值．
16. 已知抛物线 ，斜率为 的直线 交抛物线于 两点，且 ．
（1）求抛物线 的方程；
（2）试探究：抛物线 上是否存在点 ，使得 ？若存在，求出 点坐标；若不存在，请说明理
由.
17. 如图，直三棱柱 的体积为1， 的面积为 ．
（1）求点A到平面 的距离；
（2）设D为 的中点， ，平面 ⊥平面 ，求二面角 的正弦值．
18. 已知双曲线 的左，右顶点分别为 ，过 的右焦点 的直线
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学科网（北京）股份有限公司与 的右支交于 两点．当 与 轴垂直时， ．
的
（1）求 方程；
（2）直线 与直线 的交点分别为 ，求 的最小值．
19. 已 知 圆 锥 曲 线 G ： ， 称 点 和 直 线 l ：
是圆锥曲线G的一对极点和极线，其中极线方程是将圆锥
曲线以 替换 ，以 替换 x（另一变量 y 也是如此）.特别地，对于椭圆 ，点
对应的极线方程为 .已知椭圆C： ，椭圆C的左、右焦点
分别为 、 .
（1）若极点 对应的极线l为 ，求椭圆C的方程；
（2）当极点Q在曲线外时，过点Q向椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，证明：直线MN为极点Q
的极线；
（3）已知P是直线 上的一个动点，过点P向（1）中椭圆C引两条切线，切点分别为M，
N，是否存在定点T恒在直线MN上，若存在，当 时，求直线MN的方程；若不存在，请说明理
由.
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